Stetige Verteilungsfamilien
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Lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable<br />
2<br />
Für ~ N(<br />
μ , σ )<br />
<strong>Stetige</strong> <strong>Verteilungsfamilien</strong><br />
X ist die linear transformierte Variable Y = b + cX , c ≠ 0,<br />
2 2<br />
wieder normalverteilt mit Y ~ N(<br />
b + cμ,<br />
c σ ).<br />
Beweis: Gemäß Transformationsformel für lineare Transformationen ist die<br />
Dichte von Y gleich<br />
1 ⎛ y − b ⎞<br />
fY ( y)<br />
= f X ⎜ ⎟,<br />
wobei f X ( x)<br />
=<br />
| c | ⎝ c ⎠<br />
Einsetzen liefert<br />
2<br />
⎛ ( ) ⎞<br />
⎜ ⎡ y − b ⎤ ⎟<br />
1 1 ⎜ ⎢<br />
− μ<br />
1 1<br />
⎥ ⎟<br />
( )<br />
⎣ c<br />
( )<br />
exp<br />
⎦<br />
| c |<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 ⎟ =<br />
⎟<br />
Das ist die Dichte von<br />
⎟<br />
⎜ ⎢<br />
− μ<br />
⎣ c ⎥<br />
f<br />
⎦<br />
Y y = ⋅<br />
⎜−<br />
π σ<br />
σ<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎠<br />
2 2<br />
N ( b +<br />
cμ,<br />
c σ ).<br />
1<br />
2<br />
2πσ<br />
1<br />
2 2<br />
2π<br />
c σ<br />
( x μ)<br />
⎛ −<br />
exp ⎜<br />
− 2<br />
⎝ 2σ<br />
[ y − ( b c cμμ<br />
) ]<br />
⎛ +<br />
exp ⎜<br />
− 2 2<br />
⎝ 2c<br />
σ<br />
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 187<br />
2<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
.<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
. ⎟<br />
⎞<br />
⎠
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