Skript - Herbstschule Maria Laach

Forderung: finde ” Objekte“ γ µ , so daß
dann erfüllen die Lösungen der Dirac-Gleichung
automatisch die Klein-Gordon Gleichung:
Dirac-Gleichung 17
(γ µ ∂µ) 2 = ∂ 2
(30)
(iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = 0 (31)
(iγ µ ∂µ + m) (iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = −∂ 2 − m 2 ψ(x) = 0 (32)
Die Dirac-Gleichung ist offensichtlich linear und ihre Lösungen erfüllen die relativistische
Energie-Impuls Relation.
Kann man ” Objekte“ γ µ konstruieren, die die Bedingung (30) erfüllen?
Eine hinreichende Bedingung dafür ist
weil die partiellen Ableitungen vertauschen: ∂µ∂ν = ∂ν∂µ.
Wichtige Notation: Feynman-Slash:
also
[γµ, γν] + = γµγν+γνγµ = 2gµν · 1 (33)
a/ = γµa µ = γ µ aµ
[a/, b/] + = a/b/+b/a/ = 2 · ab = 2 · aµb µ
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Pauli-Matrizen:
mit total antisymmetrischem Tensor ǫ:
konkret:
und dafür
(34)
(33 ′ )
Gamma-Matrizen 18
σ k , σ l
= σ k σ l − σ l σ k = 2i
σ k † = σ k
3
m=1
ǫ klm σ m
(35a)
(35b)
ǫ 123 = ǫ 231 = ǫ 312 = 1, ǫ 213 = ǫ 321 = ǫ 132 = −1 (36)
σ 1 =
0 1
, σ
1 0
2 =
σ k σ l = δ kl 1 + i
insbesondere
σ k , σ l
0 −i
, σ
i 0
3
1 0
=
0 −1
3
m=1
ǫ klm σ m
(37)
(38)
+ = 2δkl 1 (39)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007
Dirac-Realisierung der Dirac-Matrizen:
Gamma-Matrizen 19
γ 0
1 0
= , γ
0 −1
i =
i 0 σ
−σ i 0
Es gibt unendlich viele weitere Realisierungen, aber keine mit kleineren Matrizen.
Überprüfung der Anti-Vertauschungsrelationen durch explizite Rechnung (siehe auch Aufgabe 3),
NB: Blockmatrizen werden multipliziert wie gewöhnliche Matrizen, aber die Matrixelemente
vertauschen nicht.
0
γ
2 1 0 1 0 1 0
=
= = 1 (41a)
0 −1 0 −1 0 1
0 i
γ , γ
+ = γ0γ i + γ i γ 0
i
1 0 0 σ
=
0 −1 −σi
i 0 σ
+
0 −σi
1 0
0 0 −1
0 1 · σ
=
i
(−1) · (−σi
0 (−σ
+
) 0
i ) · 1
σi
i 0 σ
=
· (−1) 0 σi
i 0 −σ
+
0 −σi
= 0 (41b)
0
Aufgabe 3 Überprüfen Sie den Rest (k, l = 1, 2, 3) der Anti-Vertauschungsrelationen (33):
(40)
[γ k , γ l ]+ = −2δ kl · 1 . (42)
Th. Ohl Feynmandiagramme für Anfänger Maria Laach 2007