master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...

20 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Durch Transformation in beliebige orthogonale Koordinaten unter Verwendung der Tensordivergenz
und Formulierung 3.5 der Erhaltungsgleichung können wir für dieses System
die konservativen Variablen, Flussvektoren und geometrischen Quellterme aufschreiben
(Illenseer & Duschl, 2009):
⎡
ρ
⎢ ρvξ ⎢
u = ⎢ ρvη
⎣ ρvϕ
⎤
⎥ ,
⎦
⎡
⎢
F = ⎢
⎣
ρvξ
ρv
E
2 ξ + p
ρvξvη
ρvξvϕ
⎤
⎥ ,
⎦
⎡
⎢
G = ⎢
⎣
ρvη
ρvηvξ
ρv
(E + p) vξ
2 η + p
ρvηvϕ
⎤
⎥
⎦
(E + p) vη
,
⎡
0
⎤ ⎡ ⎤
0
⎢ −vηcξηξ ⎢
S = ρvξ
⎢ vξcξηξ
⎣ −vϕcϕξϕ
⎥ ⎢ vηcηξη
⎥ ⎢
⎥ + ρvη
⎢ −vξcηξη
⎦ ⎣ −vϕcϕηϕ
⎥
⎦
0
0
+ ρv2 ⎡
0
⎤ ⎡
0
⎢ cϕξϕ ⎢
ϕ ⎢ cϕηϕ
⎣ 0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ + p ⎢
⎦ ⎣
0
cηξη + cϕξϕ
cξηξ + cϕηϕ
0
0
⎤
⎥
⎦ .
(3.12)
Wir nehmen nun zusätzlich an, dass Druck und Energie über die ideale Gasgleichung
verknüpft sind, sodass für die Gesamtenergie E gilt:
E = 1
2 ρ v 2 ξ + v2 η + v 2 p
ϕ + . (3.13)
γ − 1
Dabei ist γ = cp/cv das Verhältnis der spezifischen Wärme (z.B. γ = 1.4). Ein wichtiges
Merkmal dieser konservativen Variablen ist das Verschwinden der geometrischen Quellterme
von Kontinuitäts- und Energiegleichung. Falls hier keine anderen externen Quellterme
vorkommen, handelt es sich um echte Erhaltungsgleichungen, welche auch durch
das numerische Verfahren eingehalten werden. Die Impulsgleichungen sind im Allgemeinen
allerdings keine Erhaltungsgleichungen, da diese geometrische Quellterme enthalten.
Für bestimmte Koordinatensysteme werden diese wieder auf echte Erhaltungsgleichungen
reduziert (z.B. kartesische Koordinaten).
3.1.2. Impulstransport
Die im letzten Abschnitt hergeleiteten Gleichungen gelten zunächst für beliebige 2D-
Geometrien in FOSITE. Insbesondere werden sie in ähnlicher Form für EULER3D Geometrien
verwendet. Wir wollen nun das in dem EULER2D Physikmodul von FOSITE
verwendete Gleichungssystem beschreiben. Dazu wird das eben hergeleitete allgemeine