Skript - Herbstschule Maria Laach

Lösung 3
Gamma-Matrizen 20
k l
γ , γ
+ =
k 0 σ
−σk
l 0 σ
0 −σl
k l −σ σ 0
+ (k ←→ l) =
0
0 −σkσl
+ (k ←→ l)
k l −[σ , σ ]+ 0
=
= −2δ kl
1 0
0 1
Für (40) gilt offensichtlich
γ †
0 = γ0 , γ †
i = − γi
(44)
0 −[σ k , σ l ]+
was aufgrund von (γ0) 2 = 1 (d. h. γ0 hat reelle Eigenwerte) und (γi) 2 = − 1 (d. h. γi hat imaginäre
Eigenwerte) für alle Realisierungen gelten muß. Die Dirac-Adjunktion für Matrizen
ist deshalb nützlich.
A = γ0A † γ0 , γµ = γ0γ † µγ0 = γµ
NB: auf der nächsten Seite werden wir noch die Dirac-Adjunktion für Spaltenvektoren
kennenlernen.
v = v † γ0
(43a)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Ansatz:
Adjungierte Lösung
erfüllt
also
bzw.:
(45)
(46)
Freie Spin-1/2 Teilchen 21
ψ(x) = dp ψ (+) (p)e −ipx + ψ (−) (p)e ipx
(i∂/ − m) ψ(x) = 0 ⇔
¯ψ(x)i ←− ∂/ = i∂µ ¯ψ(x)γ µ = i∂µψ(x) † γ0γ µ γ0γ0
(p/ − m) ψ (+) (p) = 0
(p/ + m) ψ (−) (p) = 0
¯ψ(x) = ψ(x) †
γ0 = dp ¯ψ (+) (p)e ipx + ¯ψ (−) (p)e −ipx
(47)
(48)
(49)
= i∂µψ(x) † γ µ† γ0 = (−i∂µγ µ ψ(x)) † γ0 = (−i∂/ψ(x)) = −m ¯ψ(x) (50)
¯ψ(x) i ←−
∂/ + m = 0 , (51)
¯ψ (+) (p)(p/ − m) = 0 (52a)
¯ψ (−) (p)(p/ + m) = 0 (52b)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Allgemeine Lösungen:
Freie Spin-1/2 Teilchen 22
ψ (+) (p) =
ψ (−) (p) =
2
uk(p)bk(p) (53a)
k=1
2
vk(p)dk(p) (53b)
k=1
mit den vier unabhängigen Lösungen u1(p), u2(p), v1(p), v2(p)
(p/ − m)uk(p) = 0 (54a)
(p/ + m)vk(p) = 0 (54b)
und den zugehörigen skalaren Entwicklungskoeffizienten b1(p), b2(p), d1(p) und d2(p).
Im Ruhesystem p/ = mγ0, vereinfacht sich die Dirac-Gleichung zu
0 0
m(γ0 − 1)uk(0) =
uk(0) = 0 (55a)
0 −2m · 1
2m · 1 0
m(γ0 + 1)vk(0) = vk(0) = 0 (55b)
0 0
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007