Skript - Herbstschule Maria Laach

mit den Lösungen
und für beliebige Impulse
Freie Spin-1/2 Teilchen 23
u1(0) = √ ⎛ ⎞
1
2m ⎝0⎠
0
, u2(0) =
0
√ ⎛
0
⎞
2m⎝1⎠
0
(56a)
0
v1(0) = √ ⎛
0
⎞
2m ⎝0⎠
0
, v2(0) =
1
√ ⎛
0
⎞
2m⎝0⎠
1
(56b)
0
uk(p) =
vk(p) =
p/ + m
2m(p0 + m) uk(0) (57a)
p/ − m
2m(p0 + m) vk(0) (57b)
Daß es sich um Lösungen handelt, ist wegen (p/ + m)(p/ − m) = p 2 − m 2 offensichtlich.
Die Motivation der nicht offensichtlich kovarianten Normierung ist in Aufgabe 4 erklärt.
NB: Der explizite Faktor √ 2m in (56) läßt dem Grenzübergang m → 0 problematisch erscheinen. Die
Wahl der Normierung ist trotzdem günstig, weil die nachfolgede Formel (60) einen glatten
Grenzübergang für m → 0 hat und unten nur noch (60) benötigt werden ird. [Für m → 0 existieren die
Spinoren im Ruhesystem (56) ohnehin nicht . . . ]
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Freie Spin-1/2 Teilchen 24
Vergleiche das innere Produkt eines Zeilenvektors und eines Spaltenvektors
⎛
b1
bn
⎞
⎜
b2⎟
⎜ ⎟
a1 a2 · · · an ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ =
n
i=1
aibi
mit dem äußeren Produkt eines Spaltenvektors und eines Zeilenvektors:
⎛
a1
an
⎞
⎛
⎜a2
⎟
⎜ ⎟
⎜a2
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ b1 b2 · · · bm = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
⎝ . ⎠ ⊗ ⎜
b1 b2 · · · bm = ⎜
⎝
a1
an
⎞
Aufgabe 4 Geben Sie ūk(p) und ¯vk(p) an und zeigen Sie, daß für p 2 = m 2
2
uk(p)ūk(p) = p/ + m ,
k=1
⎛
a1b1 a1b2 . . . a1bm
a2b1 a2b2 . . . a2bm
.
.
.
anb1 anb2 . . . anbm
⎞
(58)
⎟
⎠ (59)
2
vk(p)¯vk(p) = p/ − m (60)
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Lösung 4
ūk(p) = u †
k (p)γ0 = u †
k=1
Freie Spin-1/2 Teilchen 25
k (0)γ 0 γ 0
p/ − m
¯vk(p) = ¯vk(0)
2m(p0 + m)
Aus Definition und Multiplikation mit γ0 von rechts
2
uk(0)ūk(0) = m(γ0 + 1),
Also
und (60) folgt aus
k=1
2
k=1
2
k=1
p/ † + m
2m(p0 + m) γ0
p/ + m
= ūk(0)
2m(p0 + m)
(61a)
(61b)
2
vk(0)¯vk(0) = m(γ0 − 1) (62)
k=1
uk(p)ūk(p) = (p/ + m) m(γ0 + 1) (p/ + m)
2m(p0 + m)
vk(p)¯vk(p) = (p/ − m) m(γ0 − 1) (p/ − m)
2m(p0 + m)
(p/ ± m)(γ0 ± 1)(p/ ± m) = p/γ0p/ ± (mγ0p/ + mp/γ0) + m 2 γ0 ± (p/ ± m) 2
(63a)
(63b)
= −p 2 γ0 + 2p0p/ ± 2p0m + m 2 γ0 + 2m(p/ ± m) = 2(p0 + m)(p/ ± m) . (64)
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