Skript - Herbstschule Maria Laach

Propagatoren 41
Formal (mit ǫ → 0+):
4 d p
1
D(x, m) = e−ipx
(2π) 4 p2 − m2 + iǫ
(109)
2 2
∂ + m 4 d p
D(x, m) =
(2π) 4 e−ipx −p2 + m2 p2 − m2 4 d p
= −
+ iǫ (2π) 4 e−ipx = −δ 4 (x) (110)
Singularitäten im Integral über p0 bei ± |p| 2 + m 2 (das +iǫ ist eine Abkürzung für die Wahl des
Integrationsweges):
1
p 2 − m 2 + iǫ =
E>0
=
Imp0
− |p| 2 + m 2
1
(p0) 2 − (|p| 2 + m2 E=+
) + iǫ
√ |p| 2 +m2 =
1
(p0) 2 =
− (E − iǫ) 2
+ |p| 2 + m 2
Rep0
1
(p0) 2 − E2 + iǫ
1 1 1 1
=
p0 − E + iǫ p0 + E − iǫ 2E p0 − E + iǫ −
1
p0 + E − iǫ
(111)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Vorwärts in der Zeit:
x0 > 0 : lim
p0→−i∞ e−ip0x0 → 0 (112a)
und der Integrationsweg in (109) kann unten
geschlossen werden.
Rückwärts in der Zeit:
x0 < 0 : lim
p0→+i∞ e−ip0x0 → 0 (112b)
und der Integrationsweg in (109) kann oben
geschlossen werden.
Konsequenz:
Φ ′
(x) = d 4 4 d p
yD(x − y, m)Φ(y) =
(2π)
Propagatoren 42
4 e−ipx
1
Imp0
Imp0
Rep0
Rep0
p2 − m2 + iǫ ˜Φ(p) (113)
der Teil von ˜Φ(p) mit p0 = + |p| 2 + m 2 wird in die Zukunft propagiert und der Teil von ˜Φ(p)
mit p0 = − |p| 2 + m 2 wird in die Vergangenheit propagiert. [Alle anderen Kombinationen sind
prinzipiell möglich, aber inkompatibel mit der Kausalität . . . ]
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Propagatoren 43
Compton-Streuung in nichtrelativistischer Störungsrechnung hat sowohl Streuung, als auch
Paarerzeugung und Paarvernichtung:
t1 t2 +
t1
t2
+
∵ Zwischenzustände genügen nicht der Energie-Erhaltung: Abstand der Vertices kann raumartig
sein.
zeitliche Ordnung von t1 und t2 hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht definiert!
Feynmans geniale Interpretation:
• Teilchen mit p0 = + |p| 2 + m 2 werden in die Zukunft propagiert
• Anti-Teilchen mit p0 = − |p| 2 + m 2 und Ladung mit entgegengesetztem Vorzeichen werden in
die Vergangenheit propagiert
∴ Ladung entlang der Pfeilrichtung in (114) erhalten!
Die vier nichtrelativistischen Diagramme in (114) können mit dem Feynman-Propagator
paarweise zu kovarianten Ausdrücken zusammengefaßt werden
t1
t2
+
t1
t2
(114)
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