Skript - Herbstschule Maria Laach

Beschreibung durch Wellengleichungen
1. linear: Superpositionsprinzip der Quantenmechanik.
Asymptotische Zustände 11
2. relativistisch: Matrixelemente von Observablen müssen sich unter Drehungen und boosts wie
Skalare, Vierer-Vektoren, Tensoren etc. transformieren.
3. Energie-Impuls Relation: E 2 = p 2 + m 2
Zu beschreibende Objekte:
• Spin-0 Teilchen: elementar noch(?) nicht beobachtet, aber möglich: Higgs
– eine invariante Komponente
• Spin-1/2 Teilchen: Leptonen, Quarks
– mindestens zwei Komponenten: Spinor unter räumlichen Drehungen
• Spin-1 Teilchen: Eichbosonen
– masselos zwei Komponenten, massiv drei Komponenten: Polarisationen
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Klein-Gordon Gleichung 12
(i∂0) 2
φ(x) = (−i∂) 2 + m 2
φ(x) (23)
ist offensichtlich eine kovariante Wellengleichung, weil:
∂ 2 + m 2 φ(x) = 0 (24)
Fouriertransformation
φ(x) =
4 d p
(2π) 4 e−ipx 4
˜φ(p)
d p
, i∂µφ(x) =
(2π) 4 e−ipxpµ ˜φ(p) , usw. (25)
also p 2 − m 2 ˜φ(p) = 0 (24 ′ )
p0 ”‘Massenschale”’:
p0 = + p 2 + m 2 ,
p 2 = m 2 , p0 0
|p|
p0 = − p 2 + m 2
Korrekte relativistische
Dispersion E = + p 2 + m 2
Was ist mit E = − p 2 + m 2 ?
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Allgemeine Lösung
4 d p
φ(x) =
(2π) 4 2πΘ(p0)δ(p 2 − m 2 )
Freie Spin-0 Teilchen 13
d
=
3p (2π) 3
2p0 √
p0= p 2 +m2
= dp φ (+) (p)e −ipx + φ (−) (p)e ipx
φ (+) (p)e −ipx + φ (−) (p)e ipx
φ (+) (p)e −ipx + φ (−) (p)e ipx
Erhaltener Strom ∂0j0(x) − ∇j(x) = ∂µj µ (x) = 0 aus Lösungen φ1 und φ2 der Klein-Gordon-
Gleichung (mit gleicher Masse):
(26)
jµ(x) = φ ∗ 1(x)i ←→ ∂µφ2(x) = φ ∗ 1(x)[i∂µφ2(x)] − [i∂µφ ∗ 1(x)]φ2(x) (27)
∂µj µ (x) = ∂ µ
φ ∗
1(x)[i∂µφ2(x)] − ∂ µ
[i∂µφ ∗
1(x)]φ2(x)
= i[∂ µ φ ∗ 1 (x)][∂µφ2(x)] + iφ ∗ 1 (x)[∂2 φ2(x)] − i[∂ 2 φ ∗ 1 (x)]φ2(x)−i[∂µφ ∗ 1 (x)][∂µ φ2(x)]
= −iφ ∗ 1 (x)m2 φ2(x) + im 2 φ ∗ 1 (x)φ2(x) = 0 (28)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007