Stetige Verteilungsfamilien

Stetige Verteilungsfamilien
Standardisierung einer Zufallsvariablen
Durch Standardisierung können die Verteilungen von Zufallsvariablen auf
standardisierte Typen von Verteilungen zurückgeführt werden.
Eine Zufallsvariable heißt standardisiert, genau dann wenn
Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Standardabweichung
σ>0, dann ist die transformierte Zufallsvariable − μ
= X
Z
standardisiert.
E(
Z)
= 0,
Var(
Z)
=
Durch eine lineare Transformation kann man Zufallsvariablen standardisieren:
Beweis: Unter Anwendung der Rechenregeln für Erwartungswert und
Varianz gilt:
⎛ 1 μ ⎞ 1 μ
E(
Z)
= E⎜
X − ⎟ = E(
X ) − = 0,
⎝σ
σ ⎠ σ σ
⎛ 1 μ ⎞ 1
Var(
Z)
= Var⎜
X − ⎟ = ⋅Var(
X ) = 1.
2
⎝σ
σ ⎠ σ
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 188
1.
σ