Stetige Verteilungsfamilien

Stetige Verteilungsfamilien
Lineare Transformation von Zufallsvariablen
Die lineare Transformation von Zufallsvariablen spielt eine besondere Bedeutung.
Es seien b und c reelle Zahlen und X eine Zufallsvariable sowie Y=b+cX. Es sei
c>0. Dann gilt
y − b y − b
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( b + cX ≤ y ) = P ( X ≤ ) = F X ( ).
c c
Transformationsformel für lineare Transformationen
X sei eine Zufallsvariable, c≠0 und Y=b+cX. Wenn c>0, dann ist
y − b
FY ( y)
= FX
( ).
c
Wenn X stetig verteilt ist mit Dichte fX, so ist auch Y stetig verteilt mit der
Dichtefunktionen
1 y − b
f Y ( y ) =
⋅ f X ( ).
| c | c
Beweis: Durch Ableiten erhalten wir die Dichte von Y (c>0).
fY d
dy
Y
X
y − b
c
1
c
1
c
X
y − b
c
'
( y)
= F ( y)
= F ( ) ⋅ = ⋅ f ( ).
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 185