Skript - Herbstschule Maria Laach

3-Jet Produktion 80
Völlig analog zu (179) in Aufgabe 21 kann man zeigen, daß
µ
q 1 + qµ
2 + kµ Jµ(q1, q2, k, ǫ) = 0 (188)
und deshalb mit dem Schwerpunktsimpuls p = p1 + p2 = q1 + q2 + k
p µ H µν (q1, q2, k) = p ν H µν (q1, q2, k) = 0 (189)
Die Winkelabhängigkeit von H µν (q1, q2, k) enthält sehr viel Information, ist aber unübersichtlich.
Betrachte daher nur die Abhängigkeit von den Energien
x1 = 2q1p
p2 , x2 = 2q2p
p2 , x3 = 2kp
p2 (190)
und integriere über die Winkel
dq1 dq2 dk (2π) 4 δ 4 (q1 + q2 + k − p) f(x1, x2, x3) = s
128π3
dx1dx2 f(x1, x2, 2 − x1 − x2) (191)
Nach der Winkelintegration kann das Resultat nur vom Schwerpunktsimpuls p und den xi abhängen.
Aus (189) folgt
und
d ˜ΩH µν µ ν p p
(q1, q2, k) =
p2
− gµν ˜H(p, x1, x2) (192)
˜H(p, x1, x2) = − 1
d ˜ΩH
3
µ µ(q1, q2, k) (193)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Konsequenz der Energieerhaltung:
Konsequenz der Impulserhaltung für verschwindende Massen:
wobei Gleichheit für parallele q1 und q2 gilt. Also
3-Jet Produktion 81
x1 + x2 + x3 = 2(q1 + q2 + k)p
p 2 = 2 (194)
x2
x1 + x2 x3 = 2 − x1 − x2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
(195)
x1 + x2 1 (195 ′ )
x3 = 1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x1
x3 = 0
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Für verschwindende Massen:
spins, pol.
Phasenraumfaktor:
d ˜Ω |T1 + T2| 2 = 4e4 g 2 Q 2
s 2
d2σ =
dx1dx2
1
2s
s
128π 3
3-Jet Produktion 82
µ
p 1 pν2 + p ν 1 p µ
2 − p1p2g µν
pµpν
− gµν ˜H(p, x1, x2)
s
1
4
spins, pol.
d ˜Ω|T1 + T2| 2 = αsα 2 Q 2
4s
= 4e4 g 2 Q 2
s
˜H(p, x1, x2) (196)
˜H(p, x1, x2) (197)
Aufgabe 22 Drücken Sie die Invarianten q1q2, q1k und q2k durch s und die xi aus. (Sie dürfen alle
Teilchen als masselos annehmen).
Lösung 22
q1q2 = 1
2 (q1 + q2) 2 = 1
2 (p − k)2 = s
2 (1 − x3) (198a)
q1k = 1
2 (q1 + k) 2 = 1
2 (p − q2) 2 = s
2 (1 − x2) (198b)
q2k = 1
2 (q2 + k) 2 = 1
2 (p − q1) 2 = s
2 (1 − x1) (198c)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007