master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...

4 2. Grundlagen
ihr Radius. Dann betrachten wir in Zylinderkoordinaten statt der Volumendichte ρ die
Oberflächendichte Σ
Σ := ρ dz. (2.1)
R
Unter der Annahme, dass sich die Scheibe in z-Richtung im hydrostatischen Gleichgewicht
befindet, gilt für den Druckgradienten
dP
dz = −ρgz, (2.2)
wobei ρ die Gasdichte und gz die gravitative Beschleunigung in z-Richtung beschreibt.
Wenn die Scheibe außerdem nicht selbstgravitierend ist, ergibt sich die Beschleunigung
gz nur aus der Gravitationskraft des Zentralobjekts. Sei θ der Winkel zwischen der Mittelebene
der Scheibe und einem Punkt in der Entfernung z über der Scheibe beim Radius
r. Dann gilt mit M⋆ der Zentralmasse und G der Gravitationskonstante 1
gz = GM⋆
r2 sin (θ)
+ z2 Mit der keplerschen Winkelgeschwindigkeit Ω
gilt für eine dünne Scheibe z ≪ r
=
GM⋆
(r2 + z2 z.
3/2
)
Ω =
GM⋆
r 3
(2.3)
(2.4)
gz ≈ Ω 2 z. (2.5)
Unter der Annahme, dass die Scheibe in vertikaler Richtung isotherm ist, lautet die
Zustandsgleichung mit cs der Schallgeschwindigkeit
P = ρc 2 s. (2.6)
Die Gleichung für das hydrostatische Gleichgewicht 2.2 lautet dann
1 G = 6.67384 · 10 −11 m 3 kg −1 s −2 , Mohr et al. (2012)
c 2 dρ
s
dz = −Ω2ρz. (2.7)