Skript - Herbstschule Maria Laach

Lösung 20
iT1 =
iT2 =
¯v(p2)
u(p1)
¯v(p2)
u(p1)
ieγµ
ieγµ
3-Jet Produktion 77
−igµν
(p1 + p2) 2 + iǫ
i
−ieQγν
q/1 + k/ − m + iǫ
−igT aγρ −igµν
(p1 + p2) 2 + iǫ
i
−igT a γρ
−q/2 − k/ − m + iǫ
−ieQγν
v(q2)
ū(q1)
v(q2)
ū(q1)
ǫ ∗ ρ (k)
ǫ ∗ ρ (k)
(177a)
(177b)
iT1 = ū(q1)(igTaǫ/ ∗ i
(k))
q/1 + k/ − m + iǫ (−ieQγµ
−i
)v(q2)
(p1 + p2) 2 + iǫ [¯v(p2)(ieγµ)u(p1)] (178a)
iT2 = ū(q1)(−ieQγ µ i
)
−q/2 − k/ − m + iǫ (igTaǫ/ ∗
−i
(k))v(q2)
(p1 + p2) 2 + iǫ [¯v(p2)(ieγµ)u(p1)] (178b)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Aufgabe 21 Zeigen Sie die Ward-Identität für das Gluon
3-Jet Produktion 78
T1
ǫ∗ + T2
µ(k)=kµ ǫ∗ µ(k)=kµ
d. h. es werden keine Gluonen mit unphysikalischer Polarisation ǫ∗ µ (k) = kµ produziert. Nutzen Sie
dafür die Dirac-Gleichung für äußere Linien, z. B.
Lösung 21
1
= 0 , (179)
−p/1 − k/ − m + iǫ (k/ + p/1 + m)v(p1) = −v(p1) (für k = 0) (180)
T1
ǫ∗ µ(k)=kµ = e2Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1
s ū(q1)Ta(k/
1
+ q/1 − m)
q/1 + k/ − m + iǫ γµ v(q2)
andererseits
T2
= e 2 Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1
s ū(q1)Taγ µ v(q2) (181)
ǫ∗ µ(k)=kµ = e2Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1 µ 1
ū(q1)γ
s −q/2 − k/ − m + iǫ (k/ + q/2 + m)Tav(q2)
= −e 2 Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1
s ū(q1)Taγ µ
v(q2) = −T1
ǫ ∗ µ(k)=kµ
(182)
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3-Jet Produktion 79
Zur Weiterverarbeitung ist es sinnvoll, noch etwas Notation einzuführen:
mit den Strom-Matrixelementen
Dann
Tn = e 2 Qg [¯v(p2)γµu(p1)] 1
s Jµ n(q1, q2, k, ǫ) (183)
J µ
1 (q1, q2, k, ǫ) = ū(q1)Taǫ/ ∗ (k)(q/1 + k/ + m)γ µ v(q2)
(q1 + k) 2 − m2 + iǫ
J µ
2 (q1, q2, k, ǫ) = ū(q1)γ µ (−q/2 − k/ + m)Taǫ/ ∗ (k)v(q2)
(q2 + k) 2 − m2 + iǫ
spins, pol.
mit dem hadronischen Tensor
und
|T1 + T2| 2 = e4 g 2 Q 2
H µν (q1, q2, k) =
spins,ǫ
(184a)
(184b)
s 2 Lµν(p1, p2, 0)H µν (q1, q2, k) (185)
J µ (q1, q2, k, ǫ)J ν,∗ (q1, q2, k, ǫ) (186)
J µ (q1, q2, k, ǫ) = J µ
1 (q1, q2, k, ǫ) + J µ
2 (q1, q2, k, ǫ) (187)
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