Skript - Herbstschule Maria Laach

Freie Spin-1/2 Teilchen 32
Somit können die {σ23, σ31, σ12} die Rolle der {σ1, σ2, σ3} übernehmen und im Ruhesystem zwischen
spin up und spin down unterscheiden:
1
2 σ12u1(0) = + 1
2 u1(0) ,
1
2 σ12v1(0) = + 1
2 v1(0) ,
1
2 σ12u2(0) = − 1
2 u2(0) (83a)
1
2 σ12v2(0) = − 1
2 v2(0) (83b)
Analog zur Interpretation des negativen Massenschale für skalare Teilchen, werden für Spin-1/2
Teilchen die Lösungen ” negativer Energie“ als Anti-Teilchen interpretiert, die sich in der Raum-Zeit in
umgekehrter Richtung bewegen:
• uk(p) Amplitude für ein Teilchen im Anfangszustand
• vk(p) Amplitude für ein Anti-Teilchen im Endzustand
• ūk(p) Amplitude für ein Teilchen im Endzustand
• ¯vk(p) Amplitude für ein Anti-Teilchen im Anfangszustand
Zusätzlich müssen natürlich die Spins ausgetauscht werden, damit die Bilanzen stimmen:
Q,p, s
−Q, −p, −s
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Manifest kovariante Maxwell-Gleichungen:
mit notwendig erhaltenem Strom ∂µj µ = 0.
Eichinvarianz: Fµν ändert sich nicht, wenn
Freie Spin-1 Teilchen 33
⎛
0
⎞
−E1 −E2 −E3
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ = ⎝E1
0 −B3 B2 ⎠
E2 B3 0
(84)
−B1
E3 −B2 B1 0
∂ µ Fµν = jν , ǫ µνρσ ∂νFρσ = 0 (85)
(g µν ∂ 2 − ∂ µ ∂ ν )Aν = j µ
(85 ′ )
Aµ(x) → Aµ(x) − ∂µω(x) (86)
Spezielle Eichbedingung ∂µA µ = 0: ∂ 2 Aµ = jµ. Allgemeiner (nicht der allgemeinste Fall):
Expliziter Massenterm
bzw.
Kontraktion mit ∂µ:
(g µν ∂ 2 − (1 − ξ)∂ µ ∂ ν )Aν = j µ
∂ µ Fµν + M 2 Aν = jν
(g µν (∂ 2 + M 2 ) − ∂ µ ∂ ν )Aν = j µ
(87)
(88)
(88 ′ )
M 2 ∂ ν Aν = 0 (89)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Polarisationsvektoren masseloser Vektorbosonen für k = (k0; 0, 0, k0):
mit (wobei c = (1; 0, 0, −1))
λ=−1,+1
Freie Spin-1 Teilchen 34
ǫ± = ǫ ∗ ∓ = 1
√ 2 (0; 1, ±i, 0) (90)
ǫ µ
λǫ∗λ ′ ,µ = −δλλ ′ (91a)
ǫ µ
λkµ = 0 (91b)
ǫ µ
λ ǫν,∗
λ = −gµν + cµkν + cνkµ
ck
Polarisationsvektoren für massive Vektorbosonen für k = (k0; |k| sinθcos φ, |k| sinθsinφ, |k| cos θ):
mit (91) und
ǫ± = ǫ ∗ e∓iφ
∓ = √ (0; cosθcosφ ∓ i sinφ, cos θ sinφ ± i cosφ, − sinθ) (93a)
2
ǫ0 = k0
M (|k|/k0; sinθcosφ, sinθsinφ, cos θ) = ǫ ∗ 0
λ=−1,0,+1
ǫ µ
λ ǫν,∗
λ = −gµν + kµkν
M 2
(92)
(93b)
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(94)