Skript - Herbstschule Maria Laach

Invarianter Überlapp aus erhaltenem Strom:
Q =
x0=t
d 3 xj0(x) =
x0=t
d 3 xφ ∗ 1(x)i ←→ ∂0 φ2(x)
Freie Spin-0 Teilchen 14
d
=
3p (2π) 3
1
φ
2p0 2p0
(+)∗
1 (p)φ (+)
2 (p) · e ip0t i ←→ ∂0 e −ip0t + φ (−)∗
1 (−p)φ (+)
2 (p) · e −ip0t i ←→ ∂0 e −ip0t
+ φ (+)∗
1 (p)φ (−)
2 (−p) · e ip0t i ←→ ∂0 e ip0t + φ (−)∗
1 (−p)φ (−)
2 (−p) · e −ip0t i ←→ ∂0 e ip0t
= dp (p)φ (+)
2 (p) − φ (−)∗
(p)φ (−)
2 (p)
Normierung nur positiv für positive Massenschale!
φ (+)∗
1
∴ j0(x) kann nicht als Wahrscheinlichkeitsstrom interpretiert werden . . .
. . . ohnehin sorgt die negative Massenschale dafür, daß die Energie nicht nach unten
beschränkt ist, daß also kein Grundzustand existiert.
∴ φ(x) darf nicht als Schrödinger-Wellenfunktion interpretiert werden.
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Beobachtungen:
1
(29)
Anti-Teilchen 15
• Für freie Felder sind positive und negative Massenschale unabhängig
∴ die negative Massenschale kann wegprojeziert werden . . .
. . . alle lokalen Lorentz-invarianten Wechselwirkungen vermischen positive und negative
Massenschale (s. u.)
. . . asymptotische Zustände wurden als nicht-wechselwirkend angenommen
∴ negative Massenschale darf dort uminterpretiert werden.
Andererseits:
• Die Amplitude φ (+) (p)e −ipx auf der positiven Massenschale entspricht dem Impuls +p, aber
die Amplitude φ (−) (p)e +ipx auf der negativen Massenschale entspricht dem umgekehrten
Impuls −p.
∴ Der Formalismus ist dann konsistent, wenn alle anderen Quantenzahlen ebenfalls umgedreht
werden.
∵ Im stationären Zustand sind Q,p
nicht zu unterscheiden.
−Q, −p
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Anti-Teilchen 16
∴ Die Zustände auf der negativen Massenschale beschreiben nicht Teilchen mit ” negativer
Energie“, sondern Anti-Teilchen mit entgegengesetzten Quantenzahlen.
Im stationären Zustand kann man noch eine Stufe weiter gehen: anstelle von Anti-Teilchen vorwärts
in der Zeit
kann man Teilchen rückwärts in der Zeit betrachten, ohne daß in der Bilanz ein Unterschied zu
bemerken ist.
es ist nicht offensichtlich, daß diese Interpretation auch bei eingeschalteten Wechselwirkungen
Sinn macht.
später wird gezeigt wie alles zusammenpaßt
NB: es handelt sich nur um eine rechnerisch nützliche Interpretation, nicht um ” Zeitreisen“, weil wir
einen stationären Zustand betrachten. Die Betrachtungsweise mit sich vorwärts bewegenden
Anti-Teilchen ist äquivalent, aber ohne Quantenfeldtheorie nicht zu bewältigen.
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007