master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...
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24 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE<br />
Es ergibt sich eine echte Erhaltungsgleichung für den Drehimpuls im Inertialsystem.<br />
Insgesamt lauten die isothermen Flussvektoren und Quellterme jetzt:<br />
⎡<br />
u = ⎣<br />
ρ<br />
ρvξ<br />
ρl<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ , F = ⎣<br />
S =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
ρhη<br />
⎤<br />
ρvξ<br />
+ p ⎦ ,<br />
⎡<br />
G = ⎣<br />
ρvξl<br />
0<br />
2 + Ω + pcηξη<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ .<br />
ρv 2 ξ<br />
vη<br />
hη<br />
0<br />
ρvη<br />
ρvξvη<br />
ρvηl + hηp<br />
Dabei wurde Srot,2 <strong>zu</strong> den geometrischen Quelltermen der zweiten Zeile addiert.<br />
⎤<br />
⎦ ,<br />
(3.29)<br />
Auch Kley (1998) und Mudryk & Murray (2009) haben statt des spezifischen Inertialdrehimpulses<br />
die spezifische azimutale Geschwindigkeit als Transportgröße verwendet.<br />
Wir zeigen <strong>zu</strong>m ersten Mal die direkte Ableitung der Flussvektoren und geometrischen<br />
Quellterme für Erhaltungsgleichungen der Form 3.5, also auf polaren Gittern mit beliebiger<br />
radialer Skalierung. Im Gegensatz <strong>zu</strong> Kley (1998) bleibt der Druck ein Teil des<br />
Advektionsterms und wird nicht als Quellterm behandelt. Mudryk & Murray (2009) behandeln<br />
zwar den Druck korrekt, lösen aber nicht das vollständige Gleichungssystem in<br />
einem Schritt. Dies ist nur mit unserem neuen System möglich, da alle Komponenten<br />
der Flussvektoren implizit nur von den konservativen Variablen und dem Skalenfaktor<br />
hη abhängen.<br />
3.1.5. Modifikation des numerischen Verfahrens<br />
Das numerische Verfahren von FOSITE fordert, dass sich die Transportgleichung 3.5 in<br />
quasilinearer Schreibweise formulieren lässt:<br />
<br />
∂F<br />
∂tu + Dξ (u) +<br />
∂u<br />
<br />
∂G<br />
Dη (u) = S. (3.30)<br />
∂u<br />
Kernteil des Verfahrens ist das Abschätzen der Transportgeschwindigkeit entlang der<br />
Koordinaten durch das Bestimmen der Eigenwerte der Jacobimatrizen <br />
∂F<br />
∂G<br />
∂u bzw. ∂u .<br />
Details hier<strong>zu</strong> sind in Illenseer & Duschl (2009) oder Hirsch (1990, S. 138ff) <strong>zu</strong> finden.<br />
Illenseer & Duschl (2009) fordern hierfür die Homogenität der Flussvektoren bzgl. der<br />
konservativen Variablen und können damit Quasilinearität erreichen.<br />
Der neue Flussvektor F ist von der gleichen Form wie im Abschnitt 3.1.3, also homogen<br />
in u und lässt sich in der quasilinearen Schreibweise formulieren. Der neue Flussvektor<br />
G hingegen ist nicht mehr nur noch von den konservativen Variablen abhängig, sondern<br />
sowohl explizit als auch implizit (vη = l<br />
hη − hηΩ) von hη und damit von der Koordi-
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