Skript - Herbstschule Maria Laach

Allgemeine Formel für 2 → n Prozesse:
dσ =
4
wobei wieder
1
(p1p2) 2 − m 2 1 m2 2
für Fermionen und Bosonen.
Wirkungsquerschnitt 50
p2
p1
qn
q1
q2
1
i ni! |T|2 dq1 dq2 . . . dqn(2π) 4 δ 4 (p1 + p2 − q1 − q2 . . . − . . .qn) (126)
dp = d3p (2π) 3
2p0
√
p0= p 2 +m2 In der älteren Literatur andere Normierung der Fermionen (Faktor 2m). Heute nur sinnvoll für
schwere Quarks, weil damit Hochenergielimes (m → 0) trickreicher . . .
Erklärung des Symmetriefaktors:
ni =
Anzahl identischer Teilchen der
Spezies i im Endzustand
(127)
(128)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Einfachstes Beispiel: 2 → 2
Invarianten: Mandelstam Variable
p2
p1
s = (p1 + p2) 2 = (q1 + q2) 2
t = (q1 − p1) 2 = (q2 − p2) 2
u = (q1 − p2) 2 = (q2 − p1) 2
Mandelstam-Beziehung aufgrund der Impulserhaltung:
und bei hohen Energien E ≫ m gilt
Kinematik 51
q2
q1
s + t + u = p 2 1 + p 2 2 + q 2 1 + q 2 2 =
(Gesamtenergie) (129a)
(Impulsübertrag) (129b)
4
i=1
m 2 i
(129c)
(130)
p 1/2 = (E; 0, 0, ±E) (131a)
q 1/2 = (E; ±E sinθcosφ, ±E sinθsinφ, ±E cosθ) (131b)
s = 4E 2 , t = −2E 2 (1 − cos θ) , u = −2E 2 (1 + cos θ) (132)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Zwei Teilchen:
Phasenraum 52
d3p1 (2π) 3 d
2E1
3p2 (2π) 3 (2π)
2E2
4 δ 4 (p1 + p2 − P) = 1
16π2
|p1| 2d|p1|dΩ1 δ(E1(|p1|) + E2(|p1|) − E)
E1E2
= 1
16π2
|p1|E1dE1dΩ1
δ(E1 + E2(E1) − E)= 1
16π2
|p1|
d cos θ1dφ1
E
E1E2
Der zweite Schritt in (133) folgt, weil wegen E 2 = |p| 2 + m 2 unabhängig von der Masse |p|d|p| = EdE
gilt. Im dritten Schritt wurde
d(E1 + E2(E1) − E)
= 1 + E1/E2 = E/E2
dE1
∆
(133)
(134)
benutzt. ∆ in (133) ist der Bereich des Phasenraums, in dem die Energie-Impuls-Erhaltung erfüllt sein
kann (i. A. nicht trivial, siehe z. B. Aufgabe 25).
Spezialfall: Hochenergie-Limes im Schwerpunktssystem: |p1| = |p2| = E/2 + O(m/|p2| 2 ).
1
32π2 1 2π
d cos θ1
−1
0
dφ1
(133 ′ )
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007