Skript - Herbstschule Maria Laach

Was aber ist die Quelle ??? für das Dirac-Feld?
???(y)
Betrachte dazu die Dirac-Gleichung mit Wechselwirkung:
bzw.
mit der formalen Lösung
die sich graphisch als
darstellen läßt.
Propagatoren 38
S(x − y, m) ψ(x)
(103)
(i∂/ − eA/(x) − m) ψ(x) = 0 (104)
(i∂/ − m) ψ(x) = eA/(x)ψ(x) (104 ′ )
ψ(x) = ψ (0)
(x) + d 4 yS(x − y, m)eA/(y)ψ(y) (105)
S(x − y, m) ψ(x)
(105 ′ )
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Propagatoren 39
(105) ist analog zu (98), sofern dort der Strom jµ(y) = −e ¯ψ(y)γµψ(y) eingesetzt wird:
Aµ(x) = A (0)
µ (x) − d 4 yD(x − y, 0)e ¯ψ(y)γµψ(y) (106)
also z. B.:
D(x − y, 0) Aµ(x)
Die Gleichungen (98) und (106) sind noch keine geschlossenen Lösungen, sondern
wechselseitig gekoppelte Integralgleichungen
Wechselseitig rekursives Einsetzen von (98) und (106) ergibt Reihenentwicklung
(106 ′ )
ψ(x) = ψ (0)
(x) + d 4 yS(x − y, m)eA/(y)ψ(y) = ψ (0)
(x) + e d 4 yS(x − y, m)A/ (0) (y)ψ (0) (y)
+ e 2
d 4 yd 4
z S(x − y, m)A/ (0) (y)S(y − z, m)A/ (0) (z)ψ (0) (z)
− S(x − y, m)γ µ ψ (0)
(y)D(y − z, m) ¯ψ(z)γµψ(z) + O(e 3 ) (107)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
graphisch:
A (0)
µ (y)
A (0)
µ (z)
ψ (0) (z)
Propagatoren 40
ψ(x)
S(x − y, m)
S(y − z, m)
ψ (0) (y)
ψ (0) (z)
ψ (0) (z)
ψ(x)
S(x − y, m)
D(y − z, 0)
Wenn du Gott ein Gelübde thust, so verzeuch nicht, es zu halten; denn er hat kein
Gefallen an den Narren. Was du gelobest, das halt (Prediger: 5, 3).
Existiert D(x − y, m) überhaupt, oder ist es nur ein (mehr oder weniger frommer) Wunsch?
∴ Ausrechnen!
(107 ′ )
Es genügt ∂ 2 + m 2 D(x, m) = −δ 4 (x) (108)
zu lösen, weil (fast) alle anderen Propagatoren durch Ableitungen daraus berechnet werden
können.
Aufgrund der Translationsinvarianz bietet sich Fouriertransformation an . . .
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