Skript - Herbstschule Maria Laach

Feynmandiagramme für Anfänger 

Thorsten Ohl 

— Universität Würzburg — 

〈ohl@physik.uni-wuerzburg.de〉 

39. Herbstschule Maria Laach, 4.–14. September 2007 

Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007 

Inhaltsverzeichnis ii 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

◦ Streuamplituden ◦ Lorentztransformationen ◦ Schrödingergleichung ◦ Einheiten 

2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

◦ Klein-Gordon Gleichung ◦ Freie Spin-0 Teilchen ◦ Anti-Teilchen ◦ Dirac-Gleichung 

◦ Gamma-Matrizen ◦ Freie Spin-1/2 Teilchen ◦ Freie Spin-1 Teilchen 

3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

◦ S-Matrix ◦ Propagatoren ◦ Feynmanregeln ◦ Wirkungsquerschnitt ◦ Kinematik 

◦ Phasenraum 

4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

◦ e + e − → µ + µ − ◦ Spursätze ◦ Wirkungsquerschnitt ◦ FORM ◦ Bhabha-Streuung ◦ FORM 

5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

◦ Feynman-Regeln ◦ 3-Jet Produktion 

6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 

◦ Propagatoren ◦ Feynman-Regeln ◦ Higgs-Strahlung 


Einleitung 1 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

Streuamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 



4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 



i

Postulat der Quantenmechanik: Ein 

Beschleuniger präpariert einen 

Anfangszustand in〉 , der sich durch die zu 

untersuchende Wechselwirkung S verändert und 

ein Detektor mißt den Überlapp des 

entstehenden Zustandes mit einem 

Endzustand out〉. 

Streuamplituden 2 

Die Übergangswahrscheinlichkeit P ist durch das Betragsquadrat der Übergangsamplitude A 

gegeben: 

Ain→out = 〈out S in〉 (1a) 

Pin→out = |Ain→out| 2 

Sofern es sich bei in〉 oder out〉 nicht um reine Zustände handelt, müssen die entsprechenden 

Übergangswahrscheinlichkeiten addiert (z. B. Spins) oder integriert (z. B. Winkelauflösung) werden. 


Aufgabenstellung: 

1. Beschreibe in〉 und out〉: 

(1b) 

Streuamplituden 3 

• reine Zustände: vollständig polarisierte Elektronen, Muonen, Photonen 

⇒ Dirac-Gleichung, Klein-Gordon Gleichung, etc. 

• Mischungen: Protonen, teilweise polarisierte oder unpolarisierte Elektronen, Muonen, 

Photonen . . . 

2. Berechne S (bzw. den Teil von S, der für 〈out S in〉 gebraucht wird) 

• Quantenelektrodynamik (QED) 

• Quantenchromodynamik (QCD) 

• Standardmodell 

• “Neue Physik” 

⇒ Feynman Regeln 

3. quadriere Ain→out und integriere Pin→out 

• Monte Carlo 


Lorentztransformationen 4 

Postulat der Relativitätstheorie: Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich. 

Insbesondere liegt die Wellenfront einer sich ausbreitenden Kugelwelle für jeden Beobachter bei 

Mit der Notation x0 = ct heißt das, daß die Lösungen von 

|x| = ct (2) 

x 2 0 −x 2 = 0 (2 ′ ) 

in jedem Koordinatensystem gleich sein müssen und man kann zeigen, daß aus Homogenität und 

Isotropie folgt, daß allgemein 

x 2 = x 2 0 −x2 

(3) 

in jedem Koordinatensystem gleich sein muß. 

Notationen: 

• 3er-Vektoren: (kovariant bzgl. Drehungen) 

• 4er-Vektoren: (kovariant bzgl. Drehungen und boosts) 

x = (x 1 , x 2 , x 3 ) (4) 

x = (x 0 ;x) = (x 0 ; x 1 , x 2 , x 3 ) = (x0; −x1, −x2, −x3) (5) 

Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007

• Metrik: 

und 

• Summenkonvention: 

xp = 

3 

µ=0 


gµν = g µν = 

xµ = 

3 

ν=0 

⎛ 

1 0 0 0 

⎞ 

⎝0 

−1 0 0 ⎠ 

0 0 −1 0 

(6) 

0 0 0 −1 

gµνx ν , x µ = 

xµp µ = xµp µ = x µ pµ = g µν xµpν = gµνx µ p ν 

NB: xp ist invariant, weil 2xp = (x + p) 2 − x 2 − p 2 ! 

• Lorentztransformation Λ: 

= x0p0 − 

3 

ν=0 

g µν xν 

(7) 

3 

xipi = x0p0 − xipi = x0p0 −xp (8) 

i=1 

xµ → x ′ µ = Λ ν 

µ xν (mit x ′2 = x 2 ν 

) ⇐⇒ gµµ ′ = Λµ Λ ν′ 


• Ableitungen: 

∂ 

∂xµ 


f(x) = ∂ µ x f(x) = ∂µ f(x) , 

zum Beispiel: ∂ µ x(xp) = ∂(xνp ν )/∂xµ = p µ 

Aufgabe 1 Berechnen Sie die Ableitungen nach x 

für konstante 4er-Vektoren a, b und p. 

Lösung 1 

∂µe −ipx , (a∂)(b∂)e −ipx , ∂ 2 e −ipx 

∂µe −ipx = −ipµe −ipx 

(a∂)(b∂)e −ipx = −(ap)(bp)e −ipx 

∂ 2 e −ipx = −i(p∂)e −ipx = −p 2 e −ipx 

µ ′ gνν ′ (9) 

∂ 

∂x µ f(x) = ∂µf(x) (10) 

(11) 

(12a) 

(12b) 

(12c) 


Aufgabe 2 Zeigen Sie 

(NB: ∂µx µ = g ν 

µ ∂xµ /∂xν und g ν 

µ = δ ν 

Lösung 2 


∂µx µ = 4 (13a) 

µ ) und berechnen Sie 

∂ 2 e −x2 /2 

∂µx µ = g ν 

µ ∂x µ /∂x ν = g ν 

µ δ µ ν = g µ 

∂ 2 e −x2 /2 = −∂ µ 

 

xµe −x2 

/2 

(13b) 

µ = 4 (14a) 

= −xµ∂ µ e −x2 /2 − (∂ µ xµ) e −x2 /2 

= xµx µ e −x2 /2 − g µ 

µ e −x2 /2 = (x 2 − 4)e −x 2 /2 

(14b) 


Wellenfunktionen erfüllen die Schrödingergleichung 

mit der Lösung 

und damit 

Probleme: 

Schrödingergleichung 8 

i̷h d 

Ψ(t) = HΨ(t) (15a) 

dt 

Ψ(t + δt) = e −iH·δt/̷h Ψ(t) (15b) 

 

Ain→out = 〈out S in〉 = lim out(t2) e 

t1→−∞ 

t2→+∞ 

−iH·(t2−t1)/̷h 

in(t1) 

Teilchenerzeugung und -vernichtung in der Natur beobachtet, kann aber durch 

Wellenfunktionen (ohne ” zweite Quantisierung“, d. h. Feldoperatoren) nicht beschrieben 

werden. 

Lorentz-Kovarianz von (15) nicht manifest und freie Einteilchen-Gleichung 

ist manifest nicht kovariant! 

(16) 

i̷h d 

 

1 

Ψ(t) = 

dt i̷hc ∇ 

2 Ψ(t) (17) 


Einheiten 9 

Wir benutzen ab jetzt Einheiten mit den natürlichen Größenordnungen für Quantenmechanik und 

relativistische Kinematik 

̷h = c = 1 . (18) 

Geschwindigkeiten und Wirkungen sind somit dimensionslos und deshalb 

 

1 

[Energie] = [Impuls] = [Masse] = . (19) 

Länge 

Insbesondere werden die Feynmanregeln später Wirkungsquerschnitte in Einheiten von [Energie −2 ] 

liefern, z. B. 

σ = 4πα2 

3E2 (20) 

Die wichtigen Umrechnungsfaktoren sind 

(TeV 2 nb = GeV 2 mb) und somit 

̷hc = 197.327 053(59) MeV fm (21) 

(̷hc) 2 = 0.389 379 66(23) TeV 2 nb (22) 

σ = 

4πα 2 

3(E/TeV) 2 0.39 nb (20′ ) 


Asymptotische Zustände 10 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 


Klein-Gordon Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

Freie Spin-0 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

Anti-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

Gamma-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

Freie Spin-1/2 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

Freie Spin-1 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 


4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 



Beschreibung durch Wellengleichungen 

1. linear: Superpositionsprinzip der Quantenmechanik. 

Asymptotische Zustände 11 

2. relativistisch: Matrixelemente von Observablen müssen sich unter Drehungen und boosts wie 

Skalare, Vierer-Vektoren, Tensoren etc. transformieren. 

3. Energie-Impuls Relation: E 2 = p 2 + m 2 

Zu beschreibende Objekte: 

• Spin-0 Teilchen: elementar noch(?) nicht beobachtet, aber möglich: Higgs 

– eine invariante Komponente 

• Spin-1/2 Teilchen: Leptonen, Quarks 

– mindestens zwei Komponenten: Spinor unter räumlichen Drehungen 

• Spin-1 Teilchen: Eichbosonen 

– masselos zwei Komponenten, massiv drei Komponenten: Polarisationen 


Klein-Gordon Gleichung 12 

(i∂0) 2 

φ(x) = (−i∂) 2 + m 2 

 

φ(x) (23) 

ist offensichtlich eine kovariante Wellengleichung, weil: 

∂ 2 + m 2 φ(x) = 0 (24) 

Fouriertransformation 

φ(x) = 

4 d p 

(2π) 4 e−ipx 4 

˜φ(p) 

d p 

, i∂µφ(x) = 

(2π) 4 e−ipxpµ ˜φ(p) , usw. (25) 

also p 2 − m 2 ˜φ(p) = 0 (24 ′ ) 

p0 ”‘Massenschale”’: 

p0 = + p 2 + m 2 , 

p 2 = m 2 , p0 0 

|p| 

p0 = − p 2 + m 2 

Korrekte relativistische 

Dispersion E = + p 2 + m 2 

Was ist mit E = − p 2 + m 2 ? 


Allgemeine Lösung 

4 d p 

φ(x) = 

(2π) 4 2πΘ(p0)δ(p 2 − m 2 ) 

Freie Spin-0 Teilchen 13 

 

d 

= 

3p (2π) 3 

 

 

 

2p0 √ 

p0= p 2 +m2 

= dp φ (+) (p)e −ipx + φ (−) (p)e ipx 

 

 

φ (+) (p)e −ipx + φ (−) (p)e ipx 

 

 

φ (+) (p)e −ipx + φ (−) (p)e ipx 

 

Erhaltener Strom ∂0j0(x) − ∇j(x) = ∂µj µ (x) = 0 aus Lösungen φ1 und φ2 der Klein-Gordon- 

Gleichung (mit gleicher Masse): 

(26) 

jµ(x) = φ ∗ 1(x)i ←→ ∂µφ2(x) = φ ∗ 1(x)[i∂µφ2(x)] − [i∂µφ ∗ 1(x)]φ2(x) (27) 

∂µj µ (x) = ∂ µ 

 

φ ∗ 

1(x)[i∂µφ2(x)] − ∂ µ 

 

[i∂µφ ∗ 

1(x)]φ2(x) 

= i[∂ µ φ ∗ 1 (x)][∂µφ2(x)] + iφ ∗ 1 (x)[∂2 φ2(x)] − i[∂ 2 φ ∗ 1 (x)]φ2(x)−i[∂µφ ∗ 1 (x)][∂µ φ2(x)] 

= −iφ ∗ 1 (x)m2 φ2(x) + im 2 φ ∗ 1 (x)φ2(x) = 0 (28) 


Invarianter Überlapp aus erhaltenem Strom: 

Q = 

 

x0=t 

d 3 xj0(x) = 

 

x0=t 

d 3 xφ ∗ 1(x)i ←→ ∂0 φ2(x) 


 

d 

= 

3p (2π) 3 

1 

φ 

2p0 2p0 

(+)∗ 

1 (p)φ (+) 

2 (p) · e ip0t i ←→ ∂0 e −ip0t + φ (−)∗ 

1 (−p)φ (+) 

2 (p) · e −ip0t i ←→ ∂0 e −ip0t 

+ φ (+)∗ 

1 (p)φ (−) 

2 (−p) · e ip0t i ←→ ∂0 e ip0t + φ (−)∗ 

1 (−p)φ (−) 

2 (−p) · e −ip0t i ←→ ∂0 e ip0t 

 

 

= dp (p)φ (+) 

2 (p) − φ (−)∗ 

(p)φ (−) 

 

2 (p) 

Normierung nur positiv für positive Massenschale! 

φ (+)∗ 

1 

∴ j0(x) kann nicht als Wahrscheinlichkeitsstrom interpretiert werden . . . 

. . . ohnehin sorgt die negative Massenschale dafür, daß die Energie nicht nach unten 

beschränkt ist, daß also kein Grundzustand existiert. 

∴ φ(x) darf nicht als Schrödinger-Wellenfunktion interpretiert werden. 


Beobachtungen: 

1 

(29) 

Anti-Teilchen 15 

• Für freie Felder sind positive und negative Massenschale unabhängig 

∴ die negative Massenschale kann wegprojeziert werden . . . 

. . . alle lokalen Lorentz-invarianten Wechselwirkungen vermischen positive und negative 

Massenschale (s. u.) 

. . . asymptotische Zustände wurden als nicht-wechselwirkend angenommen 

∴ negative Massenschale darf dort uminterpretiert werden. 

Andererseits: 

• Die Amplitude φ (+) (p)e −ipx auf der positiven Massenschale entspricht dem Impuls +p, aber 

die Amplitude φ (−) (p)e +ipx auf der negativen Massenschale entspricht dem umgekehrten 

Impuls −p. 

∴ Der Formalismus ist dann konsistent, wenn alle anderen Quantenzahlen ebenfalls umgedreht 

werden. 

∵ Im stationären Zustand sind Q,p 

nicht zu unterscheiden. 

−Q, −p 


Anti-Teilchen 16 

∴ Die Zustände auf der negativen Massenschale beschreiben nicht Teilchen mit ” negativer 

Energie“, sondern Anti-Teilchen mit entgegengesetzten Quantenzahlen. 

Im stationären Zustand kann man noch eine Stufe weiter gehen: anstelle von Anti-Teilchen vorwärts 

in der Zeit 

kann man Teilchen rückwärts in der Zeit betrachten, ohne daß in der Bilanz ein Unterschied zu 

bemerken ist. 

es ist nicht offensichtlich, daß diese Interpretation auch bei eingeschalteten Wechselwirkungen 

Sinn macht. 

später wird gezeigt wie alles zusammenpaßt 

NB: es handelt sich nur um eine rechnerisch nützliche Interpretation, nicht um ” Zeitreisen“, weil wir 

einen stationären Zustand betrachten. Die Betrachtungsweise mit sich vorwärts bewegenden 

Anti-Teilchen ist äquivalent, aber ohne Quantenfeldtheorie nicht zu bewältigen. 


Forderung: finde ” Objekte“ γ µ , so daß 

dann erfüllen die Lösungen der Dirac-Gleichung 

automatisch die Klein-Gordon Gleichung: 

Dirac-Gleichung 17 

(γ µ ∂µ) 2 = ∂ 2 

(30) 

(iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = 0 (31) 

(iγ µ ∂µ + m) (iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = −∂ 2 − m 2 ψ(x) = 0 (32) 

Die Dirac-Gleichung ist offensichtlich linear und ihre Lösungen erfüllen die relativistische 

Energie-Impuls Relation. 

Kann man ” Objekte“ γ µ konstruieren, die die Bedingung (30) erfüllen? 

Eine hinreichende Bedingung dafür ist 

weil die partiellen Ableitungen vertauschen: ∂µ∂ν = ∂ν∂µ. 

Wichtige Notation: Feynman-Slash: 

also 

[γµ, γν] + = γµγν+γνγµ = 2gµν · 1 (33) 

a/ = γµa µ = γ µ aµ 

[a/, b/] + = a/b/+b/a/ = 2 · ab = 2 · aµb µ 


Pauli-Matrizen: 

mit total antisymmetrischem Tensor ǫ: 

konkret: 

und dafür 

(34) 

(33 ′ ) 

Gamma-Matrizen 18 

 

σ k , σ l 

 

= σ k σ l − σ l σ k = 2i 

σ k † = σ k 

3 

m=1 

ǫ klm σ m 

(35a) 

(35b) 

ǫ 123 = ǫ 231 = ǫ 312 = 1, ǫ 213 = ǫ 321 = ǫ 132 = −1 (36) 

σ 1 = 

 

0 1 

, σ 

1 0 

2 = 

σ k σ l = δ kl 1 + i 

insbesondere 

σ k , σ l 

 

 

0 −i 

, σ 

i 0 

3 

1 0 

= 

0 −1 

3 

m=1 

ǫ klm σ m 

(37) 

(38) 

+ = 2δkl 1 (39) 


Dirac-Realisierung der Dirac-Matrizen: 


γ 0 

1 0 

= , γ 

0 −1 

i = 

 

i 0 σ 

−σ i 0 

Es gibt unendlich viele weitere Realisierungen, aber keine mit kleineren Matrizen. 

Überprüfung der Anti-Vertauschungsrelationen durch explizite Rechnung (siehe auch Aufgabe 3), 

NB: Blockmatrizen werden multipliziert wie gewöhnliche Matrizen, aber die Matrixelemente 

vertauschen nicht. 

 

0 

γ 

2 1 0 1 0 1 0 

= 

= = 1 (41a) 

0 −1 0 −1 0 1 

 

0 i 

γ , γ 

+ = γ0γ i + γ i γ 0 

i 

1 0 0 σ 

= 

0 −1 −σi 

i 0 σ 

+ 

0 −σi 

1 0 

0 0 −1 

 

0 1 · σ 

= 

i 

(−1) · (−σi 

0 (−σ 

+ 

) 0 

i ) · 1 

σi 

i 0 σ 

= 

· (−1) 0 σi 

i 0 −σ 

+ 

0 −σi 

= 0 (41b) 

0 

Aufgabe 3 Überprüfen Sie den Rest (k, l = 1, 2, 3) der Anti-Vertauschungsrelationen (33): 

(40) 

[γ k , γ l ]+ = −2δ kl · 1 . (42) 


Lösung 3 


k l 

γ , γ 

+ = 

 

k 0 σ 

−σk 

l 0 σ 

0 −σl 

k l −σ σ 0 

+ (k ←→ l) = 

0 

0 −σkσl 

+ (k ←→ l) 

 

k l −[σ , σ ]+ 0 

= 

= −2δ kl 

 

1 0 

0 1 

Für (40) gilt offensichtlich 

γ † 

0 = γ0 , γ † 

i = − γi 

(44) 

0 −[σ k , σ l ]+ 

was aufgrund von (γ0) 2 = 1 (d. h. γ0 hat reelle Eigenwerte) und (γi) 2 = − 1 (d. h. γi hat imaginäre 

Eigenwerte) für alle Realisierungen gelten muß. Die Dirac-Adjunktion für Matrizen 

ist deshalb nützlich. 

A = γ0A † γ0 , γµ = γ0γ † µγ0 = γµ 

NB: auf der nächsten Seite werden wir noch die Dirac-Adjunktion für Spaltenvektoren 

kennenlernen. 

v = v † γ0 

(43a) 


Ansatz: 

Adjungierte Lösung 

erfüllt 

also 

bzw.: 

(45) 

(46) 

Freie Spin-1/2 Teilchen 21 

 

ψ(x) = dp ψ (+) (p)e −ipx + ψ (−) (p)e ipx 

 

(i∂/ − m) ψ(x) = 0 ⇔ 

¯ψ(x)i ←− ∂/ = i∂µ ¯ψ(x)γ µ = i∂µψ(x) † γ0γ µ γ0γ0 

 

(p/ − m) ψ (+) (p) = 0 

(p/ + m) ψ (−) (p) = 0 

¯ψ(x) = ψ(x) † 

γ0 = dp ¯ψ (+) (p)e ipx + ¯ψ (−) (p)e −ipx 

 

(47) 

(48) 

(49) 

= i∂µψ(x) † γ µ† γ0 = (−i∂µγ µ ψ(x)) † γ0 = (−i∂/ψ(x)) = −m ¯ψ(x) (50) 

 

¯ψ(x) i ←− 

∂/ + m = 0 , (51) 

¯ψ (+) (p)(p/ − m) = 0 (52a) 

¯ψ (−) (p)(p/ + m) = 0 (52b) 


Allgemeine Lösungen: 


ψ (+) (p) = 

ψ (−) (p) = 

2 

uk(p)bk(p) (53a) 

k=1 

2 

vk(p)dk(p) (53b) 

k=1 

mit den vier unabhängigen Lösungen u1(p), u2(p), v1(p), v2(p) 

(p/ − m)uk(p) = 0 (54a) 

(p/ + m)vk(p) = 0 (54b) 

und den zugehörigen skalaren Entwicklungskoeffizienten b1(p), b2(p), d1(p) und d2(p). 

Im Ruhesystem p/ = mγ0, vereinfacht sich die Dirac-Gleichung zu 

 

0 0 

m(γ0 − 1)uk(0) = 

uk(0) = 0 (55a) 

0 −2m · 1 

 

2m · 1 0 

m(γ0 + 1)vk(0) = vk(0) = 0 (55b) 

0 0 


mit den Lösungen 

und für beliebige Impulse 


u1(0) = √ ⎛ ⎞ 

1 

2m ⎝0⎠ 

0 

, u2(0) = 

0 

√ ⎛ 

0 

⎞ 

2m⎝1⎠ 

0 

(56a) 

0 

v1(0) = √ ⎛ 

0 

⎞ 

2m ⎝0⎠ 

0 

, v2(0) = 

1 

√ ⎛ 

0 

⎞ 

2m⎝0⎠ 

1 

(56b) 

0 

uk(p) = 

vk(p) = 

p/ + m 

2m(p0 + m) uk(0) (57a) 

p/ − m 

2m(p0 + m) vk(0) (57b) 

Daß es sich um Lösungen handelt, ist wegen (p/ + m)(p/ − m) = p 2 − m 2 offensichtlich. 

Die Motivation der nicht offensichtlich kovarianten Normierung ist in Aufgabe 4 erklärt. 

NB: Der explizite Faktor √ 2m in (56) läßt dem Grenzübergang m → 0 problematisch erscheinen. Die 

Wahl der Normierung ist trotzdem günstig, weil die nachfolgede Formel (60) einen glatten 

Grenzübergang für m → 0 hat und unten nur noch (60) benötigt werden ird. [Für m → 0 existieren die 

Spinoren im Ruhesystem (56) ohnehin nicht . . . ] 



Vergleiche das innere Produkt eines Zeilenvektors und eines Spaltenvektors 

⎛ 

b1 

bn 

⎞ 

⎜ 

b2⎟ 

⎜ ⎟ 

a1 a2 · · · an ⎜ ⎟ 

⎝ . ⎠ = 

n 

i=1 

aibi 

mit dem äußeren Produkt eines Spaltenvektors und eines Zeilenvektors: 

⎛ 

a1 

an 

⎞ 

⎛ 

⎜a2 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜a2 

⎟ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ b1 b2 · · · bm = ⎜ ⎟ 

⎝ . ⎠ 

⎝ . ⎠ ⊗ ⎜ 

b1 b2 · · · bm = ⎜ 

⎝ 

a1 

an 

⎞ 

Aufgabe 4 Geben Sie ūk(p) und ¯vk(p) an und zeigen Sie, daß für p 2 = m 2 

2 

uk(p)ūk(p) = p/ + m , 

k=1 

⎛ 

a1b1 a1b2 . . . a1bm 

a2b1 a2b2 . . . a2bm 

. 

. 

. 

anb1 anb2 . . . anbm 

⎞ 

(58) 

⎟ 

⎠ (59) 

2 

vk(p)¯vk(p) = p/ − m (60) 


Lösung 4 

ūk(p) = u † 

k (p)γ0 = u † 

k=1 


k (0)γ 0 γ 0 

p/ − m 

¯vk(p) = ¯vk(0) 

2m(p0 + m) 

Aus Definition und Multiplikation mit γ0 von rechts 

2 

uk(0)ūk(0) = m(γ0 + 1), 

Also 

und (60) folgt aus 

k=1 

2 

k=1 

2 

k=1 

p/ † + m 

 

2m(p0 + m) γ0 

p/ + m 

= ūk(0) 

2m(p0 + m) 

(61a) 

(61b) 

2 

vk(0)¯vk(0) = m(γ0 − 1) (62) 

k=1 

uk(p)ūk(p) = (p/ + m) m(γ0 + 1) (p/ + m) 

2m(p0 + m) 

vk(p)¯vk(p) = (p/ − m) m(γ0 − 1) (p/ − m) 

2m(p0 + m) 

(p/ ± m)(γ0 ± 1)(p/ ± m) = p/γ0p/ ± (mγ0p/ + mp/γ0) + m 2 γ0 ± (p/ ± m) 2 

(63a) 

(63b) 

= −p 2 γ0 + 2p0p/ ± 2p0m + m 2 γ0 + 2m(p/ ± m) = 2(p0 + m)(p/ ± m) . (64) 


Aufgabe 5 Berechnen Sie (immer für p 2 = m 2 ) 

Lösung 5 


ūk(p)ul(p) , ¯vk(p)vl(p) , ūk(p)vl(p) , ¯vk(p)ul(p) . (65) 

p/ + m p/ + m 

ūk(p)ul(p) = ūk(0) 

2m(p0 + m) 2m(p0 + m) ul(0) 

1 

= 

p0 + m ūk(0)(p/ + m)ul(0) 

1 

= 

p0 + m ūk(0)(p0 + m)ul(0) = ūk(0)ul(0) = 2mδkl (66a) 

p/ − m p/ − m 

¯vk(p)vl(p) = ¯vk(0) 

2m(p0 + m) 2m(p0 + m) vl(0) = −1 

p0 + m ¯vk(0)(p/ − m)vl(0) 

1 

= 

p0 + m ¯vk(0)(p0 + m)vl(0) = ¯vk(0)vl(0) = −2m · δkl (66b) 

p/ + m p/ − m 

ūk(p)vl(p) = ūk(0) 

2m(p0 + m) 2m(p0 + m) vl(0) = 0 (66c) 

p/ − m p/ + m 

¯vk(p)ul(p) = ¯vk(0) 

2m(p0 + m) 2m(p0 + m) ul(0) = 0 (66d) 


Aufgabe 6 Berechnen Sie (immer für p 2 = m 2 ) 

Lösung 6 


ūk(p)γµul(p) , ¯vk(p)γµvl(p) , ūk(p)γ0vl(−p) , ¯vk(−p)γ0ul(p) . (67) 

p/ + m 

ūk(p)γµul(p) = ūk(0) 

2m(p0 + m) γµ 

p/ + m 

 

2m(p0 + m) ul(0) 

1 

= 

2m(p0 + m) ūk(0)2pµ(p/ + m)ul(0) 

2pµ 

= 

2m(p0 + m) ūk(0)(p0 

1 

+ m)ul(0) = 2pµ 

2m ūk(0)ul(0) = 2pµδkl (68a) 

p/ − m 

¯vk(p)γµvl(p) = ¯vk(0) 

2m(p0 + m) γµ 

p/ − m 

 

2m(p0 + m) vl(0) 

1 

= 

2m(p0 + m) ¯vk(0)2pµ(p/ − m)vl(0) 

−2pµ 

= 

2m(p0 + m) ¯vk(0)(p0 

1 

+ m)vl(0) = −2pµ 

2m ¯vk(0)vl(0) = 2pµδkl (68b) 

p/ + m 

ūk(p)γ0vl(−p) = ūk(0) 

2m(p0 + m) γ0 

p/ † − m 

 

2m(p0 + m) vl(0) 

p/ + m p/ − m 

= ūk(0) 

2m(p0 + m) 2m(p0 + m) γ0vl(0) = 0 (69a) 


Es gibt insgesamt 16 unabhängige (anti-)hermitische 4 × 4-Matrizen: 


1 1 ” Skalar“ (70a) 

γµ 4 Vektor“ (70b) 

” 

σµν = i 

2 [γµ, γν] − 6 Tensor“ (70c) 

” 

γ5γµ 4 ” Axialvektor“ (70d) 

γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 

1 ” Pseudoskalar“ (70e) 

NB: Die ” nackten“ Gamma-Matrizen transformieren sich nicht wie Vektor, Tensor, Axialvektor oder 

Pseudoskalar. Vielmehr sind von links und rechts noch nicht-triviale Transformationen L(Λ) 

anzubringen, z. B.: 

Weil aber 

gilt, kompensieren sich die L(Λ) in Sandwiches 

γµ → Λ ν 

µ L(Λ)γνL −1 (Λ) (71) 

ψ(x) → L(Λ)ψ(Λ −1 x) , ¯ψ(x) → ¯ψ(Λ −1 x)L −1 (Λ) (72) 

¯ψ(x)γµψ(y) → ¯ψ(Λ −1 x)L −1 (Λ)Λ ν 

µ L(Λ)γνL −1 (Λ)L(Λ)ψ(Λ −1 x) = Λ ν 

µ ¯ψ(Λ −1 x)γνψ(Λ −1 x) (73) 

und die L(Λ) können in der Berechnung von Matrixelementen ignoriert werden. Der Sprachgebrauch 

Vektor, Tensor, Axialvektor und Pseudoskalar ist also legitim. 


Aufgabe 7 Berechnen Sie [γ5, γµ]+ 

Lösung 7 


γ5γ 2 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ 2 = −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 2 γ 3 = iγ 0 γ 2 γ 1 γ 2 γ 3 = −iγ 2 γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = −iγ 2 γ5 

Weil jede γµ genau einmal vorkommt und mit den restlichen drei anti-vertauscht, gilt für jedes µ 

(74) 

[γ5, γµ]+ = 0 (75) 

Aufgabe 8 Zeigen Sie die Erhaltung des Vektorstroms für Lösungen ψ1(x) und ψ2(x) der Dirac- 

Gleichung (31) und (51) 

∂ µ ¯ψ1(x)γµψ2(x) = 0 . (76) 

Lösung 8 Produktregel 

i∂ µ ¯ψ1(x)γµψ2(x) 

= ¯ψ1(x) i ←− ∂/ + i −→ 

∂/ ψ2(x) = ¯ψ1(x) −m + m ψ2(x) = 0 . (77) 


Q = 

invarianter Überlapp aus erhaltenem Strom: 

 

x0=t 

d 3 xj0(x) = 

 

x0=t 

d 3 x ¯ψ1(x)γ0ψ2(x) = 

 

d 

= 

3p (2π) 3 

1 

2p0 2p0 

Normierung überall positiv . . . 


 

x0=t 

ψ (+)† 

1 (p)ψ (+) 

d 3 xψ † 

1 (x)ψ2(x) 

2 (p) + ψ (−)† 

+ ψ (+)† 

1 (p)ψ (−) 

2 (−p) · e 2ip0t + ψ (−)† 

1 

 

d 

= 

3p (2π) 32p0 1 

(−p)ψ (+) 

(−p)ψ (−) 

2 (−p) 

2 (p) · e −2ip0t 

 

2 

b † 

1,k (p)b2,k(p) + d † 

1,k (p)d2,k(p) 

 

Alle Wasser laufen ins Meer, doch wird das Wasser nicht voller; an den Ort, da sie herfließen, fließen 

sie wieder hin (Prediger: 1, 7). 


k=1 

(78) 


Aufgabe 9 Zeigen Sie die partielle Erhaltung des Axialvektorstroms für Lösungen ψ1(x) und ψ2(x) 

der Dirac-Gleichung 

∂ µ ¯ψ1(x)γµγ5ψ2(x) = 2im ¯ψ1(x)γ5ψ2(x) . (79) 

Lösung 9 Produktregel und [γ5, γµ]+ = 0: 

i∂ µ ¯ψ1(x)γµγ5ψ2(x) 

= ¯ψ1(x) i ←− ∂/ γ5 + i −→ 

∂/ γ5 ψ2(x) = ¯ψ1(x) i ←− ∂/ γ5 − γ5i −→ 

∂/ ψ2(x) 

 

= ¯ψ1(x) −mγ5 − γ5m ψ2(x) = −2m ¯ψ1(x)γ5ψ2(x) . (80) 

Aufgabe 10 Berechnen Sie σkl = i 

2 [γk, γl] − in der Dirac-Realisierung (k, l = 1, 2, 3). 

Lösung 10 

 

0 

− 2iσkl = 

−σ 

k σ k 

0 

0 −σ 

l σ l 

− (k ←→ l) 

0 

 

k l −[σ , σ ]− = 

also 

0 

0 −[σ k , σ l ]− 

σkl = ǫ klm 

m σ 0 

0 σm 

 

= −2iǫ klm 

m σ 0 

0 σm 


(81) 

(82)


Somit können die {σ23, σ31, σ12} die Rolle der {σ1, σ2, σ3} übernehmen und im Ruhesystem zwischen 

spin up und spin down unterscheiden: 

1 

2 σ12u1(0) = + 1 

2 u1(0) , 

1 

2 σ12v1(0) = + 1 

2 v1(0) , 

1 

2 σ12u2(0) = − 1 

2 u2(0) (83a) 

1 

2 σ12v2(0) = − 1 

2 v2(0) (83b) 

Analog zur Interpretation des negativen Massenschale für skalare Teilchen, werden für Spin-1/2 

Teilchen die Lösungen ” negativer Energie“ als Anti-Teilchen interpretiert, die sich in der Raum-Zeit in 

umgekehrter Richtung bewegen: 

• uk(p) Amplitude für ein Teilchen im Anfangszustand 

• vk(p) Amplitude für ein Anti-Teilchen im Endzustand 

• ūk(p) Amplitude für ein Teilchen im Endzustand 

• ¯vk(p) Amplitude für ein Anti-Teilchen im Anfangszustand 

Zusätzlich müssen natürlich die Spins ausgetauscht werden, damit die Bilanzen stimmen: 

Q,p, s 

−Q, −p, −s 


Manifest kovariante Maxwell-Gleichungen: 

mit notwendig erhaltenem Strom ∂µj µ = 0. 

Eichinvarianz: Fµν ändert sich nicht, wenn 


⎛ 

0 

⎞ 

−E1 −E2 −E3 

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ = ⎝E1 

0 −B3 B2 ⎠ 

E2 B3 0 

(84) 

−B1 

E3 −B2 B1 0 

∂ µ Fµν = jν , ǫ µνρσ ∂νFρσ = 0 (85) 

(g µν ∂ 2 − ∂ µ ∂ ν )Aν = j µ 

(85 ′ ) 

Aµ(x) → Aµ(x) − ∂µω(x) (86) 

Spezielle Eichbedingung ∂µA µ = 0: ∂ 2 Aµ = jµ. Allgemeiner (nicht der allgemeinste Fall): 

Expliziter Massenterm 

bzw. 

Kontraktion mit ∂µ: 

(g µν ∂ 2 − (1 − ξ)∂ µ ∂ ν )Aν = j µ 

∂ µ Fµν + M 2 Aν = jν 

(g µν (∂ 2 + M 2 ) − ∂ µ ∂ ν )Aν = j µ 

(87) 

(88) 

(88 ′ ) 

M 2 ∂ ν Aν = 0 (89) 


Polarisationsvektoren masseloser Vektorbosonen für k = (k0; 0, 0, k0): 

mit (wobei c = (1; 0, 0, −1)) 

 

λ=−1,+1 


ǫ± = ǫ ∗ ∓ = 1 

√ 2 (0; 1, ±i, 0) (90) 

ǫ µ 

λǫ∗λ ′ ,µ = −δλλ ′ (91a) 

ǫ µ 

λkµ = 0 (91b) 

ǫ µ 

λ ǫν,∗ 

λ = −gµν + cµkν + cνkµ 

ck 

Polarisationsvektoren für massive Vektorbosonen für k = (k0; |k| sinθcos φ, |k| sinθsinφ, |k| cos θ): 

mit (91) und 

ǫ± = ǫ ∗ e∓iφ 

∓ = √ (0; cosθcosφ ∓ i sinφ, cos θ sinφ ± i cosφ, − sinθ) (93a) 

2 

ǫ0 = k0 

M (|k|/k0; sinθcosφ, sinθsinφ, cos θ) = ǫ ∗ 0 

 

λ=−1,0,+1 

ǫ µ 

λ ǫν,∗ 

λ = −gµν + kµkν 

M 2 

(92) 

(93b) 


(94)

Wechselwirkungen 35 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 



S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

Feynmanregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 



Photonen fern von jeder elektrischen Ladung erfüllen 

S-Matrix 36 

∂ 2 A (0) 

µ (x) = 0 (95) 

mit den gezeigten Lösungen. In der Gegenwart von Ladungen koppeln Photonen an den 

elektromagnetischen Strom 

und die Lösungen sind komplizierter. 

Annahme: es gebe eine Funktion D, die 

erfüllt. Dann ist 

∂ 2 Aµ(x) = jµ(x) = −e ¯ψ(x)γµψ(x) + . . . (96) 

(∂ 2 + m 2 )D(x, m) = −δ 4 (x) (97) 

Aµ(x) = A (0) 

 

µ (x) − d 4 yD(x − y, 0)jµ(y) (98) 

für jede Lösung A (0) 

µ (x) der homogenen Gleichung (95) eine Lösung der inhomogenen 

Gleichung (96) 

∂ 2 Aµ(x) = ∂ 2 A (0) 

µ (x) − 

 

d 4 

y ∂ 2 

D(x − y, 0) jµ(y) = 0 − d 4 

y −δ 4 

(x − y) jµ(y) = jµ(x) (99) 


Propagatoren 37 

Interpretation: der Strom jµ(y) wirkt am Raum-Zeit Punkt y als Quelle für Photonen, die vom 

Propagator D(x − y, 0) zum Raum-Zeit Punkt x ” propagiert“ werden. 

jµ(y) 

D(x − y, 0) Aµ(x) 

NB: Retardierung ist in (98) eingebaut, weil über die vierdimensionale Raum-Zeit integriert wird, nicht 

über den dreidimensionalen Raum. 

Aufgabe 11 Zeigen Sie, daß 

der Feynman-Propagator S für Dirac-Teilchen der Masse m ist, d. h. 

falls (∂ 2 + m 2 )D(x, m) = −δ 4 (x). 

Lösung 11 

(98 ′ ) 

S(x, m) = (i∂/ + m) D(x, m) (100) 

(i∂/ − m) S(x, m) = δ 4 (x) (101) 

(i∂/ − m) S(x, m) = −∂ 2 − m 2 D(x, m) = δ 4 (x) (102) 


Was aber ist die Quelle ??? für das Dirac-Feld? 

???(y) 

Betrachte dazu die Dirac-Gleichung mit Wechselwirkung: 

bzw. 

mit der formalen Lösung 

die sich graphisch als 

darstellen läßt. 


S(x − y, m) ψ(x) 

(103) 

(i∂/ − eA/(x) − m) ψ(x) = 0 (104) 

(i∂/ − m) ψ(x) = eA/(x)ψ(x) (104 ′ ) 

ψ(x) = ψ (0) 

(x) + d 4 yS(x − y, m)eA/(y)ψ(y) (105) 

S(x − y, m) ψ(x) 

(105 ′ ) 



(105) ist analog zu (98), sofern dort der Strom jµ(y) = −e ¯ψ(y)γµψ(y) eingesetzt wird: 

Aµ(x) = A (0) 

 

µ (x) − d 4 yD(x − y, 0)e ¯ψ(y)γµψ(y) (106) 

also z. B.: 

D(x − y, 0) Aµ(x) 

Die Gleichungen (98) und (106) sind noch keine geschlossenen Lösungen, sondern 

wechselseitig gekoppelte Integralgleichungen 

Wechselseitig rekursives Einsetzen von (98) und (106) ergibt Reihenentwicklung 

(106 ′ ) 

ψ(x) = ψ (0) 

(x) + d 4 yS(x − y, m)eA/(y)ψ(y) = ψ (0) 

(x) + e d 4 yS(x − y, m)A/ (0) (y)ψ (0) (y) 

+ e 2 

 

d 4 yd 4 

z S(x − y, m)A/ (0) (y)S(y − z, m)A/ (0) (z)ψ (0) (z) 

− S(x − y, m)γ µ ψ (0) 

(y)D(y − z, m) ¯ψ(z)γµψ(z) + O(e 3 ) (107) 


graphisch: 

A (0) 

µ (y) 

A (0) 

µ (z) 

ψ (0) (z) 


ψ(x) 

S(x − y, m) 

S(y − z, m) 

ψ (0) (y) 

ψ (0) (z) 

ψ (0) (z) 

ψ(x) 

S(x − y, m) 

D(y − z, 0) 

Wenn du Gott ein Gelübde thust, so verzeuch nicht, es zu halten; denn er hat kein 

Gefallen an den Narren. Was du gelobest, das halt (Prediger: 5, 3). 

Existiert D(x − y, m) überhaupt, oder ist es nur ein (mehr oder weniger frommer) Wunsch? 

∴ Ausrechnen! 

(107 ′ ) 

Es genügt ∂ 2 + m 2 D(x, m) = −δ 4 (x) (108) 

zu lösen, weil (fast) alle anderen Propagatoren durch Ableitungen daraus berechnet werden 

können. 

Aufgrund der Translationsinvarianz bietet sich Fouriertransformation an . . . 



Formal (mit ǫ → 0+): 

4 d p 

1 

D(x, m) = e−ipx 

(2π) 4 p2 − m2 + iǫ 

(109) 

 

2 2 

∂ + m 4 d p 

D(x, m) = 

(2π) 4 e−ipx −p2 + m2 p2 − m2 4 d p 

= − 

+ iǫ (2π) 4 e−ipx = −δ 4 (x) (110) 

Singularitäten im Integral über p0 bei ± |p| 2 + m 2 (das +iǫ ist eine Abkürzung für die Wahl des 

Integrationsweges): 

1 

p 2 − m 2 + iǫ = 

E>0 

= 

Imp0 

− |p| 2 + m 2 

1 

(p0) 2 − (|p| 2 + m2 E=+ 

) + iǫ 

√ |p| 2 +m2 = 

1 

(p0) 2 = 

− (E − iǫ) 2 

+ |p| 2 + m 2 

Rep0 

1 

(p0) 2 − E2 + iǫ 

 

1 1 1 1 

= 

p0 − E + iǫ p0 + E − iǫ 2E p0 − E + iǫ − 

 

1 

p0 + E − iǫ 

(111) 


Vorwärts in der Zeit: 

x0 > 0 : lim 

p0→−i∞ e−ip0x0 → 0 (112a) 

und der Integrationsweg in (109) kann unten 

geschlossen werden. 

Rückwärts in der Zeit: 

x0 < 0 : lim 

p0→+i∞ e−ip0x0 → 0 (112b) 

und der Integrationsweg in (109) kann oben 

geschlossen werden. 

Konsequenz: 

Φ ′ 

(x) = d 4 4 d p 

yD(x − y, m)Φ(y) = 

(2π) 


4 e−ipx 

1 

Imp0 

Imp0 

Rep0 

Rep0 

p2 − m2 + iǫ ˜Φ(p) (113) 

der Teil von ˜Φ(p) mit p0 = + |p| 2 + m 2 wird in die Zukunft propagiert und der Teil von ˜Φ(p) 

mit p0 = − |p| 2 + m 2 wird in die Vergangenheit propagiert. [Alle anderen Kombinationen sind 

prinzipiell möglich, aber inkompatibel mit der Kausalität . . . ] 



Compton-Streuung in nichtrelativistischer Störungsrechnung hat sowohl Streuung, als auch 

Paarerzeugung und Paarvernichtung: 

t1 t2 + 

t1 

t2 

+ 

∵ Zwischenzustände genügen nicht der Energie-Erhaltung: Abstand der Vertices kann raumartig 

sein. 

zeitliche Ordnung von t1 und t2 hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht definiert! 

Feynmans geniale Interpretation: 

• Teilchen mit p0 = + |p| 2 + m 2 werden in die Zukunft propagiert 

• Anti-Teilchen mit p0 = − |p| 2 + m 2 und Ladung mit entgegengesetztem Vorzeichen werden in 

die Vergangenheit propagiert 

∴ Ladung entlang der Pfeilrichtung in (114) erhalten! 

Die vier nichtrelativistischen Diagramme in (114) können mit dem Feynman-Propagator 

paarweise zu kovarianten Ausdrücken zusammengefaßt werden 

t1 

t2 

+ 

t1 

t2 

(114) 


t1 

t1 t2 + 

1 

1 

E−E0+iǫ 

E+E0+iǫ 

1 

E−E0+iǫ 

t1 

t2 

+ 

t1 


t2 

1 

E+E0+iǫ 

t2 

= 

= 

1 

p 2 − m 2 + iǫ 

1 

p 2 − m 2 + iǫ 

Die Feynmansche Interpretation zeigt, daß die Interpretation der äußeren Anti-Teilchen als in 

der Zeit umgekehrte Teilchen auch mit Wechselwirkungen konsistent ist. 

Aufgabe 12 Geben Sie den Propagator S(x, m) für Dirac-Teilchen im Impulsraum an. 

Lösung 12 

4 d p 

S(x, m) = (i∂/ + m) 

(2π) 

4 e−ipx 

1 

p2 − m2 + iǫ 

4 d p 

= 

(2π) 

4 e−ipx 

p/ 

+ m 

p2 − m2 + iǫ = 

d 4 p 

(2π) 

4 e−ipx 

1 

p/ − m + iǫ 

(115a) 

(115b) 

(116) 


Propagator für masselose Spin-1 Teilchen 


−igµν + i(1 − ξ) kµkν 

k 2 +iǫ 

k 2 + iǫ 

der Eichparameter ξ ist beliebig und Abhängigkeit davon hebt sich im Endergebnis auf (aber noch 

nicht in Teilergebnissen). 

Propagator für massive Spin-1 Teilchen 

−igµν + i kµkν 

M 2 

k 2 − M 2 + iǫ 

eindeutig, weil (88 ′ ) im Gegensatz zu (85 ′ ) invertiert werden kann. 

Dies ist nicht, was im Standardmodell passiert! Dort kommt die Masse von der Kopplung an den 

Higgs-Sektor, ohne die Eichbedingung (89). Allerdings ist (118) in der niedrigsten Ordnung 

äquivalent zum Higgsmechanismus in Unitaritätseichung. 

Propagatoren und äußere Zustände sind universell, d. h. die Theorien unterscheiden sich nur durch 

die Wechselwirkungsvertices, wie e + e − γ oder e − νeW + , die unten detailliert diskutiert werden. 

(117) 

(118) 


Äußere Spin-1/2 Teilchen: 

Äußere Spin-1/2 Anti-Teilchen: 

Äußere Spin-1 Teilchen: 

einlaufend: 

auslaufend: 

einlaufend: 

auslaufend: 

einlaufend: 

auslaufend: 

Feynmanregeln 46 

p 

p 

p 

p 

k 

k 

⇐⇒ · · ·u(p) (119a) 

⇐⇒ ū(p) · · · (119b) 

⇐⇒ ¯v(p) · · · (119c) 

⇐⇒ · · ·v(p) (119d) 

⇐⇒ ǫµ(k) (119e) 

⇐⇒ ǫ ∗ µ (k) (119f) 

Innere Teilchen und Anti-Teilchen mit Impulsvorzeichen immer relativ zur Pfeil- (d. h. Ladungs-) 

Richtung: 

p 

i 

Spin-1/2: 

⇐⇒ 

(120a) 

p/ − m + iǫ 

Spin-1 (m = 0): 

k 

⇐⇒ −igµν + i(1 − ξ) kµkν 

k 2 +iǫ 

k 2 + iǫ 

(120b) 


Spin-0: 


p 

⇐⇒ 

i 

p 2 − m 2 + iǫ 

(120c) 

Die S-Matrix enthält immer ein (meistens) uninteressantes diagonales Stück und die globale 

Impulserhaltung 

S = 1 + (2π) 4 δ 4 (p1 + p2 − q1 − q2 . . . − . . . qn)iT (121) 

so daß wir uns auf T konzentrieren können. Die Anwendung der folgenden Feynman-Regeln liefert 

den Ausdruck für iT: 

1. Zeichne alle Diagramme aus Propagatoren und Wechselwirkungsvertices, die den 

Anfangszustand mit dem Endzustand verbinden und lege die Impulse der äußeren Linien 

entsprechend fest. 

2. Nutze die Impulserhaltung an jedem Vertex, um die Impulse der inneren Linien festzulegen. 

3. Verfolge jede zusammenhängende Fermionenlinie entgegen der Pfeilrichtung und schreibe den 

entsprechenden Ausdruck aus Propagatoren und Vertices. 

4. Vervollständige iT durch die verbleibenden Propagatoren und Vertices. 

5. Addiere die Diagramme mit Vorzeichen, so daß das Ergebnis anti-symmetrisch unter dem 

Austausch von äußeren (Anti-)Fermionen ist. 



• In Diagrammen mit Schleifen sind nicht alle Impulse festgelegt, z. B.: 

und über die freien Impulse ist mit 

zu integrieren. 

k 

p − k 

es gibt unendlich viele Schleifendiagramme zu jedem Prozeß! 

p 

k 

4 d p 

· · · (122) 

(2π) 4 

• die Schleifendiagramme haben aber mehr Vertices und damit eine höhere Ordnung der 

Kopplungskonstanten 

in schwach wechselwirkenden Theorien können die Beiträge von Schleifendiagrammen 

sukzessive in Störungsrechnung berücksichtigt werden. 

Gegenstand einer der anderen Übungen . . . 


Definition aus physikalischen Größen 

Wirkungsquerschnitt 49 

σ (∆Φ) = R(∆Φ) 

j 

(123) 

∆Φ = Phasenraumbereich (124a) 

σ (∆Φ) = Wirkungsquerschnitt für Streuung in ∆Φ (124b) 

R(∆Φ) = Ereignisrate in ∆Φ (124c) 

j = einfallender Fluß (124d) 

Der einfallende Fluß j ist für fixed targed Experimente die Anzahl der einfallenden Teilchen pro 

Zeiteinheit und pro Flächenelement. 

Differentieller Wirkungsquerschnitt: 

σ (∆Φ) = 

 

∆Φ 

Phasenraumelement dΦ, z. B. dΩ = sinθdθdφ für 2 → 2. 

dσ 

(Φ)dΦ (125) 

dΦ 

Eine sorgfältige Konstruktion von Wellenpaketen für die einlaufenden Teilchen erlaubt es, den 

differentiellen Wirkungsquerschnitt durch die Streuamplitude T und das Phasenraumvolumen 

auszudrücken. Hier genüge die nachfolgende Formel ohne Beweis. 


Allgemeine Formel für 2 → n Prozesse: 

dσ = 

 

4 

wobei wieder 

1 

(p1p2) 2 − m 2 1 m2 2 

für Fermionen und Bosonen. 


p2 

p1 

qn 

q1 

q2 

1 

 

i ni! |T|2 dq1 dq2 . . . dqn(2π) 4 δ 4 (p1 + p2 − q1 − q2 . . . − . . .qn) (126) 

dp = d3p (2π) 3 

 

 

 

2p0 

√ 

p0= p 2 +m2 In der älteren Literatur andere Normierung der Fermionen (Faktor 2m). Heute nur sinnvoll für 

schwere Quarks, weil damit Hochenergielimes (m → 0) trickreicher . . . 

Erklärung des Symmetriefaktors: 

ni = 

Anzahl identischer Teilchen der 

Spezies i im Endzustand 

(127) 

(128) 


Einfachstes Beispiel: 2 → 2 

Invarianten: Mandelstam Variable 

p2 

p1 

s = (p1 + p2) 2 = (q1 + q2) 2 

t = (q1 − p1) 2 = (q2 − p2) 2 

u = (q1 − p2) 2 = (q2 − p1) 2 

Mandelstam-Beziehung aufgrund der Impulserhaltung: 

und bei hohen Energien E ≫ m gilt 

Kinematik 51 

q2 

q1 

s + t + u = p 2 1 + p 2 2 + q 2 1 + q 2 2 = 

(Gesamtenergie) (129a) 

(Impulsübertrag) (129b) 

4 

i=1 

m 2 i 

(129c) 

(130) 

p 1/2 = (E; 0, 0, ±E) (131a) 

q 1/2 = (E; ±E sinθcosφ, ±E sinθsinφ, ±E cosθ) (131b) 

s = 4E 2 , t = −2E 2 (1 − cos θ) , u = −2E 2 (1 + cos θ) (132) 


Zwei Teilchen: 

Phasenraum 52 

 

d3p1 (2π) 3 d 

2E1 

3p2 (2π) 3 (2π) 

2E2 

4 δ 4 (p1 + p2 − P) = 1 

16π2 

|p1| 2d|p1|dΩ1 δ(E1(|p1|) + E2(|p1|) − E) 

E1E2 

= 1 

16π2 

|p1|E1dE1dΩ1 

δ(E1 + E2(E1) − E)= 1 

16π2 

|p1| 

d cos θ1dφ1 

E 

E1E2 

Der zweite Schritt in (133) folgt, weil wegen E 2 = |p| 2 + m 2 unabhängig von der Masse |p|d|p| = EdE 

gilt. Im dritten Schritt wurde 

d(E1 + E2(E1) − E) 

= 1 + E1/E2 = E/E2 

dE1 

∆ 

(133) 

(134) 

benutzt. ∆ in (133) ist der Bereich des Phasenraums, in dem die Energie-Impuls-Erhaltung erfüllt sein 

kann (i. A. nicht trivial, siehe z. B. Aufgabe 25). 

Spezialfall: Hochenergie-Limes im Schwerpunktssystem: |p1| = |p2| = E/2 + O(m/|p2| 2 ). 

1 

32π2 1 2π 

d cos θ1 

−1 

0 

dφ1 

(133 ′ ) 


QED 53 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 



4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

e + e − → µ + µ − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

Spursätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

FORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

Bhabha-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

FORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 



QED 54 

Quantenelektrodynamik: wechselwirkende Elektronen, Positronen und Photonen. 

Einziger Wechselwirkungsvertex für Fermionen: 

p 

f 

f 

k, µ 

p ′ 

= iQfeγµ 

mit der elektrischen Ladung Qf des Fermions f (z. B. Qe = −1). 

Für skalare Teilchen gibt es einen weiteren (“sea gull”) Vertex: 

p 

s 

s 

k, µ 

p ′ 

= iQse(pµ + p ′ µ) , 

k ′ , ν 

k, µ 

= 2iQ 2 se 2 gµν 

(135) 

(136) 


iT = ¯v(p2)(−ieγ ρ )u(p1) 

 

spins 

iT = 

¯v(p2) 

u(p1) 

e + e − → µ + µ − 55 

v(q2) 

−igρσ 

(p1 + p2) 2 −ieγρ 

+ iǫ 

−ieγσ (137) 

−igρσ 

(p1 + p2) 2 + iǫ ū(q1)(−ieγ σ 2 1 

)v(q2) = ie 

ū(q1) 

s [¯v(p2)γρu(p1)] [ū(q1)γ ρ v(q2)] 

(138) 

TT † 4 1 

= e 

s2 [¯v(p2)γρ1 u(p1)ū(p1)γρ2v(p2)][ū(q1)γ ρ1 v(q2)¯v(q2)γ ρ2 u(q1)] (139) 

TT † 4 1 

= e 

s2 tr[(p/2 − me)γρ1 (p/1 + me)γρ2 ]tr [(q/1 + mµ)γ ρ1 (q/2 − mµ)γ ρ2 ] 

4 1 

= e 

s2 Lρ2ρ1 (p1, p2, me)L ρ1ρ2 (q1, q2, mµ) (140) 


ū(p)Γu(q) = 

Mit der Notation für das Tensorprodukt 

folgt 

Spursätze 56 

4 

ūk(p)Γklul(q) = 

k,l=1 

4 

Γklul(q)ūk(p) (141) 

k,l=1 

⎛ 

u1(q)ū1(p) · · · 

⎜ 

u(q) ⊗ ū(p) = ⎝ 

. 

. .. 

⎞ 

u1(q)ū4(p) 

⎟ 

. ⎠ (142) 

u4(q)ū1(p) · · · u4(q)ū4(p) 

ū(p)Γu(q) = 

4 

4 

Γkl[u(q) ⊗ ū(p)]lk = (Γ[u(q) ⊗ ū(p)])kk 

k,l=1 

Mit der weiteren Notation für die Spur 

tr(A) = 

folgt schließlich die Darstellung des Matrixelements: 

4 

k=1 

Akk 

k=1 

(143) 

(144) 

ū(p)Γu(p) = tr(Γ[u(p) ⊗ ū(p)]) (145) 


Spursätze 57 

Unabhängig von der konkreten Realisierung der Dirac-Matrizen, haben Spuren über Dirac-Matrizen 

die folgenden Eigenschaften 

tr(1) = 4 (146a) 

tr(a/b/) = 1 

 

 

(33) 

tr(a/b/) + tr(b/a/) = tr(1) · ab = 4 · ab 

2 

(146b) 

(γ5γ5 = 1) 

tr(a/1) = tr(a/1a/2a/3) = tr (a/1a/2 · · ·a/2n+1) = 0 (146c) 

tr(a/1a/2 · · ·a/n) = tr(a/n · · · a/2a/1) (146d) 

tr(γ5) = tr(γ5a/) = tr(γ5a/b/) = tr(γ5a/b/c/) = 0 (146e) 

tr(γ5a/b/c/d/) = 4i · ǫ(a, b, c, d) (146f) 

die durch Anwendung der Anti-Vertauschungsrelationen (33) bewiesen werden können ((146d) 

verwendet die Existenz einer Ladungskonjugationsmatrix). 

Kontraktionsformeln werden ähnlich bewiesen: 

γ µ a/γµ = −2 · a/ (147a) 

γ µ a/b/c/γµ = −2 · c/b/a/ (147b) 

γ µ γµ = 4 (147c) 

γ µ a/b/γµ = 4 · ab (147d) 


Spursätze 58 

Einer der Spursätze soll Ihnen aber nicht erspart bleiben, weil der Beweis es leichter macht, sich die 

Formel zu merken . . . 

Aufgabe 13 Berechnen Sie 

tr(a/b/c/d/) (148) 

mit Hilfe der Anti-Vertauschungsrelationen (33) und der zyklischen Vertauschbarkeit unter der Spur 

tr(AB) = tr(BA) . (149) 

Nutzen Sie einen uralten Trick: Aber viele, die da sind die Ersten, werden die Letzten, und die Letzten 

werden die Ersten sein (Matthäus: 19, 30). 

Lösung 13 

also 

tr (a/b/c/d/) = + tr (b/c/d/a/) = − tr (b/c/a/d/) + 2 · ad · tr(b/c/) 

= + tr (b/a/c/d/) − 2 · ac · tr(b/d/) + 2 · ad · 4 · bc 

= − tr(a/b/c/d/) + 2 · ab · tr(c/d/) − 2 · ac · 4 · bd + 2 · ad · 4 · bc 

tr (a/b/c/d/) = 4 · (ab · cd − ac · bd + ad · bc) (148 ′ ) 


Spursätze 59 

Aufgabe 14 Berechnen Sie die Spur Lµν(p, q, m) = tr[(p/ + m)γµ(q/ − m)γν]. 

Lösung 14 

Lµν = tr [(p/ + m)γµ(q/ − m)γν] = tr[p/γµq/γν] − m 2 tr[γµγν] 

= 4 · (pµqν − gµνpq + pνqµ) − 4m 2 · gµν = 4 · pµqν + pνqµ − (pq + m 2 

)gµν 

Aufgabe 15 Berechnen Sie Lρ2ρ1 (p1, p2, 0)L ρ1ρ2 (q1, q2, 0) als Funktion der Mandelstam-Variablen im 

Grenzfall hoher Energien, d. h. verschwindender Massen. 

Lösung 15 

Lρ2ρ1 Lρ1ρ2 = 16 · (p1,ρ2 p2,ρ1 + p1,ρ1 p2,ρ2 − p1p2gρ2ρ1 ) q ρ1 

N. B.: ” Kreuzterme“ heben sich auf: 

= 8 · 

1 qρ2 

2 

+ qρ2 

1 qρ1 

2 

 

ρ1ρ2 

− q1q2g 

 

2(p1q2)2(p2q1) + 2(p1q1)2(p2q2) 

 

= 8 · u 2 + t 2 

 

(p1,ρ2p2,ρ1 + p1,ρ1p2,ρ2 )q1q2g ρ1ρ2 + p1p2gρ2ρ1 (qρ1 1 qρ2 

2 + qρ2 

1 qρ1 

ρ1ρ2 

2 ) = p1p2gρ2ρ1 q1q2g 

(150) 

(151) 


Aufgabe 16 Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt 

für e + e − → µ + µ − im Bereich min(|s|, |t|, |u|) ≫ me. 

Lösung 16 

also 


dσ 

dΩ (cosθ, ECM) (152) 

t = − s 

(1 − cos θ) , u = −s (1 + cos θ) (153) 

2 2 

t 2 + u 2 

s 2 

= 1 + cos2 θ 

2 

(154) 

1 

dσ = 

4 (p1p2) 2 − m2 1m2 1 

 

i 

2 

ni! 

1 

4 |T|2 dq1 dq2(2π) 4 δ 4 (p1 + p2 − q1 − q2) 

1 

= 

4 (s/2) 2 

1 

4 |T|2 1 

1 

d cosθdφ = 

32π2 64π2 1 

s 4 |T|2dΩ (155) 

also 

dσ 1 

= 

dΩ 64π2s e4 1 + cos 2 θ 2 1 

2 

= α 1 + cos θ 

4s 

(156) 


Aufgabe 17 Berechnen Sie den totalen Wirkungsquerschnitt 

für e + e − → µ + µ − im Bereich min(|s|, |t|, |u|) ≫ me. 

Lösung 17 

Vgl. 

mit 


σ(ECM) (157) 

 

σ = dΩ dσ α2 

= 

dΩ 4s 2π 

1 

d cos θ 

−1 

1 + cos 2 θ = α2 

4s 2π 

 

2 + 2 

 

= 

3 

4πα2 

3s 

σ = 

σ = 

(158) 

4πα 2 

3( √ s/TeV) 2 0.39 nb (20′′ ) 

α = e2 

4π = 

1 

137.0359895(61) 

87 fb 

( √ 8.7 pb 

= 

s/TeV) 2 ( √ s/100 GeV) 2 

(159) 

(20 ′′ ) 


FORM 62 

Berechnung durch Computerprogramme für symbolische Manipulation, z. B. FORM. 

Variablendeklaration 

1: vector p1, p2, q1, q2; 

2: symbol s, t, u, me, mq; 

3: indices rho1, rho2; 

Ausdrücke 

4: local [TT*] = 

5: (g_(1, p2) - me*g_(1)) * g_(1, rho1) 

6: * (g_(1, p1) + me*g_(1)) * g_(1, rho2) 

7: * (g_(2, q1) + mq*g_(2)) * g_(2, rho1) 

8: * (g_(2, q2) - mq*g_(2)) * g_(2, rho2); 

Berechnung der Spuren 

9: trace4, 1; 

10: trace4, 2; 

11: print; 

12: .sort; 


Reduktion auf Mandelstam-Variable aus (129) 

usw.: 

FORM 63 

s = (p1 + p2) 2 = 2m 2 e + 2p1p2 

t = (q2 − p1) 2 = m 2 q + m2e − 2q2p1 

(160b) 

13: id p1.p2 = 1/2 * (s - 2*meˆ2); 

14: id q1.q2 = 1/2 * (s - 2*mqˆ2); 

15: id p1.q1 = - 1/2 * (t - meˆ2 - mqˆ2); 

16: id p2.q2 = - 1/2 * (t - meˆ2 - mqˆ2); 

17: id p1.q2 = - 1/2 * (u - meˆ2 - mqˆ2); 

18: id p2.q1 = - 1/2 * (u - meˆ2 - mqˆ2); 

menschliche Intelligenz (vgl. (151)): als Funktion von t und u ist der Ausdruck am kompaktesten 

19: id s = - u - t + 2*meˆ2 + 2*mqˆ2; 

20: bracket me, mq; 

21: print; 

22: .sort; 

(160a) 


ohl@thopad:˜laach2k$ form laach2k-mumu.frm 

FORM 64 


Bhabha-Streuung 65 

Aufgabe 18 Zeichnen Sie alle Feynman-Diagramme für e + e − → e + e − ( ” Bhabha-Streuung“) 

Lösung 18 

iTt = 

iTs = 

e − (p1) 

e + (p2) 

e− (p1) 

e + (p2) 

γ[, Z 0 ] 

γ[, Z 0 ] 

e − (q1) 

e + (q2) 

e− (q1) 

e + (q2) 

(161a) 

(161b) 


Bhabha-Streuung 66 

Müssen die Diagramme addiert oder subtrahiert werden? Allgemeiner: welche relative Phase haben 

die Diagramme? 

TT † = (Tt − Ts)(Tt − Ts) † = TtTt † − TtTs † − TsTt † + TsTs † 

(162) 

mit relativen Vorzeichen aus der Anzahl der geschlossenen Fermionschleifen in den ” quadrierten 

Diagrammen“: 

TtTt † = (−1) 2 × , TtTs † = (−1) 1 × (163a) 

TsTt † = (−1) 1 × , TsTs † = (−1) 2 × (163b) 

alternativ: relative Vorzeichen der Diagramme aus der Permutation der Endpunkte der Fermionlinien 


Variablendeklaration wie oben. 

Ausdrücke 

Wie früher: 

4: local [SS*] = 

5: (g_(1, p2) - me*g_(1)) * g_(1, rho1) 

6: * (g_(1, p1) + me*g_(1)) * g_(1, rho2) 

7: * (g_(2, q1) + me*g_(2)) * g_(2, rho1) 

8: * (g_(2, q2) - me*g_(2)) * g_(2, rho2); 

ähnlich: 

9: local [TT*] = 

10: (g_(1, q1) + me*g_(1)) * g_(1, rho1) 

11: * (g_(1, p1) + me*g_(1)) * g_(1, rho2) 

12: * (g_(2, p2) - me*g_(2)) * g_(2, rho1) 

13: * (g_(2, q2) - me*g_(2)) * g_(2, rho2); 

FORM 67 

2 1 

Ts = e 

s [¯v(p2)γρu(p1)] [ū(q1)γ ρ v(q2)] (164) 

2 1 

Tt = e 

t [¯v(p2)γρv(q2)][ū(q1)γ ρ u(p1)] (165) 


FORM 68 

Die Interferenzterme sind komplizierter und erfordern Spuren von bis zu acht Gammamatrizen: 

TsTt ∗ 4 1 

= e 

st [¯v(p2)γρ1 u(p1)] [ū(p1)γ ρ2 u(q1)] [ū(q1)γ ρ1 v(q2)] [¯v(q2)γρ2 v(p2)] (166) 

14: local [ST*] = 

15: (g_(1, p2) - me*g_(1)) * g_(1, rho1) 

16: * (g_(1, p1) + me*g_(1)) * g_(1, rho2) 

17: * (g_(1, q1) + me*g_(1)) * g_(1, rho1) 

18: * (g_(1, q2) - me*g_(1)) * g_(1, rho2); 

TtTs ∗ 4 1 

= e 

st [¯v(p2)γρ1 v(q2)][¯v(q2)γ ρ2 u(q1)] [ū(q1)γ ρ1 u(p1)][ū(p1)γρ2 v(p2)] (167) 

19: local [TS*] = 

20: (g_(1, p2) - me*g_(1)) * g_(1, rho1) 

21: * (g_(1, q2) - me*g_(1)) * g_(1, rho2) 

22: * (g_(1, q1) + me*g_(1)) * g_(1, rho1) 

23: * (g_(1, p1) + me*g_(1)) * g_(1, rho2); 

Berechnung der Spuren wie oben. 

24: trace4, 1; 

25: trace4, 2; 

26: .sort; 


Reduktion auf Mandelstam-Variable wie oben (aber mµ = me). 

27: id p1.p2 = 1/2 * (s - 2*meˆ2); 

28: id q1.q2 = 1/2 * (s - 2*meˆ2); 

29: id p1.q1 = - 1/2 * (t - 2*meˆ2); 

30: id p2.q2 = - 1/2 * (t - 2*meˆ2); 

31: id p1.q2 = - 1/2 * (u - 2*meˆ2); 

32: id p2.q1 = - 1/2 * (u - 2*meˆ2); 

FORM 69 

menschliche Intelligenz: als Funktion von t und u ist der Ausdruck für |Ts| 2 am kompaktesten: 

33: id s = - u - t + 4*meˆ2; 

34: bracket me; 

35: print; 

36: .sort; 

Der Ausdruck für |Tt| 2 ist als Funktion von s und u am kompaktesten . . . 

. . . zwei verschiedene Reduktionen im gleichen FORM-Programm erfordern fortgeschrittene 

Tricks . . . 


ohl@thopad:˜laach2k$ form laach2k-bhabha.frm 

NB: |Ts| 2 (t, u) = |Tt| 2 (s, u) 

FORM 70 


FORM 71 

Sehr symmetrisches Endergebnis: 

 

TT ∗ = 8e 4 

2 2 t + u 

s2 + s2 + u2 t2 + 2u2 

 

+ O(m 

st 

2 e ) (168) 

spins 

Aufgabe 19 Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt 

für Bhabha-Streuung im Bereich min(|s|, |t|, |u|) ≫ me. 

[NB: 1 − cos θ = 2 sin 2 (θ/2), 1 + cos θ = 2 cos 2 (θ/2)] 

dσ 

(cosθ) (169) 

dΩ 


Lösung 19 

also 

und schließlich 

dσ α2 

= 

dΩ 2s 

 

1 + cos 2 θ 

2 

FORM 72 

t = − s 

 

θ 

(1 − cosθ) = −s sin2 

2 2 

u = − s 

 

θ 

(1 + cosθ) = −s cos2 

2 2 

(170a) 

(170b) 

s2 + u2 = 1 + cos4 

θ 

2 (171a) 

t 2 

sin 4 θ 

2 

u2 st = −cos4 

θ 

2 

(171b) 

sin 2 θ 

2 

+ 1 + cos4 

θ 

2 − 2 cos4 

θ 

2 

sin 4 θ 

2 

sin 2 θ 

2 

= α2 

4s 

2 2 3 + cos θ 

1 − cos θ 

(172) 


QCD 73 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 



4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3-Jet Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 



erfordert eigentlich eine eigene Vorlesung 

∴ nur ein paar Formeln 

Feynman-Regeln 74 

– Generatoren Ta und total anti-symmetrische Strukturkonstanten fabc: 

[Ta, Tb] = ifabcTc 

(mit Summationskonvention für c = 1, 2, . . . , (N 2 c − 1)). 

– Normierung und Kontraktionen: 

Physikalische Freiheitsgrade: Quarks und Gluonen: 

p 

(173) 

tr(TaTb) = 1 

2 δab 

(174a) 

TaTa = CF · 1 = N2 C − 1 

· 1 

2NC 

(174b) 

facdfbcd = CF · δab 

(174c) 

k, µ, a 

p ′ 

= igγµTa (175a) 


2 

2 

1 

3 

1 

3 4 

Faddeev-Popov Geister nur in Schleifenrechnungen nötig. 

= 

= 


gfa1a2a3 gµ1µ2 (k1 µ3 − k2 µ3 ) 

+gfa1a2a3 gµ2µ3 (k2 µ1 − k3 µ1 ) 

+gfa1a2a3 gµ3µ1 (k3 µ2 − k1 µ2 ) 

−ig 2 fa1a2bfa3a4b× 

(gµ1µ3gµ4µ2 − gµ1µ4gµ2µ3 ) 





(175b) 

(175c) 


Quarks sind elektrisch geladen: 

p 

k, µ, a 

p ′ 

3-Jet Produktion 76 

= − ieQqγµ (176) 

und koppeln im Standardmodell (vgl. (213) und (215)) auch an Z 0 und W ± . 

Aufgabe 20 Zeichnen Sie alle aus den Feynman-Regeln für QED und QCD folgenden 

Feynman-Diagramme ohne Schleifen für 3-Jet Produktion 

e + + e − → q + ¯q + g 

(beschränken Sie sich dabei auf den PETRA Energiebereich unterhalb der Z 0 -Resonanz). Schreiben 

Sie die zugehörigen algebraischen Ausdrücke auf. 


Lösung 20 

iT1 = 

iT2 = 

¯v(p2) 

u(p1) 

¯v(p2) 

u(p1) 

ieγµ 

ieγµ 


−igµν 

(p1 + p2) 2 + iǫ 

i 

−ieQγν 

q/1 + k/ − m + iǫ 

−igT aγρ −igµν 

(p1 + p2) 2 + iǫ 

i 

−igT a γρ 

−q/2 − k/ − m + iǫ 

−ieQγν 

v(q2) 

ū(q1) 

v(q2) 

ū(q1) 

ǫ ∗ ρ (k) 

ǫ ∗ ρ (k) 

(177a) 

(177b) 

 

iT1 = ū(q1)(igTaǫ/ ∗ i 

(k)) 

q/1 + k/ − m + iǫ (−ieQγµ 

−i 

)v(q2) 

(p1 + p2) 2 + iǫ [¯v(p2)(ieγµ)u(p1)] (178a) 

 

iT2 = ū(q1)(−ieQγ µ i 

) 

−q/2 − k/ − m + iǫ (igTaǫ/ ∗ 

−i 

(k))v(q2) 

(p1 + p2) 2 + iǫ [¯v(p2)(ieγµ)u(p1)] (178b) 


Aufgabe 21 Zeigen Sie die Ward-Identität für das Gluon 

 


T1 

 

ǫ∗ + T2 

 

µ(k)=kµ ǫ∗ µ(k)=kµ 

d. h. es werden keine Gluonen mit unphysikalischer Polarisation ǫ∗ µ (k) = kµ produziert. Nutzen Sie 

dafür die Dirac-Gleichung für äußere Linien, z. B. 

Lösung 21 

1 

= 0 , (179) 

−p/1 − k/ − m + iǫ (k/ + p/1 + m)v(p1) = −v(p1) (für k = 0) (180) 

 

T1 

 

ǫ∗ µ(k)=kµ = e2Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1 

s ū(q1)Ta(k/ 

1 

+ q/1 − m) 

q/1 + k/ − m + iǫ γµ v(q2) 

andererseits 

 

T2 

= e 2 Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1 

s ū(q1)Taγ µ v(q2) (181) 

 

ǫ∗ µ(k)=kµ = e2Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1 µ 1 

ū(q1)γ 

s −q/2 − k/ − m + iǫ (k/ + q/2 + m)Tav(q2) 

= −e 2 Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1 

s ū(q1)Taγ µ 

v(q2) = −T1 

ǫ ∗ µ(k)=kµ 

(182) 



Zur Weiterverarbeitung ist es sinnvoll, noch etwas Notation einzuführen: 

mit den Strom-Matrixelementen 

Dann 

Tn = e 2 Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1 

s Jµ n(q1, q2, k, ǫ) (183) 

J µ 

1 (q1, q2, k, ǫ) = ū(q1)Taǫ/ ∗ (k)(q/1 + k/ + m)γ µ v(q2) 

(q1 + k) 2 − m2 + iǫ 

J µ 

2 (q1, q2, k, ǫ) = ū(q1)γ µ (−q/2 − k/ + m)Taǫ/ ∗ (k)v(q2) 

(q2 + k) 2 − m2 + iǫ 

 

spins, pol. 

mit dem hadronischen Tensor 

und 

|T1 + T2| 2 = e4 g 2 Q 2 

H µν (q1, q2, k) = 

spins,ǫ 

(184a) 

(184b) 

s 2 Lµν(p1, p2, 0)H µν (q1, q2, k) (185) 

J µ (q1, q2, k, ǫ)J ν,∗ (q1, q2, k, ǫ) (186) 

J µ (q1, q2, k, ǫ) = J µ 

1 (q1, q2, k, ǫ) + J µ 

2 (q1, q2, k, ǫ) (187) 



Völlig analog zu (179) in Aufgabe 21 kann man zeigen, daß 

µ 

q 1 + qµ 

2 + kµ Jµ(q1, q2, k, ǫ) = 0 (188) 

und deshalb mit dem Schwerpunktsimpuls p = p1 + p2 = q1 + q2 + k 

p µ H µν (q1, q2, k) = p ν H µν (q1, q2, k) = 0 (189) 

Die Winkelabhängigkeit von H µν (q1, q2, k) enthält sehr viel Information, ist aber unübersichtlich. 

Betrachte daher nur die Abhängigkeit von den Energien 

x1 = 2q1p 

p2 , x2 = 2q2p 

p2 , x3 = 2kp 

p2 (190) 

und integriere über die Winkel 

 

dq1 dq2 dk (2π) 4 δ 4 (q1 + q2 + k − p) f(x1, x2, x3) = s 

128π3 

dx1dx2 f(x1, x2, 2 − x1 − x2) (191) 

Nach der Winkelintegration kann das Resultat nur vom Schwerpunktsimpuls p und den xi abhängen. 

Aus (189) folgt 

und 

 

d ˜ΩH µν µ ν p p 

(q1, q2, k) = 

p2 

− gµν ˜H(p, x1, x2) (192) 

˜H(p, x1, x2) = − 1 

 

d ˜ΩH 

3 

µ µ(q1, q2, k) (193) 


Konsequenz der Energieerhaltung: 

Konsequenz der Impulserhaltung für verschwindende Massen: 

wobei Gleichheit für parallele q1 und q2 gilt. Also 


x1 + x2 + x3 = 2(q1 + q2 + k)p 

p 2 = 2 (194) 

x2 

x1 + x2 x3 = 2 − x1 − x2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

(195) 

x1 + x2 1 (195 ′ ) 

x3 = 1 

0 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

x1 

x3 = 0 


Für verschwindende Massen: 

 

spins, pol. 

Phasenraumfaktor: 

 

d ˜Ω |T1 + T2| 2 = 4e4 g 2 Q 2 

s 2 

d2σ = 

dx1dx2 

1 

2s 

s 

128π 3 


µ 

p 1 pν2 + p ν 1 p µ 

2 − p1p2g µν 

pµpν 

− gµν ˜H(p, x1, x2) 

s 

1 

4 

 

spins, pol. 

 

d ˜Ω|T1 + T2| 2 = αsα 2 Q 2 

4s 

= 4e4 g 2 Q 2 

s 

˜H(p, x1, x2) (196) 

˜H(p, x1, x2) (197) 

Aufgabe 22 Drücken Sie die Invarianten q1q2, q1k und q2k durch s und die xi aus. (Sie dürfen alle 

Teilchen als masselos annehmen). 

Lösung 22 

q1q2 = 1 

2 (q1 + q2) 2 = 1 

2 (p − k)2 = s 

2 (1 − x3) (198a) 

q1k = 1 

2 (q1 + k) 2 = 1 

2 (p − q2) 2 = s 

2 (1 − x2) (198b) 

q2k = 1 

2 (q2 + k) 2 = 1 

2 (p − q1) 2 = s 

2 (1 − x1) (198c) 



Aufgabe 23 Berechnen Sie 

d2σ (x1, x2) (199) 

dx1dx2 

(Sie dürfen weiterhin alle Teilchen als masselos annehmen). NB: 

• Berechnen Sie zunächst H µ µ(q1, q2, k) als Funktion von q1q2, q1k und q2k. 

• Wegen (179) dürfen Sie dabei 

 

setzen, ohne das Ergebnis zu verfälschen. 

ǫ 

ǫµǫ ∗ ν = −gµν 

(200) 

• Nutzen Sie die Kontraktionsidentitäten (147) vor der Berechnung von Spuren, um die Spuren 

handlich zu halten. 

Lösung 23 Vier Spuren: 

H µν (q1, q2, k) = 

 

+ 

ǫ 

ǫ 

tr[q/1Taǫ/ ∗ (q/1 + k/)γ µ q/2γ ν (q/1 + k/)ǫ/Ta] 

(2q1k) 2 

tr[q/1γ µ (−q/2 − k/)Taǫ/ ∗ q/2γ ν (q/1 + k/)ǫ/Ta] 

(2q1k)(2q2k) 

+ 

+ 

ǫ 

ǫ 

tr[q/1Taǫ/ ∗ (q/1 + k/)γ µ q/2ǫ/Ta(−q/2 − k/)γ ν ] 

(2q1k)(2q2k) 

tr[q/1γ µ (−q/2 − k/)Taǫ/ ∗ q/2ǫ/Ta(−q/2 − k/)γ ν ] 

(2q2k) 2 

(201) 



Lösung 23 ′ Farbanteil der Quarkspur tr(TaTa) = CF tr(1) = CFNC und Polarisationssumme: 

H µν tr[q/1(q/1 + k/)γ 

(q1, q2, k) = 2CFNc 

µ q/2γ ν (q/1 + k/)] 

(2q1k) 2 

tr[q/1q/2γ 

+ 2CFNc 

µ (q/1 + k/)(−q/2 − k/)γ ν ] 

(2q1k)(2q2k) 

tr[q/1γ 

+ 2CFNc 

µ (−q/2 − k/)(q/1 + k/)γ νq/2] tr[q/1γ 

+ 2CFNc 

(2q1k)(2q2k) 

µ (−q/2 − k/)q/2(−q/2 − k/)γ ν ] 

(2q2k) 2 

Kontraktion: 

tr[q/1q/2] 

+ 8CFNc(q1 + k)(−q2 − k) 

(2q1k)(2q2k) 

tr[q/1q/2] 

tr[q/1(−q/2 − k/)q/2(−q/2 − k/)] 

+ 8CFNc(−q2 − k)(q1 + k) − 4CFNc 

(2q1k)(2q2k) (2q2k) 2 

H µ tr[q/1(q/1 + k/)q/2(q/1 + k/)] 

µ(q1, q2, k) = −4CFNc 

(2q1k) 2 

Letzte Spuren: 

H µ µ (q1, 

2(q1k)(q2k) 

q2, k) = −16CFNc 

(2q1k) 2 

Schließlich: 

1 − x1 

− 8CFNc 

1 − x2 

(1 − x3) 

− 16CFNc 

(1 − x1)(1 − x2) 

d 2 σ 

dx1dx2 

= Nc 

(202) 

(203) 

(q1q2 + q1k + q2k)(q1q2) 2(q1k)(q2k) 

− 64CFNc 

− 16CFNc 

(2q1k)(2q2k) 

(2q2k) 2 

1 − x2 

− 8CFNc 

1 − x1 

4πα2Q2 αs 

3s 2π CF 

x2 1 + x22 (1 − x1)(1 − x2) 

x 

= −8CFNc 

2 1 + x22 (1 − x1)(1 − x2) 

(204) 

(205) 


Standardmodell 85 

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 



4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 


Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

Higgs-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 


Standardmodell 86 

Leptonen (C, T)Y Q = T3 + Y 

2 

νe,R (?) νµ,R (?) ντ,R (?) (1, 1)0 0 

⎛ 

eR µR τR (1, 1)−2 −1 

⎝ νe,L 

eL 

⎝ uL 

dL 

⎞ 

⎠ 

⎠ 

⎛ 

⎝ νµ,L 

µL 

⎝ cL 

sL 

⎞ 

⎠ 

⎠ 

⎛ 

⎝ ντ,L 

τL 

⎝ tL 

bL 

⎞ 

⎠ (1, 2)−1 

⎠ (3, 2) 1/3 

⎛ 

⎝ 0 

⎞ 

⎠ 

−1 

uR 

dR 

Quarks 

cR 

sR 

tR 

bR 

(3, 1) 4/3 

(3, 1) −2/3 

2 

3 

− 1 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎛ 3⎞ 

Eichbosonen 

A Z 0 W ± g 

Higgs 

⎝ 2 

3 

− 1 

3 

Φ (?) (1, ?)? ? 


Äußere Spin-1 Teilchen: 

Innere Teilchen und Anti-Teilchen 

• Polarisationssumme: 

einlaufend: 

auslaufend: 

Spin-1 (m = 0): 

 

pol. 

• unitäre Eichung: ∂ µ Dµν = 0. Alternativen 


k 

k 

k 

⎠ 

⇐⇒ ǫµ(k) (206a) 

⇐⇒ ǫ ∗ µ (k) (206b) 

⇐⇒ −igµν + i kµkν 

M2 k2 − M2 + iΓM 

ǫµ(k)ǫ ∗ ν(k) = −gµν + kµkν 

M 2 

−igµν + i(1 − ξ) kµkν 

k 2 −ξM 2 

k 2 − M 2 + iΓM 

besser für Strahlungskorrekturen, aber umständlicher. 

• endliche Breite Γ: (für geladene Teilchen problematisch, aber nötig) 

|D(p, M)| 2 ∝ 

1 

(p 2 − M 2 ) 2 + Γ 2 M 2 

(207) 

(208) 

(209) 

(210) 


Mit der Notation 

z. B. 


gV = T3 − 2Q sin 2 θw 

gA = T3 

gV = − 1 − 4 sin2 θw 

2 

sind die Feynman-Regeln für neutrale Ströme: 

p 

p 

f Z 0 

f 

f 

γ 

f 

k, µ 

p ′ 

k, µ 

p ′ 

= 

, gA = − 1 

2 

g 

− i 

2 cosθw 

 

f 

gVγµ − g f Aγµγ5 

(211a) 

(211b) 

(212) 

(213) 

= − ieQfγµ (214) 


geladene Ströme (Vff ′ ist CKM-Matrix): 

p 

f W − 

trilineare Eichboson-Kopplungen: 

k2, µ2 

k2, µ2 

W − 

W − 

f ′ 

Z 0 

− W γ 

W − 

k, µ 

p ′ 

k1, µ1 

k3, µ3 

k1, µ1 

k3, µ3 


= 

= 

= − i g √ Vff 

2 ′τ+ 1 − γ5 

γµ 

2 

ie cotθwgµ1µ2 (k1 µ3 − k2 µ3 ) 

+ie cotθwgµ2µ3 (k2 µ1 − k3 µ1 ) 

+ie cotθwgµ3µ1 (k3 µ2 − k1 µ2 ) 

iegµ1µ2 (k1 µ3 − k2 µ3 ) 

+iegµ2µ3 (k2 µ1 − k3 µ1 ) 

+iegµ3µ1 (k3 µ2 − k1 µ2 ) 

(215) 

(216) 

(217) 


trilineare Higgs-Kopplungen an Fermionen und Eichbosonen: 

p 

p, µ 

p, µ 

f H 

f 

Z 0 H 

Z 0 

W ± H 

k 

p ′ 

k 

W ± 


p ′ , µ ′ 

k 

p ′ , µ ′ 

= 

− i gmf 

2MW 

(218) 

= i gMZ 

gµµ ′ (219) 

cosθw 

= igMWgµµ ′ (220) 

noch viel mehr Vertices: quadrilineare Kopplungen, Higgs-Selbstkopplungen, etc. 


Higgs-Strahlung 91 

Aufgabe 24 Berechnen Sie die Streuamplitude für Higgs-Strahlung e + e − → ZH 

e + (p+) 

e − (p−) 

Z 0 

Z 0 

H(k) 

Z 0 (q) 

und vernachlässigen Sie dabei konsequent Terme von O(me/MZ), O(me/MH), und O(me/ √ s). 

Außerdem sei √ s so weit oberhalb der Z-Resonanz, daß die endliche Breite des Z vernachlässigt 

werden kann. 

Lösung 24 Mit p = p+ + p−: 

g 

iT = −i 

2 cos θw 

(221) 

[¯v(p+)γµ(g e V − g e Aγ5)u(p−)] −igµν + ip µ pν /M2 Z 

p2 − M2 (i 

Z 

gMZ 

gνρ)ǫ 

cos θw 

∗,ρ (q) (222) 

Stromerhaltung [¯v(p+)γµ(g e V − ge A γ5)u(p−)] p µ = −2ig e A me ¯v(p+)γ5u(p−) = O(me) 

T = − g2 MZ 

1 

2 cos2 θw s − M2 Z 

[¯v(p+)ǫ/ ∗ (q)(g e V − g e Aγ5)u(p−)] (223) 


Aufgabe 25 Zeigen Sie, daß die Viererimpulse 

mit 

und 


p− = (E; 0, 0, E) (224a) 

p+ = (E; 0, 0, −E) (224b) 

k = (EH; p sinθcosφ, p sinθsinφ, p cos θ) (224c) 

q = (EZ; −p sinθcosφ, −p sinθsinφ, −p cos θ) (224d) 

p = 

 

λ(s, M 2 H , M2 Z ) 

2 √ s 

EH = s + M2 H − M2 Z 

2 √ s 

EZ = s + M2 Z − M2 H 

2 √ s 

(225a) 

(225b) 

(225c) 

λ(a, b, c) = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 2bc (226) 

Energie- und Impulserhaltung, sowie die Massenschalenbedingungen für e + e − → ZH mit me = 0 

erfüllen. Berechnen Sie 

16(p+q)(p−q) . (227) 



Lösung 25 Die Impulserhaltung ist offensichtlich und die Energieerhaltung folgt aus 

Die Higgs-Massenschale folgt aus 

E 2 H − p 2 = s2 + M 4 H + M4 Z + 2sM2 H − 2sM2 Z − 2M2 H M2 Z 

4s 

die Z-Massenschale analog: E2 Z − p2 = M2 Z . Schließlich 

also 

EH + EZ = √ s = 2E . (228) 

− s2 + M 4 H + M4 Z − 2sM2 H − 2sM2 Z − 2M2 H M2 Z 

4s 

4p∓q = 4E(EZ ± p cos θ) = s + M 2 Z − M 2 H ± 

= M 2 H , (229) 

 

λ(s, M2 H , M2 Z ) cos θ , (230) 

16(p+q)(p−q) = (s + M 2 Z − M 2 H) 2 − λ(s, M 2 H, M 2 Z) cos 2 θ = 4sM 2 Z + λ(s, M 2 H, M 2 Z) sin 2 θ (231) 

Aufgabe 26 Berechnen Sie den unpolarisierten differentiellen Wirkungsquerschnitt 

für Higgs-Strahlung e + e − → ZH. 

dσ 

dΩ (θe − H) (232) 


Lösung 26 

 

1 


|T| 

spins 

2 = g4M2 Z 

4 cos4 θw (s − M2 Z )2 tr(p/+ǫ/(q)(g e V − ge Aγ5)p/−(g e V − geA γ5)ǫ/ ∗ (q)) 

Nächster Schritt: Polarisationssumme 

 

 

spins, pol. 

|T| 2 = g4 M 2 Z (ge V 2 + g e A 2 ) 

cos 4 θw 

= g4 (g e V 2 + g e A 2 ) 

cos 4 θw 

1 

= g4M2 Z 

4 cos4 θw (s − M2 Z )2(ge 2 e 2 

V + gA ) tr(p/+ǫ/(q)p/−ǫ/ ∗ (q)) 

pol. 

= g4 M 2 Z (ge V 2 + g e A 2 ) 

4 cos 4 θw 

ǫµ(q)ǫ ∗ ν(q) = −gµν + qµqν 

M 2 Z 

1 

(s − M 2 Z )2 

p+p−M2 Z + 2(p+q)(p−q) 

(s − M2 Z )2 

1 

(s − M2 Z )2 Lµν (p+, p−, 0)ǫµ(q)ǫ ∗ ν(q) (233) 

µ 

p +p ν − + p µ −p ν + − p+p−g µν 

−gµν + qµqν 

M2 

Z 

= g4 (ge V 2 + ge A 2 ) 

8 cos4 8sM 

θw 

2 Z + λ(s, M2 H , M2 Z ) sin2 θ 

(s − M2 Z )2 

(234) 

(235) 


Lösung 26 ′ Phasenraum (133): 

also 

dσ 

dΩ (θe − H) = 

dσ 

dΩ (θe−H) = 1 

2s 

 

λ(s, M 2 H , M2 Z ) 

s 


1 

16π 2 

 

λ(s, M 2 H , M2 Z ) 

2s 

α 2 (g e V 2 + g e A 2 ) 

128s sin 4 θw cos 4 θw 

1 

4 

 

spins, pol. 

|T| 2 

8sM 2 Z + λ(s, M2 H , M2 Z ) sin2 θ 

(s − M 2 Z )2 

Aufgabe 27 Berechnen Sie den integrierten Wirkungsquerschnitt für Higgs-Strahlung e + e − → ZH. 

Lösung 27 Mit 

folgt 

σ = 

 

λ(s, M 2 H , M2 Z ) 

s 

(236) 

(237) 

dΩ (a + b sin 2 θ) = 4πa + 8π 

b (238) 

3 

πα 2 (g e V 2 + g e A 2 ) 

48s sin 4 θw cos 4 θw 

12sM 2 Z + λ(s, M2 H , M2 Z ) 

(s − M 2 Z )2 

(239) 


Lösung 27 ′ oder 

σ = 

 

λ(s, M 2 H , M2 Z ) 

s 


πα2 (1 + (1 − 4 sin 2 θw) 2 ) 

192s sin 4 θw cos4 12sM 

θw 

2 Z + λ(s, M2 H , M2 Z ) 

(s − M2 Z )2 

(240)

Skript - Herbstschule Maria Laach

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