Skript - Herbstschule Maria Laach

• Metrik:
und
• Summenkonvention:
xp =
3
µ=0
Lorentztransformationen 5
gµν = g µν =
xµ =
3
ν=0
⎛
1 0 0 0
⎞
⎝0
−1 0 0 ⎠
0 0 −1 0
(6)
0 0 0 −1
gµνx ν , x µ =
xµp µ = xµp µ = x µ pµ = g µν xµpν = gµνx µ p ν
NB: xp ist invariant, weil 2xp = (x + p) 2 − x 2 − p 2 !
• Lorentztransformation Λ:
= x0p0 −
3
ν=0
g µν xν
(7)
3
xipi = x0p0 − xipi = x0p0 −xp (8)
i=1
xµ → x ′ µ = Λ ν
µ xν (mit x ′2 = x 2 ν
) ⇐⇒ gµµ ′ = Λµ Λ ν′
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
• Ableitungen:
∂
∂xµ
Lorentztransformationen 6
f(x) = ∂ µ x f(x) = ∂µ f(x) ,
zum Beispiel: ∂ µ x(xp) = ∂(xνp ν )/∂xµ = p µ
Aufgabe 1 Berechnen Sie die Ableitungen nach x
für konstante 4er-Vektoren a, b und p.
Lösung 1
∂µe −ipx , (a∂)(b∂)e −ipx , ∂ 2 e −ipx
∂µe −ipx = −ipµe −ipx
(a∂)(b∂)e −ipx = −(ap)(bp)e −ipx
∂ 2 e −ipx = −i(p∂)e −ipx = −p 2 e −ipx
µ ′ gνν ′ (9)
∂
∂x µ f(x) = ∂µf(x) (10)
(11)
(12a)
(12b)
(12c)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Aufgabe 2 Zeigen Sie
(NB: ∂µx µ = g ν
µ ∂xµ /∂xν und g ν
µ = δ ν
Lösung 2
Lorentztransformationen 7
∂µx µ = 4 (13a)
µ ) und berechnen Sie
∂ 2 e −x2 /2
∂µx µ = g ν
µ ∂x µ /∂x ν = g ν
µ δ µ ν = g µ
∂ 2 e −x2 /2 = −∂ µ
xµe −x2
/2
(13b)
µ = 4 (14a)
= −xµ∂ µ e −x2 /2 − (∂ µ xµ) e −x2 /2
= xµx µ e −x2 /2 − g µ
µ e −x2 /2 = (x 2 − 4)e −x 2 /2
(14b)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007