Stetige Verteilungsfamilien

Standardisierung einer normalverteilten Zufallsvariable
μ,σ
Stetige Verteilungsfamilien
2
Ist X eine N( )− verteilte Zufallsvariable, so ist die standardisierte
Zufallsvariable
Z
− μ
= X − μ
=
σ
X
standardnormalverteilt, d.h. Z ~ N(
0,
1).
Beweis: Siehe lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable.
2
Somit gilt für X ~ N(
μ,
σ ):
Also
F FX ⎛ X − μμ x − μμ
⎞ ⎛ x − μμ
⎞ ⎛ x − μμ
⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ σ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
( x ) = P ( X ≤ x ) = P ≤ = P Z ≤ = Φ .
2 ( μ,
)
X
~ N σ
F X
⎛ x − μ ⎞
⎜ ⎟
⎝ σ ⎠
( x)
= Φ = Φ(
z)
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 189
mit
z
− μ
=
σ
x