master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...

Institut für Theoretische Physik und Astrophysik
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Leibnizstraße 15
24118 Kiel
Masterarbeit
Zeitliche Entwicklung einer
Akkretionsscheibe mit einem störenden
gravitierenden Objekt
Manuel Jung
2012
Betreuer: Dr. Tobias Illenseer
1. Gutachter: Prof. Dr. Wolfgang J. Duschl
2. Gutachter: Prof. Dr. Holger Kersten

Institute for Theoretical Physics and Astrophysics
Christian-Albrechts-Universität Kiel
Leibnizstraße 15
24118 Kiel
master’s thesis
Evolution of gravitationally perturbed
accretion disks
Manuel Jung
2012
Supervisor: Dr. Tobias Illenseer
1. Referee: Prof. Dr. Wolfgang J. Duschl
2. Referee: Prof. Dr. Holger Kersten

Zusammenfassung
Akkretionsscheiben um Schwarze Löcher oder Protosterne weisen häufig prägnante Strukturen
auf, deren Ursprung noch nicht eindeutig geklärt ist. Ihre zeitliche Entwicklung
kann durch ein eingebettetes oder nah vorbeiziehendes gravitierendes Objekt maßgeblich
gestört werden, wodurch spiral- und ringartige Strukturen entstehen können. In der
vorliegenden Arbeit werden die Prozesse von Satellit-Scheibe-Wechselwirkungen und die
daraus resultierenden Scheibenstrukturen diskutiert, sowie mit dem Hydrodynamikprogramm
FOSITE Simulationen von Planet-Scheibe-Wechselwirkungen durchgeführt.
Simulationen gravitativ gestörter Akkretionsscheiben sind sehr empfindlich bezüglich der
korrekten numerischen Behandlung, insbesondere bezüglich des Drehimpulstransports in
rotierenden Bezugssystemen. Um daher exakte Erhaltung des Drehimpulses im Inertialsystem
zu erhalten, entwickeln wir ein Navier-Stokes-Gleichungssystem, welches statt
des Azimutalimpulses Inertialdrehimpuls transportiert. Um dieses in FOSITE zu implementieren,
wird eine Modifikation dessen numerischen Verfahrens vorgestellt.
Wir verifizieren das Navier-Stokes-Gleichungssystem mit Inertialdrehimpulstransport unter
anderem mit einer neuen Variante des isentropen Vortex-Tests, welcher die lokal
vertikal-isotherme Approximation der Zustandsgleichung verwendet. Die korrekte Funktionsweise
der Planet-Scheibe-Wechselwirkungen innerhalb des modifizierten Programms
wird detailliert diskutiert und die Konvergenz in hoch aufgelösten Simulationen verglichen.
Wir zeigen, dass unsere Ergebnisse bei gleichzeitig bisher nicht erreichter Flexibilität
von FOSITE mit einer großen Anzahl anderer Hydrodynamikprogramme konsistent
sind.

Abstract
Accretion disks of black holes and protostars often show concise structures, of which
the origins remain yet unknown. Their evolution can be disturbed significantly by an
embedded or passing-by gravitating object, which induces spiral and ring structures. In
this thesis we discuss satellite-disk interactions and their resulting structures as well as
hydrodynamic simulations of planet-disk interactions using the two-dimensional hydrodynamic
software FOSITE.
Simulations of gravitationally disturbed accretion disks are very sensitive to their accurate
numerical description, in particular to their conservation of angular momentum
in a rotating frame of reference. To achieve exact conservation of angular momentum
in the inertial frame of reference, we develop Navier-Stokes equations, which transport
inertial angular momentum rather than the azimuthal momentum. This requires a newly
developed modification of the numerical scheme implemented in FOSITE.
We verify the Navier-Stokes equations with inertial angular momentum transport including
a new variant of the isentropic vortex test, which considers the local verticalisothermal
equation of state approximation. The correct functionality of planet-disk interactions
utilizing the modified version of FOSITE is discussed in detail and compared
to high-resolution simulation. We show that our results are consistent with the vast majority
of other hydrodynamic codes without sacrificing the versability of FOSITE, which
surpasses all other codes by a wide margin.

Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Grundlagen 3
2.1. Ungestörte Akkretionsscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Grundlegende Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Kleine gravitative Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1. Lindblad Drehmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2. Korotationsdrehmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. Bahnkurven in rotierenden Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5. Rotierende Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE 17
3.1. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.1. Eulergleichungen auf orthogonal krummlinigen Koordinaten . . . . 19
3.1.2. Impulstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.3. Lokal isotherme Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.4. Inertialdrehimpulstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.5. Modifikation des numerischen Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Weitere Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1. Geometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2. Limiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.4. Quellterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Numerische Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1. Isentroper Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2. Keplersche Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3. Pringle Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung 45
4.1. Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2. Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Drehmomente auf den Satelliten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1. Nicht-viskose Jupitersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2. Viskose Jupitersimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.3. Nicht-viskose Neptunsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IX

X Inhaltsverzeichnis
4.4.4. Viskose Neptunsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.5. Hochaufgelöste Jupitersimulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5. Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5. Beobachtbarkeit von jungen Gasriesen 81
6. Statische Gitterverfeinerung 83
7. Fazit 85
Literaturverzeichnis 87
A. Anhang 93
A.1. Inertialdrehimpulstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2. Definition von atan2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.3. Kommutatorkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.4. Approximation der Pringlelösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.5. Bewegte Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.6. Modifzierte Version von FOSITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Danksagung 95
Erklärung 98

1. Einleitung
Die Wechselwirkungen von gravitierenden Objekten mit einer Akkretionsscheibe haben
wesentlichen Einfluss auf deren zeitliche Entwicklung. Dabei sind Wechselwirkungen mit
in die Scheibe eingebetteten und nicht zur Scheibe gehörenden Objekten zu unterscheiden.
Abbildung 1.1.: Echtfarbenbild von M51 und ihrer Begleitgalaxie NGC5195 mit verstärkt
rot gefärbten Hα-Regionen. Die Aufnahme wurde durch das Calar-
Alto-Observatorium mit einem 1.23 m Zeiss Teleskop durchgeführt (Peris
et al., 2010).
Der erste Fall könnte zum Beispiel ein Ereignis wie der Zusammenstoß der Milchstraße
und der Andromeda Galaxie in einigen Milliarden Jahren (Cox & Loeb, 2008) sein. Dabei
handelt es sich nicht um Kollisionen von Sternen, da diese weit voneinander entfernt sind,
sondern vielmehr um gravitative Wechselwirkung. Für eine solche Wechselwirkung ist ein
direkter Kontakt zweier Galaxien nicht notwendig. M51 weist deutliche Spiralstruktur
auf, welche vermutlich vor etwa 100 Myr durch ihre Begleitgalaxie NGC5195 induziert
wurde (Toomre & Toomre, 1972). Abbildung 1.1 zeigt die deutlichen Spiralstrukturen
von M51 und seine Begleitergalaxie.
1

2 1. Einleitung
No. 1, 2007
Their observations trace gas at distances

2. Grundlagen
Ein in eine Akkretionsscheibe eingebettetes, gravitierendes Objekt (Satellit) wechselwirkt
auf zwei Arten mit dieser. Zunächst einmal wird die Scheibe in einen inneren und einen
äußeren Bereich getrennt, wobei die Satellitenbahn die Grenze bildet. Getrennt werden
innere und äußere Scheibe durch die koorbitale Region. Zudem erzeugt der Satellit radiale
Dichtewellen, die durch die differentielle Rotation der Scheibe zu Spiralarmen geformt
werden. Die Stärke der durch die Spiralarme erzeugten Struktur hängt in lokal vertikalisothermen
Scheiben, bei denen die Temperatur mit dem Radius abnimmt, nur von dem
Massenverhältnis q = ms/(M⋆ + ms) von Satellit und Zentralmasse ab.
Bevor wir auf die genaue Wirkungsweise dieser beiden Effekte eingehen, sei kurz die generelle
Wirkweise der Spiralarme dargelegt, welche das sogenannte Lindblad-Drehmoment
erzeugen. Die Wechselwirkung von Satellit und Zentralobjekt manifestiert sich vor allem
in dem Übertrag von Drehimpuls. Daher ist von Interesse, Informationen über vorhandene
Drehmomente zusammen zu tragen. Der innere Spiralarm „zieht“ an dem Satelliten
und bewirkt also ein positives Drehmoment auf diesen, sodass es zu einem Drehimpulszuwachs
und in Folge dessen zu auswärts gerichteter Migration kommen würde. Das
genaue Gegenteil gilt für den äußeren Spiralarm. Dieser bremst den Satelliten, bewirkt
ein negatives Drehmoment und entfernt Drehimpuls. Dies würde daher zu einer nach
innen gerichteten Migration führen. Insgesamt ist der differentielle Drehimpulsübertrag
aus innerer und äußerer Scheibe von Interesse, um die Migration und damit die Dynamik
des Satelliten zu untersuchen, wobei dieser sehr empfindlich von den physikalischen
Parametern der Scheibe und des Satelliten abhängen kann.
Da die Wirkung der Dichtewellen vor allem von dem Massenverhältnis q abhängt, ist
es sinnvoll, verschiedene Massenbereiche getrennt zu betrachten. Daher untersuchen wir
zunächst die Effekte in einer isothermen Scheibe mit einem geringen und dann die Änderungen
bei größerem Massenverhältnis. Eine ausführliche Zusammenfassung von bekannten
Planet-Scheibe-Wechselwirkungsmechanismen ist in Kley & Nelson (2012) zu finden.
2.1. Ungestörte Akkretionsscheibe
Vor der Behandlung gravitativ gestörter Akkretionsscheiben, sollen kurz die wichtigsten
Merkmale ungestörter Akkretionsscheiben erläutert werden. Sei die betrachtete Akkretionsscheibe
geometrisch dünn, also ihre vertikale Ausdehnung deutlich kleiner als
3

4 2. Grundlagen
ihr Radius. Dann betrachten wir in Zylinderkoordinaten statt der Volumendichte ρ die
Oberflächendichte Σ
Σ := ρ dz. (2.1)
R
Unter der Annahme, dass sich die Scheibe in z-Richtung im hydrostatischen Gleichgewicht
befindet, gilt für den Druckgradienten
dP
dz = −ρgz, (2.2)
wobei ρ die Gasdichte und gz die gravitative Beschleunigung in z-Richtung beschreibt.
Wenn die Scheibe außerdem nicht selbstgravitierend ist, ergibt sich die Beschleunigung
gz nur aus der Gravitationskraft des Zentralobjekts. Sei θ der Winkel zwischen der Mittelebene
der Scheibe und einem Punkt in der Entfernung z über der Scheibe beim Radius
r. Dann gilt mit M⋆ der Zentralmasse und G der Gravitationskonstante 1
gz = GM⋆
r2 sin (θ)
+ z2 Mit der keplerschen Winkelgeschwindigkeit Ω
gilt für eine dünne Scheibe z ≪ r
=
GM⋆
(r2 + z2 z.
3/2
)
Ω =
GM⋆
r 3
(2.3)
(2.4)
gz ≈ Ω 2 z. (2.5)
Unter der Annahme, dass die Scheibe in vertikaler Richtung isotherm ist, lautet die
Zustandsgleichung mit cs der Schallgeschwindigkeit
P = ρc 2 s. (2.6)
Die Gleichung für das hydrostatische Gleichgewicht 2.2 lautet dann
1 G = 6.67384 · 10 −11 m 3 kg −1 s −2 , Mohr et al. (2012)
c 2 dρ
s
dz = −Ω2ρz. (2.7)

2.1. Ungestörte Akkretionsscheibe 5
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist
mit h der Skalenhöhe:
ρ = ρz=0 exp − z2
2h2
Das Verhältnis von Scheibenhöhe zu Radius liefert
h
r
(2.8)
h = cs
. (2.9)
Ω
= cs
vkep
(2.10)
mit vkep = Ωr der Keplergeschwindigkeit. Die geometrische Form der Scheibe hängt also
von der Schallgeschwindigkeit, beziehungsweise von dem Verlauf der Schallgeschwindigkeit,
ab. Als eine erste Näherung kann man diese durch
cs ∝ r −β
parametrisieren, sodass sich für das Öffnungsverhältnis der Scheibe
h
r
∝ r−β+1/2
(2.11)
(2.12)
ergibt. β heißt Flaringparameter (engl. to flare: aufweiten) und beschreibt ein zunehmendes
Öffnungsverhältnis für β < 1/2.
In radialer Richtung existiert ein Gleichgewicht zwischen drei verschiedenen Kräften.
Dies sind die Beiträge des gravitierenden Zentralobjekts, der radiale Druckgradient und
die Zentrifugalkraft. Wenn vϕ die Azimutalgeschwindigkeit und P der Druck ist, lautet
die entsprechende Bilanzgleichung:
v 2 ϕ
r
= GM⋆
r
1
− 2 ρ
dP
. (2.13)
dr
Einsetzen von Gleichung 2.6 und Umformen nach der Azimutalgeschwindigkeit liefert:
v 2 ϕ = GM⋆
r
− r
ρ
d ρc2
s
dr
= v 2 r d
kep −
ρ
ρc2
s
dr
= v 2 kep − c2 r dρ
s
ρ dr + c2 r
s
c2 d
s
c2
s
dr
= v 2 kep − c2
d (ln ρ)
s
d (ln r) + d ln c2
s
.
d (ln r)
(2.14)

6 2. Grundlagen
Wenn die Massendichte einem Potenzgesetz (Shakura & Sunyaev, 1973)
ρ ∝ r −λ
folgt, können wir die logarithmischen Ableitungen berechnen
(2.15)
v 2 ϕ = v 2 kep + c2 s (λ + 2β) (2.16)
und setzen dann Gleichung 2.10 für die Schallgeschwindigkeit ein:
v 2 ϕ = v 2 kep
1 +
2
h
(λ + 2β) . (2.17)
r
Für moderate Exponenten der Potenzgesetze von Schallgeschwindigkeit und Massendichte
|λ + 2β| ≈ 1, (2.18)
sowie einem Öffnungsverhältnis h/r ≪ 1, entspricht die Azimutalgeschwindigkeit näherungsweise
der Keplergeschwindigkeit:
2.2. Grundlegende Strukturen
vϕ ≈ vkep. (2.19)
Bevor wir Details der Wechselwirkungen zwischen Planet und Scheibe diskutieren können
und die numerische Herangehensweise vorstellen, wollen wir die grundlegenden Strukturen
beschreiben. Ein typischer Ausschnitt aus einer solcher Simulation ist in Abbildung
2.1 zu sehen. Das Zentralobjekt befindet sich im Koordinatenursprung und der Satellit
an der Stelle [1, 0]. Vom Satelliten gehen Spiralwellen aus. Die vom Satelliten ausgehenden
Dichtewellen werden durch die differentielle Rotation in der Scheibe zu einer Spirale
verbogen. Da die Scheibe und damit also auch der Satellit gegen den Uhrzeigersinn rotieren,
ist auf Grund der höheren Geschwindigkeiten in der inneren Scheibe der innere Arm
dem Satelliten vorauseilend. Im äußeren Bereich rotiert die Scheibe langsamer als der
Satellit, sodass der äußere Spiralarm dem Planeten hinterhereilt. Durch die gravitative
Wechselwirkung zwischen Scheibe und Planet kommt es zu einem Drehmomentübertrag
von der Scheibe auf den Satelliten und umgekehrt. Der äußere dem Satelliten hinterher
eilende Arm „zieht“ an dem Satelliten und bremst diesen daher ab. Dadurch kommt es
zu einem Drehimpuls Verlust des Satelliten und zu einem negativen Drehimpulsübertrag.
Der äußere Spiralarm hingegen gewinnt durch diese Wechselwirkung Drehimpuls, sodass
Masse von dem Planeten nach außen weg transportiert wird. Der innere dem Satelliten
vorauseilende Spiralarm zieht an dem Satelliten und überträgt Drehimpuls auf den

2.2. Grundlegende Strukturen 7
Abbildung 2.1.: Ausschnitt aus einer Planet-Scheibe Wechselwirkungssimulation nach
zehn Umläufen. Es sind deutlich die von dem Planeten ausgehenden
Spiralarme, eine Region verringerter Dichte entlang der Planetenbahn
(Lücke, Gap) und die Stoßregion in der Nähe des Planeten zu erkennen.
Satelliten, sodass dieser auf einen Orbit mit größerer Halbachse wechseln möchte. Das
Material in der inneren Scheibe verliert Drehimpuls und wird vom Satelliten in Richtung
Zentrum transportiert. Je nach Bilanz der Wirkungen in innerer und äußerer Scheibe,
erhält der Satellit unterschiedliche Drehmomente. Bei positivem (negativem) Gesamtdrehmoment
kommt es zu nach Außen (Innen) gerichteter Migration. Außerdem stößt
der Satellit Material in seiner Nähe ab, obwohl die Gravitationskraft anziehend wirkt.
Wie wir im Folgenden sehen werden, ist dieser Effekt in der Nähe des Satelliten am
größten, sodass sich eine Lücke (engl. Gap) ausbilden kann, also eine Region entlang der
Bahn des Satelliten, in der die Massendichte der Scheibe deutlich reduziert ist.
Bevor wir die wirkenden Drehmomente für kleine gravitative Störungen bestimmen, wollen
wir die Region entlang der Satellitenbahn etwas genauer betrachten. Eine Skizze
dieser Region ist in Abbildung 2.2 zu sehen. Entlang der Satellitenbahn befindet sich die
Korotationsregion. Das Scheibenmaterial rotiert hier mit etwa der gleichen Geschwindigkeit
wie der Satellit selbst. Da diese Region durch den Satelliten unterbrochen wird,
nennt man diese Struktur auch Hufeisenregion. Radiale Strömungen sind nur in der
Nähe des Satelliten möglich. Das schnellere innere Material fließt hinter dem Satelliten in
die äußere Scheibe und das langsame Material von der äußeren Scheibe vor dem Planeten
in die innere. Diese Strömungskurven heißen Hufeisenorbits.

ith typical parameters (Σ = 10 2 g cm −2 , h/r = 0.05,
= 1) we find,
8 2. Grundlagen
τI,LR ≃ 0.5 Myr. (235)
ne concludes that there is a strong argument that
ype I migration ought to play an important role in the
ormation of giant planet cores.
The above calculation of the Lindblad torque can be
erified against hydrodynamic simulations, and is considred
to be reliable. It is, however, only part of the total
orque on a planet. What about the co-orbital torque?
sing a similar linear calculation, it is possible to estiate
the corotation torque as well. This was done by
anaka, Takeuchi & Ward (2002), who derived a total
orque,
T = −(1.36 + 0.54γ)
2 Mp rpΩp
Σpr
M∗ cs
4 pΩ2p . (236)
his formula, and its corresponding migration rate, are
ften described as representing the “standard Type I
igration rate”. One should be aware, however, that
he formula is derived under conditions (isothermality,
smooth density distribution with radius) that do not
lways hold in real disks. It is not, therefore, the comlete
answer even in linear theory, and extra caution is
equired before using it under conditions far from its doian
of validity (such as when there is a sharp density
ump in the disk).
For very low mass planets, or planets embedded in
ighly viscous disks, the standard Type I migration rate
alculated from linear theory may be reliable. For higher
ass planets and / or weaker viscosities, however, it may
e more profitable (conceptually, and possibly mathe-
atically) to consider the torque in terms of the dynamcs
of closed horseshoe orbits in the co-orbital region.
hese orbits, which are analogous to librating particle
rbits in the restricted three-body problem, are illusrated
in Figure 30. As gas in the disk executes the
-shaped turns at the ends of the horseshoe, changes
n the density of the gas exert a torque on the planet.
his way of thinking about the torque was considered
y (Ward, 1991), but largely ignored until simulations
y Paardekooper & Mellema (2006) uncovered a depen-
ence of the Type I migration rate on the thermal prop-
rties of the disk. Subsequently, many authors have studed
the co-orbital Type I torque in both isothermal (Caoli
& Masset, 2009; Paardekooper & Papaloizou, 2009)
nd non-isothermal (radiative or adiabatic) disks (Kley,
itsch & Klahr, 2009; Kley & Crida, 2008; Masset &
asoli, 2009; Paardekooper et al., 2009). Currently it
ppears as if,
• The persistence of strong co-orbital torques depends
upon whether or not they are saturated. Saturation
is possible because the region of the disk
that admits horseshoe orbits is closed and relatively
small. It cannot absorb or give an arbitrary amount
FIG. 30 The nonlinear calculation of the torque on an embedded
planet, due to co-orbital gas, is derived from consideration
of the horseshoe drag. The key point is that gas at radii
close to that of the planet executes closed horseshoe-shaped
orbits in the corotating frame. Changes in density as parcels
of gas execute the U-shaped turns result in a non-zero torque
on the planet. This torque depends on how “non-adiabatic”
the gas is: does the gas cool radiatively on the time scale
of the turn? One should also note that the region that supports
horseshoe orbits is closed. In the absence of viscosity,
this means that the co-orbital gas can only exchange a finite
amount of angular momentum with the planet, after which
the torque saturates.
Abbildung 2.2.: Skizze der Hufeisenregion. Dies ist die Region in der die Korotationsdrehmomente
wirken. Das Material am Rand der Hufreisenregion vollzieht
Hufeisenorbits (engl. horseshoe orbits), die vor allem für den Drehmomentübertrag
auf den Planeten von Bedeutung sind. Material weiter innen
oder außen bewegt sich auf den üblichen kreisförmigen Orbits (engl.
circulating orbits) (Armitage, 2007).
2.3. Kleine gravitative Störungen
of angular momentum to a planet, unless it is “connected”
to the rest of the disk via viscous stresses.
Large and persistent co-orbital torques are possible
provided that the disk is viscous enough that the
torque remains unsaturated.
Wir wollen nun also eine keplersche Scheibe mit einem störenden gravitierenden Objekt
geringer Masse betrachten. Als typisches Massenverhältnis ist das Verhältnis zwischen
Sonne und Neptun zu nennen, welches etwa q ≈ 10−4 beträgt. Da es sich nur um eine
geringe Störung handelt, lässt sich das Problem durch eine lineare Störungsanalyse untersuchen.
Sei nun Ω die Winkelgeschwindigkeit der ungestörten, keplersch rotierenden
Scheibe:
• The torque depends upon the cooling time scale
of the gas in the co-orbital region, measured relative
to the time required for the gas to execute
the horseshoe turns. Outward migration under
the combined influence of co-orbital and Lindblad
torques (which remain negative) GM⋆ may be possible in
the inner regions Ω (r) of= the disk, where the high optical
depth results in a long cooling time.
These results are all very new, and it is reasonable to
expect that further revisions to our understanding may
still occur. In particular, little work has yet been done
to address the question of how realistic turbulent flows
within the disk affect the torque and its saturation.
To summarize, Type I migration torques remain poorly
understood. The co-orbital torque is probably important,
but the mathematical relation between the linear
47
r 3 . (2.20)
Die radiale Geschwindigkeit sei Null und der Satellit befinde sich auf einem kreisförmigen
Orbit. Das Gravitationspotential Ψ ergibt sich aus dem des Zentralobjekts und dem des
Satelliten:
Ψ = Ψ⋆ + Ψs. (2.21)
Entsprechend der Scheibengeometrie bieten sich Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) zur Beschreibung
des Problems an. Wir beschränken uns auf das zweidimensionale Problem,

2.3. Kleine gravitative Störungen 9
setzen also z = 0 und befinden uns dann in einem Polarkoordinatensystem.
Das Satellitengravitationspotential kann, da es periodisch in ϕ ist, in eine Fourierreihe
entwickelt werden:
Ψ (r, ϕ, t) = − Gms
|rs (t) − r|
∞
= Ψm (r) cos (m (ϕ − ϕs (t))) .
m=0
(2.22)
Dabei ist ϕs = Ωst der Azimutalwinkel des Satelliten mit der Winkelgeschwindigkeit Ωs.
Die Fourierkoeffizienten lauten (Meyer-Vernet & Sicardy, 1987):
Ψm (r) = − Gms
2a b(m)
1/2
wobei a die Halbachse der Planetenbahn und b (m)
1/2
r
, (2.23)
a
(m ∈ N) die klassischen Laplacekoeffizienten
(Brouwer & Clemence, 1961, S. 495ff.) sind:
b (m)
γ (β) = 2
π
π
0
cos (mϕ)
(1 + β 2 − 2β cos (ϕ)) γ dϕ. (2.24)
Da das Gravitationspotential des Zentralobjektes rotationssymmetrisch ist und das Satellitenpotential
gerade mit der Geschwindigkeit Ωs rotiert, ist das Gesamtpotential im
rotierenden Bezugssystem der Winkelgeschwindigkeit Ωs zeitlich konstant. Das Gesamtdrehmoment,
welches die Scheibe auf den Satelliten ausübt, ist:
Γtot = −
=
=
disk
disk
disk
Σ (rs × F ) df
Σ (rs × ∇Ψs) df
Σ ∂Ψs
∂ϕ df.
(2.25)
Zu starken Einflüssen auf die Scheibe kommt es nur an Stellen, an denen die Frequenz der
Fourierkoeffizienten ω = m (Ω (r) − Ωs) gerade eine natürliche Oszillationsfrequenz eines
Massenelements in der Scheibe trifft. Es kommt zu Resonanz, sodass die Drehmomente
nur an diesen Orten betrachtet werden.

10 2. Grundlagen
Vernachlässigt man Druck und Selbstgravitation, entstehen für
Korotationsresonanzen und für
m (Ω (r) − Ωs) = 0 (2.26)
m (Ω (r) − Ωs) = ±κ (r) (2.27)
Lindbladresonanzen (Binney & Tremaine, 2008; Goldreich & Tremaine, 1979), wobei
κ (r) die epizyklische Frequenz ist, also die Oszillationsfrequenz eines Partikels in der
Scheibe, welcher durch eine kleine Störung radial angeregt wird. Bei keplerschen Scheiben
gilt κ = Ω, sodass für die Positionen der Lindbladresonanzen rL gilt (Papaloizou et al.,
2007):
2/3 m
rL = a
. (2.28)
m ± 1
Falls der Druck in der Scheibe nicht vernachlässigt werden kann, ergibt sich folgende
Resonanzbedingung:
m (Ω (r) − Ωs) = κ (r) (1 + ξ 2 ). (2.29)
Dabei ist ξ := mcs/ (Ωr) und cs die isotherme Schallgeschwindigkeit. Nach Gleichung 2.10
ist die Schallgeschwindigkeit cs = hΩ, wobei h die lokale Skalenhöhe der Scheibe bezeichnet,
und wir erhalten für m → ∞ eine verschobene Position für der Lindbladresonanzen
gegenüber der drucklos bestimmten Gleichung:
rL = a ± 2
h. (2.30)
3
Dieses nennt man Drehmomentsgrenze (engl. torque cut-off) und verhindert das Divergieren
des durch die Scheibe auf den Satelliten wirkenden Drehmoments in unmittelbarer
Nähe des Satelliten (Goldreich & Tremaine, 1980).
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torque
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diffusion
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m=2 m=3
m=2 m=1
Abbildung 2.3.: FIG. Orte 31 der Illustration ersten Lindbladresonanzen. of the viscous condition Durch fordie gap Wirkung opening. des Drucks lie-
A gap gen can die äußeren open when Resonanzpunkte the time scale näher for am opening Satelliten. a gapDie ofviskose
Diffu-
width sion∆r wirkt due den to tidal Drehmomenten torques becomes entgegen shorter (Armitage, than the2007). time
scale on which viscous diffusion can refill the gap.
calculation, and that done by considering the properties
of horseshoe orbits, is not clear. It is likely that Type I
migration is rapid, but the rate and even direction of
migration may depend upon details of the disk model.
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2.3. Kleine gravitative Störungen 11
2.3.1. Lindblad Drehmomente
An den Lindbladresonanzen werden spiralartige Dichtewellen ausgelöst, welche sich darauf
hin radial in die Scheibe hinein ausbreiten. Bei diesem Prozess wird Drehimpuls
transportiert, wobei sich die Gesamtmenge des auf den Satelliten wirkenden Drehmoments
aus der Bilanz von aus der inneren Scheibe gewonnenem und an die äußere Scheibe
verlorenen Drehimpuls ergibt. Wir können nun das Lindblad-Drehmoment Γ L m der m-ten
Resonanz von der Scheibe auf den Satelliten angeben (Kley & Nelson, 2012):
Γ L m = sign (Ω − Ωs) π2 Σ
3ΩΩs
r dΨm
dr + 2m2 (Ω − Ωp)
Ω
Ψm
2 . (2.31)
Dabei muss diese Gleichung an der Stelle der Lindbladresonanz r = rL ausgewertet
werden. Abgeleitet wird diese Formel z.B. in Goldreich & Tremaine (1979) oder Ward
(1986). Für nicht-isotherme Scheiben muss wieder um den Beitrag des Druckes korrigiert
werden. Hierfür ergibt sich (Ward, 1997):
Γ L,p
b
=
Γ L m
1 + ξ 2 (1 + 4ξ 2 ) . (2.32)
Um das Gesamtdrehmoment zu bestimmen, muss über alle Resonanzen 1 ≤ m < ∞ für
die innere und die äußere Scheibe summiert werden. In der Regel überwiegen die Beiträge
der äußeren Lindbladresonanzen, da diese durch den Gasdruck näher am Satelliten liegen.
Durch den Gasdruck ist die Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe leicht subkeplersch,
sodass es zu einer Innenverschiebung der Lindbladresonanzen kommt. Insgesamt ist das
wirkende Drehmoment meistens negativ und es kommt zu einer nach innen gerichteten
Migration des Satelliten (Kley & Nelson, 2012; Papaloizou et al., 2007; Ward, 1997).
2.3.2. Korotationsdrehmomente
Das Material in der Hufeisenregion bewegt sich nahezu mit der gleichen Geschwindigkeit
wie der Satellit selber. Daher kann das Korotationsdrehmoment durch lineare Störungstheorie
berechnet werden. Dies wurde zuerst von Goldreich & Tremaine (1979) durchge-
führt. Man erhält
Γ C m = mπ2
2
Ψm
r dΩ
dr
d
dr
Σ
, (2.33)
B
wobei diese Gleichung an der Stelle des Korotationsradius r = rC ausgewertet werden
muss und B = κ 2 /Ω die Oortsche Konstante bezeichnet.

12 2. Grundlagen
2.4. Bahnkurven in rotierenden Potentialen
Viele Systeme besitzen ein nicht achsensymmetrisches Gravitationspotential, welches in
einem rotierenden Bezugssystem stationär ist. Dies können zum Beispiel Zweikörpersysteme
auf Kreisbahnen, näherungsweise rotierende, nicht achsensymmetrische Galaxien
oder Systeme aus zwei Galaxien, welche für sich gesehen jeweils ein nahezu achsensymmetrisches
Potential besitzen, sein. Die folgende Herleitung ist angelehnt an (Binney &
Tremaine, 2008, S. 178ff.).
Die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Bezugssystems, in dem das Gravitationspotential
Φ konstant ist, sei Ω. In diesem System ist die Geschwindigkeit ˙r und im Inertialsystem
˙r + Ω × r. Die Lagrangefunktion lautet somit:
Für den Impulsvektor gilt:
L = 1
2 | ˙r + Ω × r|2 − Φ (r) . (2.34)
p = ∂L
∂ ˙r
= ˙r + Ω × r.
(2.35)
Dies ist gerade der Impuls im Inertialsystem. Wir können die Hamiltonfunktion aufstellen:
HJ = p · ˙r − L
= p · (p − Ω × r) − 1
2 p2 + Φ
= 1
2 p2 + Φ − Ω · (r × p) .
(2.36)
Da H = 1
2 p2 + Φ gerade die Hamiltonfunktion im Inertialsystem und L = r × p der
Drehimpuls im mitrotierten System ist, können wir HJ auch schreiben als:
HJ = H − Ω · L. (2.37)
Da Φ(r) im rotierenden Bezugssystem konstant ist, hat HJ keine explizite Zeitabhängigkeit
und die Ableitung entlang eines beliebigen Orbits dHJ/ dt = ∂HJ/∂t verschwindet 2 .
HJ ist also ein Integral, welches auch Jacobi Integral (Binney & Tremaine, 2008, S. 178
f.) genannt wird. Bei einem rotierenden, nicht achsensymmetrischen Potential sind weder
Gesamtenergie noch Drehimpuls erhalten, aber deren Differenz H − Ω · L ist erhalten.
2 Mit ˙q = ∂H
∂p
und ˙p = − ∂H
∂q
gilt: dH
dt
= ∂H
∂q
∂H ∂H ∂H
· ˙q + · ˙p + = ∂p ∂t ∂t .

2.4. Bahnkurven in rotierenden Potentialen 13
Für einen konstanten Wert EJ von HJ gilt mit Gleichung 2.36:
Dabei ist das effektive Potential Φeff:
EJ = 1
2 p2 + Φ − Ω · (r × p)
= 1
2 | ˙r|2 + Φ − 1
|Ω × r|2
2
= 1
2 | ˙r|2 + Φeff.
Φeff (r) = Φ (r) − 1
2
= Φ (r) − 1
2
|Ω × r|2
In Zylinderkoordinaten mit Ω = Ωez erhalten wir:
Die Hamiltongleichungen lauten mit Gleichung 2.36:
|Ω| 2 |r| 2 − (Ω · r) 2
.
(2.38)
(2.39)
Φeff = Φ (r) − 1
2 Ω2 r 2 . (2.40)
˙p = − ∂HJ
∂x
˙r = ∂HJ
∂p
= −∇Φ − Ω × p, (2.41)
= p − Ω × r. (2.42)
Wenn wir die zweite Gleichung nach der Zeit ableiten, können wir in der ersten Gleichung
˙p und p substituieren:
¨r = ˙p − Ω × ˙r, (2.43)
¨r = −∇Φ − 2Ω × r − Ω × (Ω × r) . (2.44)
Wir erhalten die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem, welche die Coriolisund
Zentrifugalkraft beinhaltet. Auf diese Scheinkräfte werden wir im nächsten Abschnitt
2.5 genauer eingehen.
Wir wollen jetzt ein solches effektives Potential für ein System aus zwei Punktmassen
betrachten. Vorgegeben seien die beiden Punktmassen m1 und m2, welche auf Kreisbahnen
um ihren gemeinsamen Schwerpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit Ω kreisen. Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit sei die Masse m1 zum Zeitpunkt t = 0 auf der positiven
x-Halbachse und entsprechend die Masse m2 auf der negativen Halbachse, wobei der

14 2. Grundlagen
Schwerpunkt im Ursprung liege. Die Bahnen der Massen lauten dann:
r1 (t) = r1
r2 (t) = r2
⎛
⎝
⎛
⎝
cos (Ωt)
sin (Ωt)
0
⎞
cos (Ωt + π)
sin (Ωt + π)
0
⎠ , (2.45)
⎞
⎠ . (2.46)
Wenn a die große Halbachsen der beiden Komponenten ist, ergeben sich r1, r2 zu:
a = r1 + r2, (2.47)
m2
r1 = a
, (2.48)
m1 + m2
m1
r2 = a
. (2.49)
m1 + m2
Damit können wir das Potential der beiden Punktmassen angeben:
Φ (r) =
2
i=1
= −
Φi (r)
2
i=1
G mi
|r − ri| .
Betrachtung der Abstände zwischen r und ri liefert:
⎛
|r − r1| = ⎝
⎛
|r − r2| = ⎝
x − r1
y
0
x − r2
y
0
⎞
⎠
=
⎞
⎠
=
Hiermit erhalten wir für das effektive Potential:
Φeff = Φ (r) − 1
⎛
= −G ⎝
2 Ω2 r 2
m1
(x − r1) 2 + y2 +
(2.50)
(x − r1) 2 + y 2 , (2.51)
(x + r2) 2 + y 2 . (2.52)
⎞
m2
(x + r2) 2 + y2 ⎠ − 1
2 Ω2 x 2 + y 2
(2.53)

2.5. Rotierende Bezugssysteme 15
Für ein Massenverhältnis von m1/m2 = 1/9 und einer großen Halbachse von a = 1
erhalten wir das in Abbildung 2.4 sichtbare Potentialfeld.
Abbildung 2.4.: Konturlinien des effektiven Potentials zweier Punktmassen im mitrotierten
System. Das Verhältnis der Massen beträgt 1 : 9.
2.5. Rotierende Bezugssysteme
In einem rotierenden Bezugssystem treten zusätzlich zu geometrischen und externen Kräften
Scheinkräfte auf. Wenn das System nun um den Ursprung mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit
Ω rotiert, erhält man nach (Hirsch, 2007, S. 54ff) für die Coriolis- und
Zentrifugalkräfte pro Einheitsmasse:
fC = −2 (Ω × v) (2.54)
fZ = −Ω × (Ω × r) . (2.55)
Die Eulerkraft FE = − ∂Ω
∂t × r verschwindet, da Ω zeitunabhängig ist. Seien nun {ξ, η, ϕ}
krummlinig orthogonale Koordinaten. Dann ist in den von uns betrachteten Systemen
Ω = Ωeϕ und r = reξ, sodass wir mit v = ˙r den gesamten Quellterm Srot = ρ (fC + fZ)

16 2. Grundlagen
des rotierenden Bezugssystems angeben können zu:
Srot = ρ (fC + fZ)
= −2ρ (Ω × v) − ρΩ × (Ω × r)
= −2ρ (Ω × v) + ρΩ 2 reξ
= −2ρ (Ωvξeη − Ωvηeξ) + ρΩ 2 reξ
= ρ rΩ 2
+ 2Ωvη eξ − 2ρΩvξeη.
(2.56)

3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit
FOSITE
Für alle Simulationen wird das hauseigene 2D-Hydrodynamikprogramm FOSITE von
Illenseer & Duschl (2009) verwendet. Eine Stärke von FOSITE ist es, auf beliebigen
krummlinigen orthogonalen Koordinaten rechnen zu können. Dies macht die Verwendung
von kartesischen, polaren, bipolaren, oblat-spheroiden und anderen Koordinaten
möglich. Ebenso einfach ist es, vorhandene Koordinatensysteme an das jeweilige Problem
anzupassen. Dadurch sind logarithmische, tangenshyperbolische und andere Skalierungen
realisierbar, um höhere Auflösungen an bestimmten Stellen des Rechengebiets
zu erreichen. Die flexible Implementierung erlaubt zudem ein einfaches Austauschen von
Zeitintegrator, Einheitensystem und verwendeter Physik und allen anderen Modulen.
Genauere Beschreibungen zu den Wahlmöglichkeiten sollen in diesem Kapitel erläutert
werden.
FOSITE in an unterschiedliche Problemstellungen anpassbar, wurde jedoch hauptsächlich
für die Beschreibung von Akkretionsscheiben entwickelt. Das verwendete numerische Verfahren
(Illenseer & Duschl 2009, ursprüngliche Form in kartesischen Koordinaten: Kurganov
& Tadmor 2000) wurde für 3D-Systeme entwickelt und in FOSITE für 2D-Probleme
implementiert. Es ist also erforderlich, bei der Simulation von Akkretionsscheiben eine
Dimension einzusparen. Dadurch ergeben sich zwei grundsätzlich unterschiedliche Arten
von Geometrien. Einerseits kann man annehmen, dass die vorliegende Akkretionsscheibe
rotationssymmetrisch ist, sodass man z.B. in Kugel- oder Zylinderkoordinaten mit über
den Azimutalwinkel gemittelten Variablen rechnet. Auf der anderen Seite kann man annehmen,
dass die Scheibendicke sehr viel kleiner als deren radiale Ausdehnung ist. Die
verwendeten Variablen wären dann in Zylinderkoordinaten über die z-Richtung gemittelt.
Im Folgenden wollen wir den ersten Simulationstyp mit EULER3D und den zweiten
mit EULER2D bezeichnen. Der erste Typ wird mit dem Suffix 3D beschrieben, da bei diesen
Geometrien der azimutale Transport nicht verschwindet, sondern nur nicht aufgelöst
wird. Für genauere Beschreibungen dieser Geometrien wird auf Illenseer & Duschl (2009)
verwiesen. Die für uns interessanten Strukturen liegen in der Ebene der Akkretionsscheibe,
also der r-ϕ-Ebene und werden daher mit EULER2D Simulationen beschrieben.
Wir betrachten nun zunächst das bereits in FOSITE implementierte Gleichungssytem
für EULER2D Geometrien, welches die kartesischen Eulergleichungen auf krummlinig orthogonale
Koordinaten verallgemeinert. Hiervon ausgehend stellen wir ein neues Gleichungsystem
zur Lösung von EULER2D Problemen vor, welches explizit Drehimpuls im
Inertialsystem erhält. Die zentrale Rolle von Drehimpuls in der Entwicklung von Akkreti-
17

18 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
onsscheiben macht dessen korrekte numerische Behandlung sehr wichtig. Auf die Vorteile
des neuen Gleichungssystems wird in Abschnitt 4 eingegangen. Vorher werden noch weitere
verwendete Module von FOSITE kurz vorgestellt und das neue Gleichungssystem mit
numerischen Tests verifiziert.
3.1. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen
Eine hyperbolische Erhaltungsgleichung hat die Form:
∂u
∂t
+ ∇ · T (u) = 0. (3.1)
Dabei ist u ein Vektor und T (u) ein Tensor zweiter Stufe, sodass T ↦→ ∇ · T die Tensordivergenz
bezeichnet. Falls u ein Skalar und T ein Vektor ist, erhalten wir eine skalare
Erhaltungsgleichung. Für orthogonal krummlinige Koordinaten {ξ, η, ϕ} mit der Orthonormalbasis
{eξ, eη, eϕ} und den metrischen Skalenfaktoren {hξ, hη, hϕ} können wir die
Tensordivergenz angeben:
[∇ · T ] ξ = 1
∂
√
g ∂ξ (hηhϕTξξ) + ∂
∂η (hξhϕTξη) + ∂
∂ϕ (hξhηTξϕ)
[∇ · T ] η = 1
√ g
[∇ · T ] ϕ = 1
√ g
− cηξηTηη − cϕξϕTϕϕ + cξηξTηξ + cξϕξTϕξ,
∂
∂ξ (hηhϕTηξ) + ∂
∂η (hξhϕTηη) + ∂
∂ϕ (hξhηTηϕ)
− cξηξTξξ − cϕηϕTϕϕ + cηξηTξη + cηϕηTϕη,
∂
∂ξ (hηhϕTϕξ) + ∂
∂η (hξhϕTϕη) + ∂
∂ϕ (hξhηTϕϕ)
− cξϕξTξξ − cηϕηTηη + cϕξϕTξϕ + cϕηϕTηϕ.
(3.2)
Dabei ist √ g die Determinante der metrischen Matrix, also √ g = hξhηhϕ. Die Kommutatorkoeffizienten
cijk hängen von den metrischen Skalenfaktoren und deren Ableitungen
ab. Ihre genaue Definition ist im Anhang A.3 und in Illenseer & Duschl (2009) zu finden.
Da wir uns nun auf den zweidimensionalen Fall beschränken wollen, nehmen wir
eine Symmetrie bezüglich der ϕ Koordinate an, also dass ∂
∂ϕ ≡ 0 gilt. Mit den neuen
Differentialoperatoren
Dξ := 1 ∂
√
g ∂ξ hηhϕ, (3.3)
Dη := 1 ∂
√
g ∂η hξhϕ
(3.4)

3.1. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen 19
können die Erhaltungsgleichungen umformuliert werden:
∂tu + DξF (u) + DηG (u) = S (u) . (3.5)
F und G sind die Flussvektoren und S der Vektor der geometrischen Quellterme. Für
den Fall kartesischer Koordinaten verschwinden alle Kommutatorkoeffizienten cijk und
es gilt S ≡ 0.
Durch das Formulieren der Gleichungen in Erhaltungsform kann die Erhaltung bestimmter
konservativer Variablen mit numerischer Genauigkeit erreicht werden. Eine Gleichung
liegt in ihrer Erhaltungsform vor, wenn sie keine Quellterme S enthält. Im Folgenden
werden verschiedene Physikmodule vorgestellt, in denen jeweils unterschiedliche Erhaltungsgleichungen
implementiert sind.
3.1.1. Eulergleichungen auf orthogonal krummlinigen Koordinaten
Sei nun der Tensor T durch
T = ρv ⊗ v + pI (3.6)
definiert (Hirsch, 2001, S. 14f.), wobei ρ die Dichte, v der Geschwindigkeitsvektor, p der
Druck und I die Einheitsmatrix sei. So ergeben sich die Impulsgleichung
die Kontinuitätsgleichung
und die Energiegleichung
Mit einer Zustandsgleichung
und der idealen Gasgleichung
∂t (ρv) + ∇ · (ρv ⊗ v + pI) = 0, (3.7)
∂tρ + ∇ · (ρv) = 0 (3.8)
∂tE + ∇ · ((E + p) v) = 0. (3.9)
E = E(ρ, T ) (3.10)
pV = m
M · Rm · T, (3.11)
wobei V das Volumen, m die Masse, M die molare Masse, Rm die universelle Gaskonstante
und T die Temperatur bezeichnet, erhält man das vollständige System der
kompressiblen Hydrodynamikgleichungen in kartesischen Koordinaten, welches sich aus
zwei skalaren und einer vektoriellen Erhaltungsgleichung zusammensetzt.

20 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Durch Transformation in beliebige orthogonale Koordinaten unter Verwendung der Tensordivergenz
und Formulierung 3.5 der Erhaltungsgleichung können wir für dieses System
die konservativen Variablen, Flussvektoren und geometrischen Quellterme aufschreiben
(Illenseer & Duschl, 2009):
⎡
ρ
⎢ ρvξ ⎢
u = ⎢ ρvη
⎣ ρvϕ
⎤
⎥ ,
⎦
⎡
⎢
F = ⎢
⎣
ρvξ
ρv
E
2 ξ + p
ρvξvη
ρvξvϕ
⎤
⎥ ,
⎦
⎡
⎢
G = ⎢
⎣
ρvη
ρvηvξ
ρv
(E + p) vξ
2 η + p
ρvηvϕ
⎤
⎥
⎦
(E + p) vη
,
⎡
0
⎤ ⎡ ⎤
0
⎢ −vηcξηξ ⎢
S = ρvξ
⎢ vξcξηξ
⎣ −vϕcϕξϕ
⎥ ⎢ vηcηξη
⎥ ⎢
⎥ + ρvη
⎢ −vξcηξη
⎦ ⎣ −vϕcϕηϕ
⎥
⎦
0
0
+ ρv2 ⎡
0
⎤ ⎡
0
⎢ cϕξϕ ⎢
ϕ ⎢ cϕηϕ
⎣ 0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ + p ⎢
⎦ ⎣
0
cηξη + cϕξϕ
cξηξ + cϕηϕ
0
0
⎤
⎥
⎦ .
(3.12)
Wir nehmen nun zusätzlich an, dass Druck und Energie über die ideale Gasgleichung
verknüpft sind, sodass für die Gesamtenergie E gilt:
E = 1
2 ρ v 2 ξ + v2 η + v 2 p
ϕ + . (3.13)
γ − 1
Dabei ist γ = cp/cv das Verhältnis der spezifischen Wärme (z.B. γ = 1.4). Ein wichtiges
Merkmal dieser konservativen Variablen ist das Verschwinden der geometrischen Quellterme
von Kontinuitäts- und Energiegleichung. Falls hier keine anderen externen Quellterme
vorkommen, handelt es sich um echte Erhaltungsgleichungen, welche auch durch
das numerische Verfahren eingehalten werden. Die Impulsgleichungen sind im Allgemeinen
allerdings keine Erhaltungsgleichungen, da diese geometrische Quellterme enthalten.
Für bestimmte Koordinatensysteme werden diese wieder auf echte Erhaltungsgleichungen
reduziert (z.B. kartesische Koordinaten).
3.1.2. Impulstransport
Die im letzten Abschnitt hergeleiteten Gleichungen gelten zunächst für beliebige 2D-
Geometrien in FOSITE. Insbesondere werden sie in ähnlicher Form für EULER3D Geometrien
verwendet. Wir wollen nun das in dem EULER2D Physikmodul von FOSITE
verwendete Gleichungssystem beschreiben. Dazu wird das eben hergeleitete allgemeine

3.1. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen 21
Impulssystem in Gleichung 3.12 verwendet und vϕ ≡ 0 gesetzt (keine Geschwindigkeiten
entlang der dritten Koordinate). In der dritten Zeile werden alle Terme Null. Ohne diese
schreiben wir:
⎡
ρ
⎢ ρvξ
u = ⎢
⎣ ρvη
⎤
⎥
⎦ ,
⎡
⎢
F = ⎢
⎣
ρvξ
ρv
E
2 ξ + p
ρvξvη
⎤
⎥
⎦ ,
⎡
⎢
G = ⎢
⎣
ρvη
ρvηvξ
ρv
(E + p) vξ
2 η + p
⎤
⎥
⎦
(E + p) vη
,
⎡
0
⎤ ⎡
0
⎤ ⎡
⎤
0
⎢ −vηcξηξ
S = ρvξ
⎢
⎣ vξcξηξ
⎥ ⎢ vηcηξη
⎥
⎦ + ρvη
⎢
⎣ −vξcηξη
⎥ ⎢ cηξη ⎥
⎦ + p ⎢ + cϕξϕ
⎣ cξηξ + cϕηϕ
⎥
⎦
0
0
0
.
Die Gesamtenergie vereinfacht sich dann zu:
(3.14)
E = 1
2 ρ v 2 ξ + v2 p
η + . (3.15)
γ − 1
Dieses System erhält Masse und Energie. Die Impulsgleichungen enthalten geometrische
Quellterme.
3.1.3. Lokal isotherme Approximation
Das vorliegende Gleichungssystem 3.14 kann unter folgenden Annahmen weiter vereinfacht
werden. Der Druck kann lokal isotherm approximiert werden. Das bedeutet eine
feste Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Ort (beziehungsweise pro Zelle des
Rechengebietes):
Der Druck ergibt sich:
cs := cs (ξ, η) . (3.16)
p = ρc 2 s. (3.17)
Das Lösen der Energiegleichung ist nicht mehr notwendig. Das neue Gleichungssystem
lautet insgesamt:
⎡
ρ
u = ⎣ ρvξ
ρvη
⎤
⎦ ,
⎡
ρvξ
F = ⎣ ρv2 ⎡
0
⎤
ξ + p ⎦ ,
ρvξvη
⎤ ⎡
0
⎤
⎡
G = ⎣
⎡
S = ρvξ ⎣ −vηcξηξ ⎦ + ρvη ⎣ vηcηξη ⎦ + p ⎣
vξcξηξ
−vξcηξη
ρvη
ρvηvξ
ρv 2 η + p
0
cηξη + cϕξϕ
cξηξ + cϕηϕ
⎤
⎦ ,
⎤
⎦ .
(3.18)

22 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Als Spezialfall der lokal isothermen Approximation kann die Schallgeschwindigkeit global
für das gesamte Rechengebiet festgelegt werden, sodass man dann zu der isothermen Approximation
gelangt. Die zugehörigen Module von FOSITE heißen EULER2D_ISOTHERM
für die global isotherme Approximation und EULER2D_LOCISOTHERM für die lokal isotherme
Approximation.
Es sei angemerkt, dass es in der lokal isothermen Approximation immer noch einen Druckgradienten
in Abhängigkeit der Gradienten von Schallgeschwindigkeit und Massendichte
gibt. Dieser muss zum Beispiel bei der Bestimmung von Anfangsbedingungen, die ein
System im Gleichgewicht darstellen sollen, beachtet werden.
3.1.4. Inertialdrehimpulstransport
Der Variablensatz aus dem vorherigen Abschnitt 3.1.3 eignet sich nicht, falls eine genaue
Drehimpulserhaltung von Interesse ist. Auch das Hinzufügen von Scheinkräften eines
rotierenden Bezugssystems als externe Quellterme erzeugt große Fehler in der Drehimpulserhaltung.
Wir formen daher die Gleichungen 3.14 so um, dass statt der Impulsdichte
ρvη die Inertialdrehimpulsdichte
ρl = ρhη (vη + hηΩ) (3.19)
erhalten wird. Dabei ist Ω die Rotationsgeschwindigkeit des Bezugssystems um den Ursprung
und vη die Azimutalgeschwindigkeit im rotierenden Bezugssystem. Hierdurch wird
erreicht, dass in der zweiten Impulsgleichung, also der neuen Drehimpulsgleichung, weder
geometrische Terme noch Scheinkraftterme vorkommen. Dadurch kann die Qualität
der Drehimpulserhaltung deutlich verbessert werden. Das Umformen der Gleichungen ist
nicht trivial. Unser Ziel ist es, folgenden Satz konservativer Variablen zu erhalten:
⎛
u = ⎝
ρ
ρvξ
ρl
⎞
⎠ . (3.20)
Hierfür muss die dritte Komponente der Transportgleichung 3.5 mit den Flussvektoren
3.18 vom vorherigen Abschnitt 3.1.3 passend modifiziert werden. Zunächst betrachten
wir die Wirkung von hη auf die Differentialoperatoren 3.3. Wir beschränken uns dabei
auf polare Geometrien mit hξ = 1 und hη = hη (ξ). An hϕ werden keine Bedingungen
gestellt. Für eine Funktion f gilt:
hηDξf = 1
√ g (hη∂ξ (hηhϕf) + hηhϕf∂ξhη − hηhϕf∂ξhη)
= 1
√ g ∂ξ (hηhϕ (hηf)) − 1
= Dξ (hηf) − hηfcηξη,
hξ
f∂ξhη
(3.21)

3.1. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen 23
hηDηf = 1
√ g (hη∂η (hξhϕf) + hξhϕf∂ηhη − hξhϕf∂ηhη)
= Dη (hηf) .
(3.22)
Der Skalenfaktor hη vertauscht also mit Dη. Die Multiplikation von hη mit Dξ liefert
einen zusätzlichen Quellterm. Sei der Übersichtlichkeit halber ω := vη/hη. Dann folgt
motiviert durch unsere gewünschten konservativen Variablen und unter Verwendung der
Vertauschungsrelation:
∂t (ρl) = hη∂t (ρhηω) + h 2 ηΩ∂tρ, (3.23)
Dξ (ρvξl) = hηDξ (ρvξhη (ω + Ω)) + ρvξh 2 η (ω + Ω) cηξη
= hηDξ (ρvξhηω) + hηΩ (hηDξ (ρvξ) + hηρvξcηξη)
+ ρvξh 2 η (ω + Ω) cηξη
= hηDξ (ρvξhηω) + h 2 ηΩDξ (ρvξ) + ρvξh 2 η (ω + 2Ω) cηξη, (3.24)
Dη (ρlvη + hηp) = hηDη (ρhηωvη + p) + h 2 ηΩDη (ρvη) . (3.25)
Wir setzen nun die dritte Zeile von 3.18 in die Transportgleichung 3.5 ein und multiplizieren
mit hη:
hη
∂t (ρhηω) + Dξ (ρvξhηω) + Dη ρ (hηω) 2
+ p
= ∂t (ρl) + Dξ (ρvξl) + Dη (ρlvη + hηp)
− h 2 ηΩ (∂t (ρ) + Dξ (ρvξ) + Dη (ρvη))
− ρvξhη (ω + 2Ω) cηξη.
(3.26)
Wenn wir die Kontinuitätsgleichung verwenden, erhält man mit der dritten Komponente
der geometrischen Quellterme S3:
∂t (ρl) + Dξ (ρvξl) + Dη (ρlvη + hηp) = hηS3 + ρvξh 2 η (ω + 2Ω) cηξη
(3.27)
Es entsteht ein neuer Quellterm in der dritten Gleichung. Wir betrachten nun die Summe
aus diesem neuen Quellterm, den geometrischen Quelltermen S3 und den Quelltermen
des rotierenden Bezugssystems Srot,3 aus Abschnitt 2.5:
hηS3 + ρvξh 2 η (ω + 2Ω) cηξη + hηSrot,3
= −ρhηvηvξcηξη + ρvξh 2 η (ω + 2Ω) cηξη − 2ρΩvξhη
= ρvξhη (ω + 2Ω) − ρvξhη (ω + 2Ω)
= 0.
(3.28)

24 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Es ergibt sich eine echte Erhaltungsgleichung für den Drehimpuls im Inertialsystem.
Insgesamt lauten die isothermen Flussvektoren und Quellterme jetzt:
⎡
u = ⎣
ρ
ρvξ
ρl
⎤
⎡
⎦ , F = ⎣
S =
⎡
⎢
⎣
ρhη
⎤
ρvξ
+ p ⎦ ,
⎡
G = ⎣
ρvξl
0
2 + Ω + pcηξη
⎤
⎥
⎦ .
ρv 2 ξ
vη
hη
0
ρvη
ρvξvη
ρvηl + hηp
Dabei wurde Srot,2 zu den geometrischen Quelltermen der zweiten Zeile addiert.
⎤
⎦ ,
(3.29)
Auch Kley (1998) und Mudryk & Murray (2009) haben statt des spezifischen Inertialdrehimpulses
die spezifische azimutale Geschwindigkeit als Transportgröße verwendet.
Wir zeigen zum ersten Mal die direkte Ableitung der Flussvektoren und geometrischen
Quellterme für Erhaltungsgleichungen der Form 3.5, also auf polaren Gittern mit beliebiger
radialer Skalierung. Im Gegensatz zu Kley (1998) bleibt der Druck ein Teil des
Advektionsterms und wird nicht als Quellterm behandelt. Mudryk & Murray (2009) behandeln
zwar den Druck korrekt, lösen aber nicht das vollständige Gleichungssystem in
einem Schritt. Dies ist nur mit unserem neuen System möglich, da alle Komponenten
der Flussvektoren implizit nur von den konservativen Variablen und dem Skalenfaktor
hη abhängen.
3.1.5. Modifikation des numerischen Verfahrens
Das numerische Verfahren von FOSITE fordert, dass sich die Transportgleichung 3.5 in
quasilinearer Schreibweise formulieren lässt:
∂F
∂tu + Dξ (u) +
∂u
∂G
Dη (u) = S. (3.30)
∂u
Kernteil des Verfahrens ist das Abschätzen der Transportgeschwindigkeit entlang der
Koordinaten durch das Bestimmen der Eigenwerte der Jacobimatrizen
∂F
∂G
∂u bzw. ∂u .
Details hierzu sind in Illenseer & Duschl (2009) oder Hirsch (1990, S. 138ff) zu finden.
Illenseer & Duschl (2009) fordern hierfür die Homogenität der Flussvektoren bzgl. der
konservativen Variablen und können damit Quasilinearität erreichen.
Der neue Flussvektor F ist von der gleichen Form wie im Abschnitt 3.1.3, also homogen
in u und lässt sich in der quasilinearen Schreibweise formulieren. Der neue Flussvektor
G hingegen ist nicht mehr nur noch von den konservativen Variablen abhängig, sondern
sowohl explizit als auch implizit (vη = l
hη − hηΩ) von hη und damit von der Koordi-

3.2. Weitere Module 25
nate ξ abhängig. Das bisherige Argument zur Herstellung der Quasilinearität lässt sich
also nicht mehr anwenden. Dies kann jedoch durch einen einfachen, bisher unbekannten
Zusammenhang erreicht werden:
DηG (u, hη) = 1
√ h ∂η (hξhϕG (u, hη))
= 1
√ g (∂η (hξhϕ) G (u, hη) + hξhϕ (∂ηG (u, hη)))
= 1
√ (∂η (hξhϕ) G (u, hη)
g
+hξhϕ ∂uG (u, hη) ∂ηu + ∂hηG (u, hη)
· ∂ηhη
= 1
∂G
√ hξhϕ ∂ηu
g ∂u
∂G 1
= √g (hξhϕ∂ηu + u∂η (hξhϕ) − u∂η (hξhϕ))
∂u
∂G 1
= √g ∂η (hξhϕu)
∂u
∂G
= Dη (u) .
∂u
(3.31)
Dabei haben wir verwendet, dass ∂ηhη = 0 und ∂η (hξhϕ) = 0 gilt. Das neue Variablensystem
mit Inertialdrehimpulserhaltung kann in quasilinearer Schreibweise formuliert
werden. Die für die Implementierung notwendigen Eigenwerte der Jacobimatrizen
(∂G/∂u) und (∂G/∂u) sind im Anhang A.1 notiert.
3.2. Weitere Module
Für die Verwendung von FOSITE sind Kenntnisse über alle an den Simulationen beteiligten
Module notwendig. Einige der wichtigsten in dieser Arbeit verwendeten Module
sind im Folgenden dokumentiert.
3.2.1. Geometrien
Alle in dieser Arbeit verwendeten Geometrien sind polare Geometrien. Sie enthalten
also genau eine Polstelle, wobei in der Regel ein Gebiet um diese Polstelle aus dem
Rechengebiet entfernt wird. Festzulegen sind deshalb innerer und äußerer Rand, sowie
radiale und azimutale Auflösung. Bei den meisten polaren Geometrien variiert nur die
radiale Skalierung des Gitters. Da dies auch die Klasse an Gittern ist, welche in der
Physik mit Inertialdrehimpulserhaltung verwendet werden kann, werden zunächst der
allgemeine Fall und dann einige spezielle Gitter diskutiert.

26 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
π
3
4 π
5
4 π
1
2 π
3
2 π
1
4 π
7
4 π
0
π
3
4 π
5
4 π
1
2 π
3
2 π
Abbildung 3.1.: Darstellungen von Polarkoordinatensystemen mit linearer (links), logrithmischer
(mitte) und Sinus-Hyperbolicus (rechts) Skalierung in radialer
Richtung. Logarithmische Skalierungen eignen sich auf Grund der
höheren Geschwindigkeiten durch das zentrale gravitierende Objekt besonders
gut für Akkretionsscheiben. Sinus-Hyperbolicus-Skalierungen ermöglichen
einen Bereich innerhalb einer Scheibe besser radial aufzulösen
als Bereiche, die am Innen- oder Außenrand liegen.
Skalierte Polarkoordinaten
Wir wollen nun einen neuen Satz zweidimensionaler orthogonal krummliniger Koordinaten
{ξ, η} herleiten. Sei f(ξ) eine monoton wachsende Funktion in ξ mit der Umkehrfunktion
f −1 (|r|). Dann sind die Koordinaten definiert durch:
cos (η)
r = f (ξ)
sin (η)
1
4 π
7
4 π
Für die Ableitungen von r nach den Koordinaten ergibt sich:
Damit erhalten wir für die Skalenfaktoren:
hξ =
∂r
∂ξ
0
π
3
4 π
5
4 π
1
2 π
3
2 π
1
4 π
7
4 π
. (3.32)
∂r
∂ξ = f ′
cos (η)
(ξ)
(3.33)
sin (η)
∂r − sin (η)
= f (ξ)
. (3.34)
∂η cos (η)
= f ′ (ξ) (3.35)
0

3.2. Weitere Module 27
hη =
∂r
∂η
= |f (ξ)| . (3.36)
Die krummlinigen Koordinaten in Abhängigkeit der kartesischen Koordinaten lauten:
ξ = f −1 (|r|), (3.37)
η = atan2 (r2, r1) . (3.38)
atan2 ist dabei eine aus vielen Programmiersprachen bekannte Variante des Arkustangens,
welche allerdings auf [−π, π] abbildet und für alle Argumente außer (0, 0) definiert
ist (vollständige Definition im Anhang A.2). Hiermit haben wir bereits alle Terme zusammengetragen,
die zur Implementierung einer neuen polaren Geometrie notwendig sind.
Es sei noch auf zwei Zusammenhänge hingewiesen:
|r| = |f (ξ)|
= hη.
(3.39)
Der Betrag des Ortsvektors ist gerade gleich dem Skalenfaktor hη und gibt damit immer
die Entfernung zum Ursprung in solchen Koordinaten an. Außerdem ist
∂hη
∂ξ = f ′ (ξ)
= 1,
da einerseits r = hη > 0 und andererseits |f ′ (ξ)| = hξ = 1 gilt.
(3.40)
In Tabelle 3.1 werden einige der in FOSITE implementierten polaren Geometrien vorgestellt
und deren Definitionen angeben. Teilweise tauchen dabei frei wählbare Parameter
κ1, κ2, . . . auf. Der metrische Tensor g ergibt sich gerade aus den Skalenfaktoren, da für
orthogonal krummlinige Koordinaten gilt:
Sinh-Tanh-Polarkoordinaten
g = diag h 2 ξ , h2η, h 2
ϕ
⎛
= ⎝
h 2 ξ 0 0
0 h 2 η 0
0 0 h 2 ϕ
⎞
⎠ .
(3.41)
Die Sinh-Tanh-Polarkoordinaten unterscheiden sich von den bisher diskutierten Koordinaten
dadurch, dass sie auch in die Skalierung der η-Koordinate eingreifen. Dadurch wird

28 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Tabelle 3.1.: Polare Geometrien in der xy-Ebene mit unterschiedlicher radialer Skalierung.
Tanpolar κ1 tan (ξ) κ1 tan (ξ)
⎜
⎝
cos (η)
sin (η)
0
⎟
⎠
⎜
⎝
κ1 cos−2 (ξ)
κ1 tan (ξ)
1
⎟
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
Sinhpolar κ1 sinh (ξ − κ3) + κ2 (κ1 sinh (ξ − κ3) + κ2)
⎜
⎝
cos (η)
sin (η)
0
⎟
⎠
⎜
⎝
κ1 cosh (ξ − κ2)
κ1 sinh (ξ − κ2)
1
⎟
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
Logpolar κ1 exp (ξ) κ1 exp (ξ) ·
⎜
⎝
cos (η)
sin (η)
0
⎟
⎠
⎜
⎝
κ1 exp (ξ)
κ1 exp (ξ)
1
⎟
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
Polar ξ ξ ·
⎜
⎝
cos (η)
sin (η)
0
⎟
⎠
⎜
⎝
⎛
⎞
⎛
1
ξ
1
⎟
⎠
⎞
hϕ
Name f (ξ) Ortsvektor r Skalenfaktoren
⎜
⎝
hη
hξ
⎟
⎠
⎛
⎞

3.2. Weitere Module 29
es möglich, die Region um einen beliebigen Punkt im Koordinatensystem besonders gut
aufzulösen und dennoch in polaren und orthogonalen Koordinaten zu bleiben. Sie sind
wie folgt definiert:
f (ξ) = κ1 sinh (ξ − κ2) + κ3, (3.42)
g (ξ) = 1.01π tanh (η) + π,
⎛
⎞
cos (g (η))
(3.43)
r = f (ξ) ⎝ sin (g (η))
0
⎠ . (3.44)
Der Faktor 1.01 könnte auch anders gewählt werden. Wichtig ist, dass er größer als 1
ist, da sonst die Bildmenge von g zu klein ist für η ∈ R und nicht ganz [0, 2π] abdecken
kann. Die Skalenfaktoren lauten dann:
hξ = κ1 cosh (ξ − κ3) , (3.45)
hη = (κ1 sinh (ξ − κ3) + κ2) · 1.01π cosh −2 (η) , (3.46)
hz = 1. (3.47)
Es stellt eine Erweiterung der Sinhpolar-Geometrie da, aber kann nicht mit den Gleichungen
für Inertialdrehimpulstransport verwendet werden.
3.2.2. Limiter
Einige physikalische Größen können nicht negativ werden, wie zum Beispiel die Massendichte.
Dies wird durch die numerische Lösung der hydrodynamischen Gleichungen
zunächst nicht sichergestellt. Daher wird als zusätzliche Bedingung von den numerischen
Lösungen gefordert, dass diese monoton sind. Von Godunov (1959) stammt ein wichtiger
Satz für die Analyse von numerischen Verfahren:
„Alle linearen numerischen Verfahren zweiter oder höherer Ordnung sind nicht
monoton.“
Dies bedeutet im Umkehrschluss, dass alle monotonen linearen Verfahren nur in erster
Ordnung korrekt sind. FOSITE implementiert ein Verfahren zweiter Ordnung und ist
daher nicht monoton. Die Stabilität der Lösungen wird deshalb durch ein zusätzliches
Konzept gewährleistet. Damit die Flüsse nicht unbegrenzt steigen oder Fallen können,
werden die Flussgradienten durch Limiter begrenzt. Für die die genaue Definition des
Satzes von Godunov und die Funktionsweisen von Limitern sei auf (Hirsch, 2007, S.
372ff.) verwiesen.
Die grundlegenden Unterschiede verschiedener Limiter können durch zwei Eigenschaften
charakterisiert werden, welche gegeneinander abgewogen werden müssen. Der sogenannte

30 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Minmod-Limiter (Roe, 1986) weist die stärkste Dipersivität auf. Er glättet also starke
Dichtegradienten, sodass man hohe numerische Stabilität erreicht. Auf der anderen Seite
steht der Superbee-Limiter (Roe, 1986), welcher Dichtegradienten sehr gut abbilden kann,
aber numerisch vergleichsweise instabil ist, da auch kleine numerische Störungen weiter
transportiert werden.
Häufig erweist es sich als nützlich, ein Mittelmaß zwischen beiden verschiedenen Extremen
zu wählen. Hierfür eignet sich zum Beispiel der Monocent-Limiter (van Leer,
1977), welcher einen Parameter β ∈ [1, 2] besitzt. Für β = 1 entspricht der Monocentdem
Minmod-Limiter und für β = 2 dem Superbee-Limiter. Weiterhin wurden mit dem
OSPRE-Limiter (Waterson & Deconinck, 1995) gute Ergebnisse erzielt. Welcher Limiter
für das Problem geeignet ist, muss für jede Simulation neu ermittelt werden. Richtwerte
hierfür lassen sich gut durch eindimensionale Stöße bestimmen (Riemann Probleme),
für die eine numerische Lösung bekannt ist (Siehe Sod 1978). Eine gute Übersicht über
verschiedene Limiter inklusive der hier verwendeten findet man in Toro (2009, S. 480ff).
In Abbildung 3.2 ist eine Übersicht häufig verwendeter Limiter zu sehen.
Abbildung 3.2.: Beispiele einiger Limiterfunktion von Wikipedia (2012). Grau hinterlegt
ist der Bereich, auf den der Limiter wirken kann. Die blaue Kurve zeigt
dann den jeweiligen Funktionverlauf. In FOSITE sind zum Beispiel der
Monocent (MC), Minmod, Ospre, Sweby und Superbee Limiter implementiert.
3.2.3. Randbedingungen
Bei allen Eulerverfahren ist das Gitter auf ein bestimmtes Raumvolumen bzw. in 2D auf
eine bestimmte Fläche begrenzt. Das Verhalten der Lösungen an diesen Rändern wird
durch Randbedingungen festgelegt, welche durch das Setzen von Werten in sogenannten
Geisterzellen aktiviert werden. In FOSITE sind zur Zeit zwei Geisterzellen für alle

3.2. Weitere Module 31
Simulationen eingestellt. Das bedeutet, dass das Gitter senkrecht zu jedem Rand, also
hier in radialer Richtung, um zwei Zellen fortgesetzt wird. Die primitiven Variablen auf
diesen Zellen, also Dichte, Geschwindigkeiten entlang der Koordinaten und gegebenenfalls
Druck, werden allerdings nicht durch Auswertung der Differentialgleichungen des
Physikmoduls bestimmt, sondern durch das Auswerten einer Randbedingung. Diese gibt
die Werte auf dem Rand vor, welche dann zur Berechnung der Zellenwerte neben dem
Rand verwendet werden. Physikalisch ausschlaggebend ist dabei der tatsächliche Wert
auf dem Rand, obgleich die primitiven und konservativen Variablen zellgemittelte Werte
angeben. Daher hängt die Implementierung der Randbedingungen gegebenenfalls vom
numerischen Verfahren ab, also zum Beispiel von der Rekonstruktion oder der Flussberechnung.
Alle vorhandenen Randbedingungen sind rein eindimensional, verwenden also
für die Generierung der Werte in den Geisterzellen nur Werte des Rechengebietes, welche
auf der gleichen Orthogonale zum Rand liegen. In polaren Gittern ist es immer notwendig,
dass in Nord- und Südrichtung 1 periodische Randbedingungen festgelegt werden, um
die korrekte geometrische Fortsetzung des Gitters in azimutaler Richtung zu erhalten.
Im Folgenden sind die wichtigsten Randbedingungen in polaren Gittern definiert, sowie
Beobachtungen mit diesen bei der Simulation von Akkretionsscheiben in der r-ϕ-Ebene
erläutert. Die Definitionen sind beispielhaft für den westlichen, also inneren Rand der
Scheibe, aber lassen sich außer in Ausnahmen auch auf andere Ränder übertragen.
Reflektierende Randbedingungen
Bei reflektierenden Randbedingungen werden alle Werte direkt am Rand auf die Geisterzellen
gespiegelt. Die Ausnahme bildet nur die zum Rand orthogonale Geschwindigkeitskomponente,
welche den gleichen Betrag besitzt, aber das umgekehrte Vorzeichen.
Für die Werte der primitiven Variablen in den Geisterzellen ug gilt
⎛
ρ
⎞
ug,i = ⎝ −vξ ⎠ , (3.48)
wobei i ∈ {1, 2} die Anzahl der Geisterzellen angibt. Reflektierende Randbedingungen
werden häufig verwendet, da sie relativ leicht zu kontrollieren sind. Ein Massenfluss über
den Rand ist nicht möglich. Dichtewellen werden direkt reflektiert, sodass die Vorgänge
am Rand leicht verstanden werden können. Ein zur Wand orthogonaler Impulsübertrag
ist jedoch sehr wohl möglich.
1 West und Ost bezeichnen in polaren Gittern den Innen- und Außenrand. Nord und Süd hingegen die
periodische Ränder, an denen das Rechengebiet zu einer Scheibe zusammengefügt wird. Diese sind
in den Simulationen nicht mehr zu sehen und haben keinerlei Einfluss auf die Lösungen.
vη

32 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Noslip Randbedingungen
Die Noslip Randbedingungen ähneln den reflektierenden Randbedingungen sehr. Sie geben
die zusätzliche Freiheit die Tangentialgeschwindigkeit in den Geisterzellen frei zu
wählen. Bei der Bestimmung des Setups müssen also Felder für die Tangentialgeschwindigkeiten
wη,i mit i = 1, 2 gewählt werden, damit gilt:
⎛
ug,i = ⎝
ρi
−vξ,i
wη,i
⎞
⎠ . (3.49)
Bei keplerscher Rotation der Scheibe kann man dann z.B. die korrekten Keplergeschwindigkeiten
in den Rändern setzten, um das azimutale Geschwindigkeitsfeld korrekt fortzusetzen.
Achsen Randbedingungen
Achsenrandbedingungen sind nur am westlichen Rand des Rechengebiets sinnvoll. Sie
können bei polaren Rechengebieten zur kompletten Entfernung des inneren Rands verwendet
werden. Das Rechengebiet wird bis zur Singularität in der Null fortgesetzt. Die
genaue Implementierung hängt von der verwendeten Physik ab. Diese Randbedingung
wird bei Akkretionsscheiben in der Regel nicht verwendet, da im Zentrum ein zur Scheibenmasse
vergleichsweise massereiches Objekt platziert ist, welche hohe Rotationsgeschwindigkeiten
in der Scheibe erzeugt. Bereits das Verkleinern des inneren Randes vergrößert
den Zeitschritt und auch die benötigte Auflösung enorm. Zudem kommt es zu
einer starken Entartung der Zellen, also zu einem sehr ungleichmäßigem Seitenverhältnis
von Länge und Breite der Zelle, um den Ursprung der Koordinaten. Achsenrandbedingungen
eigenen sich also vor allem für rein hydrodynamische Probleme.
Gradientenfreie Randbedingungen
Gradientenfreie Randbedingungen setzen die Werte im Rand auf den Wert der letzten
Rechengebietszelle, sodass es in erster Ordnung keinen Gradienten zwischen dem Rechengebiet
und den Geisterzellen gibt.
Absorbierende Randbedingungen
ug,i = u1
(3.50)
Absorbierende Randbedingungen setzen die Lösung auf dem Rand so fort, dass es zu
keinen Reflektionen am Rand kommen kann. Für aus dem Rechengebiet auslaufende

3.2. Weitere Module 33
Wellen werden Approximationen durch die charakteristischen Variablen verwendet. Für
einlaufende Wellen werden die charakteristischen Variablen auf Null gesetzt. Für Details
zu absorbierenden Randbedingungen sei auf Hirsch (1990, S. 369) und dessen Referenzen
verwiesen.
Periodische Randbedingungen
Periodische Randbedingungen werden in polaren Gittern am Nord- und Südrand verwendet.
Dort werden die Geisterzellen auf die Werte der letzten beiden Zellen am gegenüberliegenden
Rand gesetzt. Gerade so, als wenn sich Geisterzellen mit den letzten
Zellen am anderen Rand überlappen. Anwendung finden periodische Ränder außerdem
in kartesischen Gitter, da hier gegenüberliegende Ränder ebenfalls die gleiche Länge und
Form besitzen.
Wie bereits erwähnt, werden in Nord und Süd in allen Simulationen dieser Arbeit periodische
Randbedingungen festgelegt. Für die Scheibensimulationen ist die Verwendung von
reflektierenden Randbedingungen vorgesehen. Um im mitbewegten System die Keplergeschwindigkeiten
in der Scheibe korrekt fortzusetzen, werden Noslip Randbedingungen
verwendet.
3.2.4. Quellterme
Wenn ein betrachtetes, physikalisches System von externen Kräften beeinflusst wird,
zum Beispiel durch Gravitation oder Viskosität, können diese durch Hinzufügen von sogenannten
Quelltermen auf der rechten Seite von der Gleichung 3.5 hinzugefügt werden.
Akkretionsscheiben enthalten mindestens ein gravitierendes Zentralobjekt, auf welches
Masse akkretiert werden kann. Zudem wirkt Viskosität durch die der Drehimpulstransport
getrieben wird. Wird diese Scheibe nun gravitativ gestört, können wir entweder eine
weitere Punktemasse in das System einführen oder wir betrachten direkt das Zweikörperproblem,
welches sich analytisch lösen lässt.
Sind die Terme für ein rotierendes Bezugssystem nicht in den Transportgleichungen enthalten,
können diese ebenso als Quellterm hinzugefügt werden. Die Gleichung 3.5 erwartet
als Quellterme die zeitliche Änderung der konservativen Variablen auf Grund der
externen Kräfte ∂u/∂t. Bei den meisten Quelltermen existieren keine Massequellen oder
-senken, sodass es hier keinen Beitrag gibt.

34 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Punktmasse
Die Gravitationsbeschleunigung, welche am Ort r von einer Masse M am Ort r0 erzeugt
wird, lautet:
r − r0
agrav = −GM 3 . (3.51)
|r − r0|
Befindet sich die Masse innerhalb des Rechengebietes, wird ein Glättungsparameter ɛ > 0
benötigt, damit die Feldstärke nicht singulär werden kann. Außerdem ist ein solcher
Parameter sinnvoll, um der unbekannten Ausdehnung und Verteilung des gravitierenden
Objekts in z-Richtung Rechnung zu tragen. Die Gravitationsbeschleunigung lautet
dann:
Zweikörperproblem
r − r0
agrav = −GM
|r − r0| 2 + ɛ2 . (3.52)
3/2
FOSITE enthält außer dem Punktmassenmodul eine weitere Möglichkeit zur Behandlung
von Punktmassen. Dies ist das Zweikörpermodul BINARY welches das integrierbare Problem
der Bahnen und der Gravitationswirkung zweier Massen mit einer Exzentrizität
von
0 ≤ e < 1 (3.53)
löst. Wenn wir die Exzentrizität auf e = 0 setzen, erhalten wir den für uns interessanten
Fall kreisförmiger Bahnen. Das Koordinatensystem muss sich dabei in Rotation um den
gemeinsamen Massenschwerpunkt befinden. Ausführliche Informationen zu dem Zweikörperproblem
kann man in Murray & Dermott (1999) finden.
Viskosität
Das Viskositätsmodul von FOSITE beherrscht unterschiedliche Viskositätstypen und Parametrisierungen,
wie zum Beispiel α (Shakura & Sunyaev, 1973), β (Duschl et al., 2000;
Richard & Zahn, 1999) und konstante kinematische Viskosität. In dieser Arbeit wird
immer die konstante kinematische Viskosität ν verwendet. Da diese auch von Pringle
(1981) eingesetzt wird, heißt sie in FOSITE auch PRINGLE-Viskosität. Für die dynamische
Viskosität η gilt dann mit der Dichte ρ:
η = νρ. (3.54)

3.3. Numerische Tests 35
Wellendämpfungszonen
Die Wellendämpfungszonen sind ein für den Planet-Scheibe-Wechselwirkungsvergleichstest
(de Val-Borro et al., 2006) spezifisches Quelltermmodul. Wie in Abschnitt 4.1 noch
erläutert wird, ist es für den Vergleichstest erforderlich, in Zonen an den Rändern des
Rechengebiets die Variablen auf ihre Anfangswerte zu dämpfen, damit keine Wellen von
den Rändern reflektiert werden. Die Vorschrift lautet:
dX
dt
− X0
= −X R (r) . (3.55)
τ
X ist dabei die zu dämpfende Variable, τ eine Zeitkonstante, die die Dämpfungsgeschwindigkeit
angibt und R (r) eine quadratische Funktion, welche am Rand des Rechengebiets
Eins und am Rand zum inneren Rechengebiet Null ist, sodass die Wirkung des Quellterms
zum Außenrand hin stärker wird. Dieser Quellterm verletzt die Massen- und Drehimpulserhaltung,
da er beides entfernen und hinzufügen kann.
3.3. Numerische Tests
Um uns von der korrekten Funktionalität der Inertialdrehimpuls-Transportgleichungen
zu überzeugen, müssen wir einige Tests durchführen. Ein numerischer Test soll hohe Anforderungen
an bestimmte Bereiche des numerischen Verfahrens stellen und besitzt eine
analytische Lösung des Problems oder beschreibt einen Gleichgewichtszustand, welcher
erhalten bleiben soll.
Als erstes stellen wir eine neue Variante des isentropen Vortex von Yee et al. (1999) vor,
welcher, statt die Energiegleichung zu lösen, lokal isotherme Schallgeschwindigkeiten so
setzt, dass der Druck der geforderten Gleichgewichtsbedingung entspricht. Dieser Test
hat den Vorteil, dass keinerlei externe Quellterme benötigt werden und wir dennoch eine
rotierende Strömung beschreiben können, sodass die Drehimpulserhaltung in einem rotierenden
Bezugssystem verifiziert werden kann. Durch die Vereinfachung für Verfahren
mit lokaler Isothermie eignet sich der isentrope Vortex für viele astrophysikalische Programme,
welche sich unter Anderem auf Planet-Scheibe-Wechselwirkungen spezialisiert
haben (FARGO von Masset 2000, RODEO von Paardekooper & Mellema 2006 und andere
in de Val-Borro et al. 2006, sowie RAPID von Mudryk & Murray 2009). Keines dieser
Programme testet ihre Drehimpulserhaltungseigenschaften in einem rotierenden Bezugssystem
ohne zusätzliche Quellterme. Dies ist aber nötig, um die Erhaltungseigenschaften
des Verfahrens zu untersuchen.
Um das prinzipielle Setup einer Akkretionsscheibe zu testen, bietet es sich an, eine keplersch
rotierende Scheibe mit reflektierenden Randbedingungen aufzusetzen, die durch
ein zentrales, gravitierendes Objekt angetrieben wird. Im Idealfall sollte so eine Scheibe
ungestört rotieren. Dieser Test ist im Prinzip die vereinfachte Variante der später betrach-

36 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
teten Planet-Scheibe-Wechselwirkungen, bei dem Planet und die Wellendämpfungszonen
vernachlässigt werden. Außerdem eignet er sich hervorragend für die Auswahl der Randbedingungen,
um deren Auswirkung auf die Lösungen im Rechengebiet zu testen.
Zuletzt soll die korrekte Funktionalität eines viskosen Quellterms getestet werden. Dafür
wird der Test von Pringle (1981) verwendet, dessen konstante kinematische Viskosität
auch in den Planet-Scheibe-Wechselwirkungssimulationen verwendet wird.
3.3.1. Isentroper Vortex
Um das Ergebnis eines numerischen Test überprüfen zu können, muss die tatsächliche
Lösung bekannt sein. Dafür muss man entweder die analytische Lösung kennen oder es
handelt sich um ein stationäres Problem, sodass die Abweichung vom Anfangszustand
ein Maß für die Qualität des Verfahrens ist. Eine Möglichkeit, eine rotierende, rein hydrodynamische
Strömung zu testen, bietet der isentrope Vortex, wie er zum Beispiel von
Yee et al. (1999) verwendet wird.
vortex2d.f90
Physik
Flüsse
Gitter
Randbedingung
Zeitintegrator
Hintergrunddichte ρ∞ = 1
Vortexstärke Vstr = 5
Modul EULER2D_LOCISOIAMT
Rotationsgeschwindigkeit Ω = 1
Rekonstruktionsordnung LINEAR
Variablen PRIMITIVE
Limiter MONOCENT
Limiter-Parameter θ = 1.2
Geometrie POLAR
Typ MIDPOINT
Auflösung Nr × Nϕ = 100 × 10
Radiale Ausdehnung R ∈ [0, 5]
Azimutale Ausdehnung ϕ ∈ [0, 2π]
Innen AXIS
Außen NOSLIP
Verfahren MODIFIED_EULER
Ordnung 3
CFL-Zahl 0.4
Simulationszeit tsim = 100
Tabelle 3.2.: Zusammenfassung aller wichtigen Parameter des isentropen Vortex-Tests.

3.3. Numerische Tests 37
Die Grundidee ist hierbei, die durch die Rotation der Strömung entstehenden Zentrifugalkräfte
durch die Kraft des Druckgradienten auszugleichen, damit ein stationärer Zustand
erreicht werden kann. Normalerweise lässt sich außerdem eine Strömungsgeschwindigkeit
überlagern, sodass der Vortex durch das Rechengebiet transportiert wird. Dies ist in den
für uns interessanten Polarkoordinaten nicht sinnvoll, da ein Transport über die äußere
Grenze des Rechengebiets keine langfristige Beobachtung des quasi-stationären Zustands
zulässt. In kartesischen Koordinaten könnten stattdessen periodische Randbedingungen
angenommen werden, sodass ein Transport über den Rand hinaus möglich wird.
Seien nun p∞ der Hintergrunddruck, ρ∞ die Hintergrunddichte, T∞ die Hintergrundtemperatur
und u∞, v∞ die Hintergrundgeschwindigkeiten der freien Strömung. Es gelte:
p∞ = ρ∞ = T∞ = 1, (3.56)
u∞ = v∞ = 0. (3.57)
Zu dieser freien Strömung wird ein isentroper Vortex ohne Störung der Entropie (δS = 0)
hinzugefügt. Sei also:
δu
δv
= β
2π exp
1 − r 2
2
−y
x
, (3.58)
(γ − 1) β2
δT = −
8γπ2 exp 1 − r 2 . (3.59)
Dabei ist β = 5 die Vortexstärke, γ = 1.4 das Verhältnis der spezifischen Wärmen und
r 2 = x 2 + y 2 . Aus den Zusammenhängen
ρ = ρ∞ + δρ, (3.60)
u = u∞ + δu, (3.61)
v = v∞ + δv, (3.62)
T = T∞ + δT, (3.63)
ρ = p
.
T
(3.64)
und der isentropen Bedingung für ein ideales Gas p/ρ γ = 1 lassen sich nun die konservativen
Variablen angeben:
ρ = T 1/(γ−1)
= (T∞ + δT ) 1/(γ−1)
(γ − 1) β2
= 1 − exp
8γπ
1 − γ 2 1/(γ−1)
, (3.65)
ρu = −ρ β
2π exp
1 − r2 , (3.66)
2

38 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
ρv = ρ β
2π exp
1 − r 2
2
, (3.67)
p = ρ γ , (3.68)
E = p 1
+
γ − 1 2 ρ u 2 + v 2 . (3.69)
Für diesen numerischen Test muss die Energiegleichung gelöst werden. Diese steht uns allerdings
bei den Variablen mit Inertialdrehimpulstransport nicht zur Verfügung. Deshalb
wird eine neue Variante des Tests vorgeschlagen, in dem der durch die Isentropie geforderte
Druck durch eine jeweilige lokale Schallgeschwindigkeit erzeugt wird. Wir nehmen
lokale Isothermie an und setzen dann für die Schallgeschwindigkeit:
cs =
p
. (3.70)
ρ
Dies erfüllt die Gleichgewichtsbedingung solange der stationäre Zustand erhalten bleibt.
Wir verwenden das lokal isotherme Gleichungssystem mit Inertialdrehimpulstransport
auf einem polaren Gitter mit einer radialen Ausdehnung von Null bis Fünf und den
Azimutal gemittele Oberflaechendichte Σ / Σ0
1.03
1.02
1.01
1.00
0.99
t = 0
t = 20
t = 40
t = 60
t = 80
t = 100
0.98
0 1 2 3 4 5
Radius r
Abbildung 3.3.: Azimutal gemittelte, radiale Dichtverteilung des isentropen Vortex. Die
Abweichungen zu der Anfangsdichte beträgt weniger als 3 %.

3.3. Numerische Tests 39
oben definierten Anfangsbedingungen. Zudem begeben wir uns in das rotierende Bezugssystem
mit der Winkelgeschwindigkeit Ω = 1, was knapp unterhalb der maximalen
Rotationsgeschwindigkeit des Wirbels im Inertialsystem liegt. Außen wird die NOS-
LIP-Randbedingung verwendet, sodass es keinen Gradienten zwischen der azimutalen
Geschwindigkeit am Rand und der letzten Zelle im Rechengebiet gibt. Reduktion der
Rotationsgeschwindigkeit des Bezugssystems auf Null liefert wieder reflektierende Randbedingungen.
Allerdings führen diese im rotierenden Bezugssystem auch ohne Viskosität
zu Störungen am Rand.
Abbildung 3.3 zeigt die azimutal gemittelte, radiale Dichteverteilung zu verschiedenen
Zeiten. Die stationäre Lösung bleibt gut erhalten und der mittlere Gesamtdrehimpuls
ist dabei 〈l〉 = 1 ± 3.16 · 10 −15 . Das Verfahren respektiert ohne weitere Quellterme die
Inertialdrehimpulserhaltungseigenschaften der Gleichungen.
3.3.2. Keplersche Scheibe
Als weiteren Test der Erhaltungseigenschaften der Variablen mit Inertialdrehimpulstransport
betrachten wir ein einfaches System aus einer um ein Zentralobjekt keplersch rotierenden
Scheibe. Das Setup entspricht nach Entfernung des Satelliten und der Wellendämpfungszonen
dem der Vergleichsstudie im Abschnitt 4. Eine physikalische Viskosität
wird nicht aktiviert. Von diesem Setup erwarten wir trotz dem gravitativen Quellterm
(numerisch) exakte Inertialdrehimpulserhaltung, da die Gravitation nur in Richtung der
radialen Koordinate wirkt und damit keinen Quellbeitrag in azimutaler Richtung liefert.
Abbildung 3.4 zeigt die azimutal gemittelte, radiale Dichteverteilung nach verschiedenen
Umläufen (beim Radius Eins) der Scheibe. Man sieht, dass die Lösung in der gesamten
Scheibe gut erhalten bleibt. Nur am Innenrand entsteht eine stetig anwachsende Massenanhäufung.
Ein ähnlicher Effekt mit wesentlich geringerer Amplitude ist auch am
äußeren Rand des Rechengebiets zu beobachten. Die Stärke dieser Störungen ist stark
von dem verwendeten Limiter abhängig. Daher könnte die sichtbaren Massentransporte
ein Effekt der numerischen Viskosität sein, da diese je nach Limiter stark variieren kann.
Die Wirkung der numerischen Viskosität unterscheidet sich nicht von einer physikalischen
Viskosität, sodass es zu Massen- und Drehimpulstransport kommen kann.
Der Anfangsinertialdrehimpuls in der Scheibe bleibt dabei auf Maschinengenauigkeit erhalten.
Der Mittelwert des normalisierten Inertialdrehimpulses lautet:
〈l〉 = 1.00 ± 6.29 · 10 −15 . (3.71)

40 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
disk.f90
Physik
Flüsse
Gitter
Randbedingung
Zeitintegrator
Zentralmasse M = 1
Längeneinheit a = 1
Zeiteinheit P0 = 2π a 3 / (GM)
Flaring β = 0.05
Dichte Σ0 = 2 · 10 −3 · M/ πa 3
Radialgeschwindigkeit vr,0 = 0
Azimutalgeschwindigkeit vϕ,0(r) = 1 − β 2 GM/r 3
Modul EULER2D_LOCISOIAMT
Rotationsgeschwindigkeit Ω = GM/a 3
Schallgeschwindigkeit cs(r) = β GM/r
Einheiten GEOMETRICAL
Rekonstruktionsordnung LINEAR
Variablen PRIMITIVE
Limiter MONOCENT
θ = 1.3
Geometrie POLAR
Typ MIDPOINT
Auflösung Nr × Nϕ = 100 × 8
Radiale Ausdehnung R ∈ [0.4, 2.5]
Azimutale Ausdehnung ϕ ∈ [−π, π]
Innen NOSLIP
Außen NOSLIP
Verfahren MODIFIED_EULER
Ordnung 3
CFL-Zahl 0.3
Simulationszeit tsim = 1000P0
Tabelle 3.3.: Zusammenfassung aller wichtigen Parameter des keplerschen Scheiben Test.
3.3.3. Pringle Scheibe
Um uns von dem korrekten Verhalten einer viskosen Simulation zu überzeugen, prüfen
wir das Verfahren mit dem von Pringle (1981) eingeführten Test. Das Problemsetup sieht
eine deltaförmige Dichtestörung in einer keplersch rotierenden Scheibe vor, die durch die
Wirkung einer konstanten kinematischen Viskosität in eine gaußähnliche Kurve übergeht,
die nach und nach flacher und breiter wird. Pringle konnte für dieses Problem
eine analytische Lösung angeben, gegen die wir unser Verfahren testen können. Dieser
Test wird auch von Paardekooper & Mellema (2006) verwendet, um die Funktionalität

3.3. Numerische Tests 41
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
P = 0
P = 30
P = 50
P = 100
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
Abbildung 3.4.: Azimutal gemittelte, radiale Dichtverteilung der keplersch rotierenden
Scheibe. Am Innenrand kommt es zu deutlichen Massenansammlungen,
welche mit der Zeit anwachsen. Im restlichen Rechengebiet bleibt die
Dichteverteilung erwartungsgemäß konstant.
für Planet-Scheibe-Wechselwirkungen zu testen. Wir gehen also von einer isothermen,
infinitesimalen dünnen, rotationssymmetrischen und keplersch rotierenden Scheibe mit
konstanter kinematischer Viskosität ν aus. Mit der Zentralmasse M ergibt sich dann für
die Azimutalgeschwindigkeit:
Die Anfangsdichteverteilung lautet:
GM
vϕ = . (3.72)
r
Σ0 = 1
2π · δ (r − r0) . (3.73)

42 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
In unseren Einheiten lautet die Dichteverteilung dann (Paardekooper & Mellema, 2006;
Pringle, 1981):
Σ (χ, τ) = 1
1
χ− 4 exp −
πτ
1 + χ2
I 1
τ
4
2χ
. (3.74)
τ
I 1/4 ist die modifizierte Besselfunktion erster Art der Ordnung 1/4, χ der dimensionslose
Radius und τ = 12νt die dimensionslose Zeit. Da in der Simulation kein infinitesimaler
dünner Kreisring für die Deltadistribution darstellbar ist, startet sie nicht zum Zeitpunkt
τ = 0, sondern approximiert die Anfangsbedingung mit der analytischen Lösung bei
τ = 0.01. Dafür wird eine Approximation der Besselfunktion verwendet. Der genaue
Ausdruck wird im Anhang A.4 hergeleitet. Die radiale Auflösung muss so groß gewählt
werden, dass das Maximum durch einige Zellen aufgelöst werden kann.
Das Testergebnis und die analytische Lösung ist in Abbildung 3.5 dargestellt. Es wird
eine sehr gute Übereinstimmung erreicht. In der Nähe des Innenrandes kommt es zu
leichten Abweichungen.
Oberflächendichte Σ
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
τ =0.01
τ =0.03
τ =0.05
τ =0.11
τ =0.21
0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
χ
Abbildung 3.5.: Ergebnis des Pringle Tests (jeder zehnte Datenpunkt ist mit einem Kreis
markiert) im Vergleich mit der analytischen Lösung (durchgezogene Linien).

3.3. Numerische Tests 43
pringle.f90
Physik
Flüsse
Gitter
Randbedingung
Viskosität
Zeitintegrator
Zentralmasse M = 1/G
Simulationsdauer τ = 0.2
Anfangszeitpunkt τ0 = 0.01
Reynoldszahl ℜ = 10000
Machzahl Ma = 100
Hintergrundsdichte ρ∞ = 10 −20
Modul EULER2D_ISOIAMT
Rotationsgeschwindigkeit Ω = 1
Schallgeschwindigkeit cs = 1/Ma
Rekonstruktionsordnung LINEAR
Variablen PRIMITIVE
Limiter MONOCENT
Limiter-Parameter θ = 1.5
Geometrie POLAR
Typ MIDPOINT
Auflösung Nr × Nϕ = 500 × 1
Radiale Ausdehnung R ∈ [0.2, 2]
Azimutale Ausdehnung ϕ ∈ [−π, π]
Innen NO_GRADIENTS
Außen NO_GRADIENTS
Modell PRINGLE
Konstante ν = 1/ℜ
Verfahren MODIFIED_EULER
Ordnung 3
CFL-Zahl 0.4
Simulationszeit tsim = τ · ℜ/12
Tabelle 3.4.: Zusammenfassung aller wichtigen Parameter des Pringle Tests.

4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe
Wechselwirkung
Da im Verlauf der letzten 15 Jahre klar wurde, dass die Ergebnisse von Planet-Scheibe
Wechselwirkungen sehr empfindlich gegenüber korrekter Verwendung von numerischen
Methoden sind, wurde von de Val-Borro et al. (2006) eine Vergleichsstudie durchgeführt.
Gerade die Berechnung der Drehmomente auf den Planeten und damit die Migrationsrate
und sogar Orientierung können durch unkorrekte Verfahren verfälscht werden. Da
gewöhnliche numerische Tests unzureichend sind, um alle notwendigen Anforderungen
an ein Simulationsprogramm zu testen, ist es seitdem üblich, die Simulationen aus de
Val-Borro et al. (2006) bei der Implementierung neuer Verfahren (zum Beispiel Mudryk
& Murray (2009), Paardekooper & Mellema (2006)) zu verwenden. Im Gegensatz zu
gewöhnlichen numerischen Tests liegt jedoch weder eine analytische Lösung, noch ein
Gleichgewichtszustand vor. Daher müssen die Ergebnisse mit denen von de Val-Borro
et al. (2006) verglichen werden.
4.1. Problembeschreibung
Im Folgenden sind die Parameter der Vergleichsstudiensimulationen zusammengefasst.
Eine ausführliche Beschreibung ist zum Beispiel in de Val-Borro et al. (2006) zu finden.
Wir betrachten eine infinitesimale dünne Scheibe mit einem Zentralobjekt der Masse M⋆
und einem Satelliten der Masse ms. Der Abstand der beiden Objekte betrage a = 1. Seien
nun Masse und Entfernungen dimensionslos, sodass in geometrischen Einheiten gilt:
Für das Massenverhältnis
G (M⋆ + ms) = a = 1. (4.1)
q =
ms
M⋆ + ms
45
(4.2)
verwenden wir 10 −3 oder 10 −4 , was ungefähr dem Massenverhältnis zwischen Sonne und
Jupiter, beziehungsweise Sonne und Neptun entspricht.
Motiviert durch das Modell der minimalen Masse des solaren Nebels (engl. minimum mass

46 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
planeteu.f90
Physik
Flüsse
Gitter
Randbedingung
Planet
Massenverhältnis q ∈ 10 −3 , 10 −4
Viskosität ν ∈ 0, 10 −5
Längeneinheit a = 1
Zeiteinheit P0 = 2π a 3 / (GM)
Flaring β = 0.05
Dichte Σ0 = 2 · 10 −3 · M/ πa 3
Radialgeschwindigkeit vr,0 = 0
Azimutalgeschwindigkeit vϕ,0(r) = 1 − β 2 GM/r
Modul EULER2D_LOCISOIAMT
Rotationsgeschwindigkeit Ω = Gm⋆/a 3
Schallgeschwindigkeit cs(r) = β Gm⋆/r
Einheiten GEOMETRICAL
Rekonstruktionsordnung LINEAR
Variablen PRIMITIVE
Limiter MINMOD
Geometrie POLAR
Typ MIDPOINT
Auflösung Nr × Nϕ = 128 × 384
Radiale Ausdehnung R ∈ [0.4, 2.5]
Azimutale Ausdehnung ϕ ∈ [−π, π] + π/Nϕ
Innen NOSLIP
Außen NOSLIP
Große Halbachse a = 1.0
Masse ms = q
Exzentrizität e = 0
Glättungsparameter ɛ = 0.6H = 0.6 (β · a)
Anschaltverzögerung τ = 5P0
Stern Masse m⋆ = 1 − q
Wellendämpfung
Zeitintegrator
Innen r0 = 0.5a
Außen r1 = 2.1a
τ0 = 2π · (0.4a) 3 /(Gm⋆)
τ1 = 2π · (2.1a) 3 /(Gm⋆)
Verfahren MODIFIED_EULER
Ordnung 3
CFL-Zahl 0.75
Simulationszeit tsim = 500P0
Tabelle 4.1.: Zusammenfassung aller wichtigen Parameter der Planet-Scheibe-Wechselwirkungsvergleichssimulationen.

4.1. Problembeschreibung 47
solar nebula, kurz MMSN, Hayashi (1981); Weidenschilling (1977)) soll die konstante
Anfangsdichte Σ0 folgender Gleichung genügen:
πa
Σ0
2
M⋆
= 0.002. (4.3)
Die Simulationen werden im rotierenden Schwerpunktssystem durchgeführt, damit die
beiden Punktmassen still stehen und deren Potential konstant ist, wie bereits in 2.4
beschrieben. Seien r⋆ und rs die Positionen der Komponenten im rotierenden Schwerpunktssystem,
dann lauten deren Gravitationspotentiale:
Ψ⋆ (r) = − GM⋆
, (4.4)
|r − r⋆|
GMs
Ψs (r) = −
(r − rs) 2 + ɛ2 . (4.5)
ɛ ist der in Abschnitt 3.2.4 eingeführte Glättungsparameter. Er wird zu ɛ = 0.6H mit
60 % der Skalenhöhe am Ort des Satelliten festgelegt. Die Simulationen sollen mit einer
konstanten kinematischen Viskosität von ν = 10 −5 in diesen Einheiten oder ohne physikalische
Viskosität durchgeführt werden. Die radiale Ausdehnung der Scheibe erstreckt
sich über
und die Standardauflösung beträgt
R = [0.4, 2.5]a (4.6)
Nr × Nϕ = 128 × 384 (4.7)
in einem polaren Gitter. Dabei sollte sich der Satellit etwa in einer Zellmitte befinden.
An den Rändern sind reflektierende Randbedingungen mit Wellendämpfungszonen (Abschnitt
3.2.4) in den Bereichen von [0.4, 0.5] und [2.1, 2.5] zu wählen. Die reflektierenden
Randbedingungen sorgen für ein geschlossenes Rechengebiet ohne Massenflüsse über die
Ränder. Da Wellenreflektionen unerwünscht sind, um die stationären Strukturen im inneren
des Rechengebietes nicht zu stören, werden zur Unterdrückung dieser die Wellendämpfungszonen
eingesetzt. Als Zeitkonstante τ wird die Orbitdauer an der jeweiligen
inneren Grenze, also zum eigentlichen Rechengebiet hin, verwendet. Um Störungen durch
das plötzliche Hinzufügen des Satellitenpotentials zu vermeiden, wird dieses durch eine
Skalierungsfunktion langsam während der ersten fünf Perioden aktiviert. Wenn P0 = 2π
die Periodendauer des Planeten ist, skalieren wir das Potential also mit
Ψs ∝
π t sin 2 5P für t < 5P
1 sonst
(4.8)

48 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
4.2. Drehimpulserhaltung
Es ist durch Kley (1998) bekannt, dass bei Verwendung eines rotierenden Bezugssystems
der Coriolis- und der Zentrifugalkraft besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden
muss. Werden diese nicht sorgfältig in das numerische Schema eingearbeitet, können
große Fehler in der Drehimpulserhaltung entstehen. Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten
ein rotierendes Bezugssystem zu verwenden. Zunächst kann man die im rotierenden
Bezugssystem entstehenden Scheinkräfte in einem Quelltermmodul implementieren und
mit anderen externen Kräften, wie zum Beispiel Gravitation, berechnen. Für EULER2D
Geometrien war dies bisher die einzige in FOSITE implementierte Methode. Der Inertialdrehimpuls
wird dadurch aber nicht erhalten. Um diese Methode zu verbessern, kann
die Integration der Quellterme wohl balanciert vorgenommen werden. Dabei werden stationäre
Zustände (wie die Keplerrotation) erhalten. Dies hat jedoch den Nachteil, dass
Abbildung 4.1.: Oberflächendichte der Jupitersimulation unter Verwendung des Variablensatzes
mit Koordinatenimpulsen nach 100 Umläufen. Während die
groben Strukturen, wie die Spiralarme und das Gap immer noch sichtbar
sind, sind die Ränder des Gaps deutlich weicher als im Vergleichstest von
de Val-Borro et al. (2006). Ebenfalls sind keine Massenansammlungen an
den Lagrangepunkten erkennbar.

4.2. Drehimpulserhaltung 49
nicht stationäre Zustände, wie z.B. in der Nähe des Planeten, an denen es zu rotierenden
Strömungen in der zirkumplanetaren Scheibe kommt, ebenfalls auf solche stationäre
Zustände gezwängt werden. Dies verschlechtert an solchen Stellen die Transporteigenschaften
des Verfahrens. Eine solche Methode der stationären Extrapolation wird zum
Beispiel von Paardekooper & Mellema (2006) verwendet. Um in der Nähe des Planeten
stationäre Zustände zuzulassen, wird hier die einfache, nicht extrapolierende Quelltermintegration
verwendet. Es ist denkbar, dass diese Methode andere, nicht stationäre
Strömungen in der Scheibe unterdrückt (z.B. Präzession um die Lagrange-Punkte L4 und
L5). Außerdem wäre diese Methode auch kaum auf turbulente und selbstgravitierende
Scheiben anwendbar, welche für die Planetenentstehung durch gravitative Instabilitäten
von Interesse sind.
Wir verwenden daher eine andere Methode, bei der die Flussvektoren und konservativen
Variablen so verändert werden, dass wir statt des azimutalen Koordinatenimpulses
den Inertialdrehimpuls verwenden. Dabei fließen die Scheinkräfte des rotierenden Bezugssystems
direkt mit in die Transportterme ein und werden nicht mehr als separates
Quelltermmodul behandelt. Die genauen Gleichungen wurden bereits in Abschnitt 3.1.4
hergeleitet. Eine ähnliche Lösung für das Problem wird unter anderem auch von Kley
(1998) oder Mudryk & Murray (2009) verwendet. Keines dieser Verfahren löst jedoch
den Satz hydrodynamischer Gleichungen in einem einzigen Schritt ohne Verwendung von
Techniken wie dem Operatorsplitting, also dem schrittweisen Lösen einzelner Gleichungen
und Dimensionen hintereinander.
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
P = 10
P = 30
P = 100
P = 300
P = 500
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
Abbildung 4.2.: Azimutal gemittelte Oberflächendichte unter Verwendung des Variablensatzes
ohne Drehimpulserhaltung

cle penetration, and this tends to make SPH codes quite dissipative.
Resolution can also be a problem in certain calculations. For example,
in the disc calculations presented here, most of the particles
are going to be in the outer portions of the disc, and not doing very
much. Also, the details of the gap are of most interest, and SPH will
have fewer particles there.
4.2.1 The SPHTREE code
50 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
This code owes its name to the tree used to locate particle neighbours.
The calculations presented here used 250 000 particles for the
disc, with the star and planet being point masses. SPH particles that
move to within an accretion radius of either the star or the planet are
accreted (Bate, Bonnell & Price 1995) but in the case of the planet,
once the initial ramp up is complete, we do not allow its mass to
increase. We use the standard SPH viscosity (e.g. Monaghan 1992),
with α = 0.1 and β = 0.2, but also can include the Balsara switch
(Balsara 1995) to reduce the shear component of the artificial viscosity
(see also Lodato & Rice 2004). A huge saving in computational
time is obtained by using individual particle time-steps (Bate et al.
1995) with the time-steps for each particle limited by the Courant
condition, a force condition (Monaghan 1992) and a Runge–Kutta
integrator accuracy condition.
4.2.2 The PARASPH code
PARASPH is a parallelized (using MPI) smooth particle hydrodynamics
code. It follows the approach of Flebbe et al. (1994), solving the
Navier–Stokes equation including the entire viscous stress tensor. In
contrast to the usual approach of an artificial viscosity of Monaghan
& Gingold (1983), we use an artificial bulk viscosity. This allows
for an accurate treatment of the physical shear viscosity and for
easy comparison to the grid code results, since a constant kinematic
viscosity coefficient can be modelled. Additionally, we use
the XSPH device to prevent particles from mutual penetration (see
e.g. Monaghan 1989). Variable smoothing lengths keep the num-
8 Although it is possible to let particle masses vary in SPH, it is not entirely
trivial to do so.
C○ 2006 The Authors. Journal compilation C○ 2006 RAS, MNRAS 370, 529–558
torque acting on the planet. Several basic properties of the disc–
planet system are discussed based on the agreement between the
codes. In Section 5.5, we study how the difference between the
codes changes as the numerical resolution increases.
The comparative surface density and vortensity maps are shown
for each scheme in the order they appear in Section 4. Note that
TRAMP-PPM and TRAMP-VANLEER were only run for the inviscid setups,
while SPHTREE and PENCIL were run for the viscous cases (see
Table 2). Fig. 1 shows the legend used in the surface density profiles,
mass and torque evolution plots in this section. Different types of
algorithms are plotted with different line styles.
5.1 Inviscid Jupiter
A comparative study of disc–plan
First, we consider the case of a Jupiter embedded in an inviscid
disc. The planet fixed at a given radius opens a deep gap in the disc
as predicted by standard theory (Lin & Papaloizou 1986a; Ward &
Figure 6. Surface density azimuthal slic
orbits for the inviscid Jupiter calculations.
is located at azimuth ∼−1/3and the leadin
in the normalized azimuthal units.
Figure 1. Common legend for the comparative plots in Section 5. Upwind
codes are represented by solid lines, shock-capturing codes by dotted lines
and SPH codes by dashed lines.
Figure 4. The upper panel shows the normalized surface density profiles
Abbildung 4.3.: Oben: Azimutal gemittelte Dichteverteilungen der verschiedenen Simu-
averaged azimuthally over 2π after 100 orbits for the inviscid Jupiter runs.
In the lower panel,
lationen
the differences
aus de
between
Val-Borro
each model
et al.
and
(2006).
the mean
Unten:
value
Abweichungen von der
are shown in logarithmic mittleren scale Dichteverteilung as log(/M disc) −〈log(/M aller Simulationen.
disc)〉, where
the angle brackets represent the mean. The surface density has been divided
16 L. R. Mudryk, N. W. Murray
by the disc mass at 100 periods to remove the dependence on the mass loss
due to the boundary conditions.
Figure 7. Evolution of the disc mass-loss
the inviscid Jupiter simulations.
interaction with the planetary wakes.
resolution in the density snapshots to
and evolution. The mean value decre
Abbildung 4.4.: Vergleich von Planet-Scheibe Wechselwirkungssimulationen until thebei point 100 when undthe
gap is complet
Figure 14: Azimuthally averaged density after 100 orbits (left) and 300 orbits (right). Runs with standard resolution (fine lines) show progressive numerical diffusion
as in Figure 13. High resolution runs 300 (heavyPlanetenumläufen lines) for the two alternate choices unter of solution Verwendung variables show markedly verschiedener less diffusion. constant Variablensätze up to the end of the simula
Figure 5. Surface (Mudryk density profiles & Murray, opposite 2009).
to the planet position after torque oscillations on the planet migra
100 orbits for the inviscid Jupiter runs.
counting for them as source terms. We perform a comparison ulation. When run at higher resolution, a free moving they showplanet. profiles much
among three simulations that use the solution sets (ρ, ρur, H), closer to that of the standard run. The Comparison torque with fromFigure within 11 the Roche
(ρ, ρur, H/r), and and FLASH-AG (ρ, ρur, ρuθ). codes The which first ofuse these shock-capturing sets uses the suggests algorithms. that theOther numerical viscosity ferences usingbetween the alternate thesolution codes. The den
inertial angular momentum as the choice of angular variable, the sets (ρ, ρur, H/r) or (ρ, ρur, ρuθ) is at least an order of mag-
codes such as NIRVANA-GDA, NIRVANA-GD and RH2D show a smaller the planet location which depends on
second uses the inertial angular velocity as the choice of angular nitude higher. This interpretation of the results, which suggests
variable and mass the third lossuses of about the corotating 3 per cent. frame The (local) outer angular disc mass that decreases the alternate slowly solution variables code, arealthough simply more the numerically total mass inside th
velocity asand the choice in some of angular codes variable. like JUPITER We argue it remains that thealmost dif- constant diffusive, differs duringfrom 200that
argued planet by Kley is not (1998) located in a similar in a cell’s corner
ference in the orbits. results During caused the by the first choice fewof orbits, solutionwhen variables the gapanalysis. is not completely asymmetries in the mass distribution a
does not reflect cleared, differences thereinisaccuracy, material but flowing rather differences from thein outer to Figure the 15 inner shows disc the total angular the region momentum closeintothe the simula- planet is not we
the amount of numerical viscosity that is present in each of the
simulations. perhaps due to the artificial viscosity. The inner tiondisc as a function mass shows of time. The standard In the solution following set loses discussion, angular we comp
a strong decrease, especially in the shock-capturing codes. Despite contribution from the Roche lobe.
In Figure 13 we compare the density after 20, 100 and 300
orbits for the thestandard spreadrun in mass (whichloss makes foruse different of the fast-advec- codes, the surface density does Fig. 8 shows the profiles of the d
tion algorithm notand show which strong uses the variations inertial angular between momentum the codes. as
excluding the Hill sphere with resp

4.2. Drehimpulserhaltung 51
Wir betrachten zunächst die Ergebnisse aus Rechnungen mit den nicht explizit drehimpulserhaltenden
Gleichungen nach 100 Perioden in Abbildung 4.1 mit denen aus dem
Vergleichstest von de Val-Borro et al. (2006, S. 540). Die groben Strukturen der Simulationen
ähneln sich. In beiden sind das Gap und die Spiralarme zu erkennen. Allerdings
sind die Lagrangepunkte in unseren Simulation nicht sichtbar beziehungsweise hat
sich dort keine Masse angesammelt. Um eine bessere quantitative Aussage zu treffen,
betrachten wir als nächstes die azimutal gemittelte, normierte Dichteverteilung in Abbildung
4.2. Wenn wir diese mit den Ergebnissen aus der Vergleichsstudie in Abbildung
4.3 vergleichen, wird zwar in etwa die gleiche Gaptiefe erreicht, aber die Form des Gaps
unterscheidet sich wesentlich. Die Ränder der Lücke haben einen kleineren Dichtegradienten
und die Dichteansammlungen an diesen sind überhaupt nicht sichtbar. Die fehlende
innere Dichteansammlung fällt vermutlich recht schnell zu kleineren Radien ein und wird
dort durch die Wellendämpfungszonen aus dem Rechengebiet entfernt. Diese dämpfen
Azimutalgeschwindigkeit und Massendichte auf ihre Anfangswerte, sodass effektiv Masse
und Drehimpuls vernichtet oder erzeugt werden können.
Betrachtet man die Drehimpulserhaltung für dieses System in Abbildung 4.5, erkennt
man, dass bereits nach 100 Umläufen über 15 % des ursprünglich vorhandenen Drehimpulses
vernichtet wurden. Der Drehimpulsverlust muss jedoch nicht nur durch numerische
Viskosität entstehen, sondern auch die Wellendämpfungsränder sind mitverantwortlich.
Der Verdacht, dass die Drehimpulserhaltungseigenschaften dieses Verfahrens unzureichend
sein könnten, erhärtet sich bei Betrachtung von Abbildungen 4.4 und 4.6 aus
Mudryk & Murray (2009). Sie haben zum Test ihres neuen Simulationsprogramms verschiedene
Planet-Scheibe Wechselwirkungstests durchgeführt, wobei sie die verwendeten
Variablensätze variieren. Es wurden verwendet:
1. Inertialdrehimpuls (engl. absolute angular momentum): ρr (uϕ + rΩ)
2. Inertialgeschwindigkeit (engl. absolute angular velocity): ρ (uϕ + rΩ)
3. Lokale Geschwindigkeit (engl. local velocity): ρuϕ
Die Unterscheidungen in den Abbildungen 4.4 und 4.6 zwischen „Pure TVD Run“ und
„Fast-Advection Run“ beziehen sich auf numerische Verfahren zur Berechnung der Lösungen.
„Pure TVD“ benötigt mehr Zeitschritte, ist dafür weniger dissipativ, während
„Fast-Advection“ ein schnelles, aber stärker dissipatives Verfahren darstellt. Das von uns
verwendete Verfahren ist am ehesten mit dem „Pure TVD“ Verfahren zu vergleichen.
Genauere Informationen zum „Fast-Advection“, meist FARGO-Verfahren genannt, gibt
es in Masset (2000).
Der dritte Variablensatz „lokale Geschwindigkeit“ entspricht dem älteren Verfahren mit
Koordinatenimpulsen von FOSITE, das Inertialdrehimpulsverfahren dem im Zuge dieser
Arbeit neu implementierten Verfahren.
Vergleicht man nun die azimutal gemittelte Dichtestruktur in Abbildung 4.4 verschiedener
konservativer Variablensätze mit der Grafik des älteren FOSITE Verfahrens, ähneln

52 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Drehimpuls l / l0
1.05
1.00
0.95
0.90
eraged density after 100 orbits (left) and 300 orbits 0.85(right).
Runs with standard resolution (fine lines) show progressive numerical diffusion
ution runs (heavy lines) for the two alternate choices of solution variables show markedly less diffusion.
0.80
source terms. We perform a comparison ulation. When run at higher resolution, they show profiles much
ons that use the solution sets (ρ, ρur, 0.75 H),
, ρur, ρuθ). The first of these sets uses the
ntum as the choice of angular variable, the
0.70
al angular velocity as the choice of angular
uses the corotating frame (local) angular
closer to that of the standard run. Comparison with Figure 11
suggests that the numerical viscosity using the alternate solution
w/ vis.
sets (ρ, ρur, H/r) or (ρ, ρur, ρuθ) is at least an order of magnitude
higher. This interpretation of the results, which suggests
thatthe w/ alternate vis. solution variables are simply more numerically
of angular variable. We argue that the0.65 dif0
caused by the choice of solution variables
diffusive, 100 differs from that 200 argued by300 Kley (1998) in400a similar
analysis.
Zeit P / P0
500
ences in accuracy, but rather differences in
ical viscosity that is present in each of the
Figure 15 shows the total angular momentum in the simulation
as a function of time. The standard solution set loses angular
Abbildung 4.5.: Drehimpulserhaltung ohne explizite Erhaltungsgleichungen der viskosen
(„w/vis.“) und nicht-viskosen Jupiter- und Neptunsimulationen.
ompare the density after 20, 100 and 300
d run (which makes use of the fast-advecich
uses the inertial angular momentum as
against one run which does not make use
algorithm, and against two additional runs
mplement the two alternate choices of anstandard
run using the fast-advection rous
fewer iterations to reach 100 orbits and
ter. While all simulations properly capture
iral arms, the overall level of detail present
and number of vortices present decrease in
This observation suggests that the use of
orithm introduces extra diffusion into the
the two alternate choices of angular varidiffusion.
mpare results for the azimuthally averaged
ion after 100 and 300 orbits. The progression
caused by the FARGO algorithm and
hoices of solution vectors is apparent. Also
rnate choices of solution vectors are results
at resolution Nr×Nθ = 768×1252. These
s suggest that the shallow
Abbildung
gap profile seen
4.6.: Inertialdrehimpulserhaltung bei Verwendung unterschiedlicher Varia-
Figure 15: Conservation of angular momentum measured relative to the initial
nertial and corotating angular velocities is blensätze und Verfahren (Mudryk & Murray, 2009).
amount present in the entire disk. Heavy lines show results from the high reso-
iffusion and numerical viscosity in the simlution runs with the alternate solution variables.

4.2. Drehimpulserhaltung 53
die Berechnungen mit lokaler Geschwindigkeit am ehesten den eben diskutierten Berechnungen.
Hier gibt es auch einen Einbruch der Dichte an den Rändern des Gaps. Durch
Rechnungen höherer Auflösungen wird das Verhalten verbessert. Dies lässt als Ursache
für den Einbruch eine hohe numerische Viskosität vermuten. Aber selbst bei den Ergebnissen
höherer Auflösung erreicht der erste Variablensatz die größte Übereinstimmung
mit den Ergebnissen der Vergleichsstudie.
Abbildung 4.6 zeigt die Inertialdrehimpulserhaltung bei Verwendung verschiedener Variablensätze.
Der Verlust bei Verwendung von lokalen Geschwindigkeiten ist etwas kleiner
als bei unseren eigenen Simulationen, aber in der gleichen Größenordnung. Die Verwendung
von Inertialdrehimpuls als konservative Variable in Verbindung mit dem weniger
dissipativen Verfahren zeigt die besten Resultate. Vollständige Drehimpulserhaltung ist
nicht zu erwarten, da durch die gravitative Störung des Planeten und die Wellendämpfungszonen
Drehimpuls- und Massequellen bzw. -senken existieren.
Motiviert durch die von Mudryk & Murray (2009) vorgeschlagenen Verbesserungen einer
echten Inertialdrehimpulserhaltung haben wir ein solches Verfahren für FOSITE, wie
in Abschnitt 3.1.2 beschrieben wurde, implementiert. Die azimutal gemittelte Dichteverteilung
der Jupitersimulation in Abbildung 4.8 zeigt nun Dichteansammlungen an
Drehimpuls l / l0
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
w/ iamt
w/ iamt
0.65
0 100 200 300 400 500
Zeit P / P0
Abbildung 4.7.: Vergleich der Inertialdrehimpulserhaltung von Simulationen ohne explizite
Drehimpulserhaltung und bei Simulation mit dem Inertialdrehimpuls
als konservative Variable (engl. inertial angular momentum, kurz.
iamt).

54 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
P = 10
P = 30
P = 100
P = 300
P = 500
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
Abbildung 4.8.: Azimutal gemittelte Dichteverteilung der Jupitersimulation.
den Rändern des Gaps. Die Abbildung 4.7 zeigt die Drehimpulserhaltungseigenschaften
bei Verwendung des Variablensatzes mit Inertialdrehimpulstransport von der Jupitersimulationen
mit und ohne Viskosität im Vergleich mit dem alten Variablensatz. Die
Erhaltung ist nun besser als 2 % nach 100 Umläufen für die Simulation ohne Viskosität.
Für Simulationen mit Viskosität kann unabhängig von den verwendeten Variablen keine
Drehimpulserhaltung erwartet werden.
4.3. Drehmomente auf den Satelliten
Während die durch den Satelliten auf die Scheibe wirkenden Drehmomente durch die
Gravitation des Satelliten behandelt werden, vernachlässigt die Simulation das Drehmoment
von der Scheibe auf den Satelliten. Dieser rotiert auf einer festen Kreisbahn ohne
die Möglichkeit eingeräumt zu bekommen, auf eine andere Umlaufbahn zu wechseln. Das
Drehmoment T auf den Satelliten lässt sich direkt aus
T =
Vdisk
rs × FG dV (4.9)
berechnen, wobei rs der Vektor vom Koordinatenursprung zum Ort des Satelliten und
FG die Gravitationskraftdichte zwischen dem Satelliten und einem Massenelement in

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 55
Abkürzung Massenverhältnis q Viskosität ν
Nicht-viskoser Jupiter Jupiter 10 −3 0
Viskoser Jupiter Jupiter 10 −3 10 −5
Nicht-viskoser Neptun Neptun 10 −4 0
Viskoser Neptun Neptun 10 −4 10 −5
Tabelle 4.2.: Überblick über die Vergleichstestsimulationen.
der Scheibe ist. Da alle Gravitationskräfte in der Ebene der Scheibe liegen, ist nur die z-
Komponente des Drehmomentes von Null verschieden und wir erhalten nach de Val-Borro
et al. (2006):
Tzez = Gms
disk
Σ rs × (r − rs)
|r − rs| 2 + ɛ2 r dr dϕ. (4.10)
3/2
Es sei noch angemerkt, dass in den Drehmomentgrafiken von de Val-Borro et al. (2006)
nicht tatsächlich Tz dargestellt wird, so wie in der Veröffentlichung und auch hier definiert,
sondern Tz mit der auf Eins normalisierten Anfangsoberflächendichte (Diese Information
erhält man, wenn man auf der Projektwebsite 1 den genauen Term zur Berechnung des
Drehmomentes aufruft.), also eigentlich Tz / Σ0 zu sehen ist.
4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen
Zu dem Planet-Scheibe Wechselwirkungs-Vergleichstest gehören insgesamt vier verschiedene
Setups. Dies sind alle Kombinationen aus Jupiter oder Neptun Masseverhältnissen,
ohne oder mit physikalischer Viskosität. Alle vier Setups sind in der Tabelle 4.2
zusammengefasst. Im Folgenden sollen die Unterschiede und Gemeinsamkeiten dieser Simulationen
dargestellt werden, die auf den Planeten wirkenden Drehmomente, welche
maßgeblich für dessen Migration sind, bestimmt und die vorgenommenen Vereinfachungen
diskutiert werden.
4.4.1. Nicht-viskose Jupitersimulation
Zunächst betrachten wir den Fall des Massenverhältnises von Jupiter zu Sonne ohne physikalische
Viskosität. Ein solcher Planet auf einem festen Orbit sollte eine Lücke (engl.
„gap“) in der Scheibe öffnen (Lin & Papaloizou, 1986). Bei dieser Simulation ist die Dichte
im Gap nach 100 Perioden etwa eine Größenordnung niedriger als die Anfangsdichte.
Der Planet bildet zwei Spiralarme auf Grund der Lindbladresonanzen und differentiellen
Rotation aus, einen vorauseilenden Spiralarm in der inneren und einen hinterher
1 http://www.mps.mpg.de/data/outgoing/deval/comparison/index.html

56 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Abbildung 4.9.: Darstellung der Oberflächedichte nach 30 Umläufen. Oben für das Jupitermassenverhältnis,
Unten für das Neptunmassenverhältnis. Links ohne
Viskosität, Rechts mit Viskosität. Die Strukturen in den Neptunsimulationen
sind deutlich schwächer ausgeprägt als in den Jupitersimulationen.
gezogenen in der äußeren Scheibe. In unmittelbarer Nähe des Planeten kann eine Stoßregion
ausgemacht werden. Trifft ein korotierendes Fluidelement aus der Hufeisenregion
auf diese Stoßregion, wechselt dieses seine Bahn, sodass hinter dem Planeten eine Region
niedrigerer Dichte entsteht. Hierdurch wird nach und nach die Dichte im Gap gesenkt
(Korycansky & Papaloizou, 1996).
An den Orten der Lagrangepunkte L4, L5 sinkt die Dichte im Gap langsamer. So sind
diese in der Abbildung 4.9 noch deutlich sichtbar, während einer nach 100 Perioden in
Abbildung 4.10 bereits nichts mehr zu erkennen ist. Theoretisch sollte die Dichtestruktur
im Gap in beiden Richtungen vom Planeten aus gleich aussehen. Es ist aber zu beobach-

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 57
Abbildung 4.10.: Darstellung der Oberflächedichte nach 100 Umläufen. Oben für das Jupitermassenverhältnis,
Unten für das Neptunmassenverhältnis. Links
ohne Viskosität, Rechts mit Viskosität. Die Gaptiefe ist in den nichtviskosen
Simulationen tiefer als in deren viskosen Gegenstücken.
ten, dass die Dichte in dem Bereich vor dem Planeten schneller als hinter dem Planeten
sinkt, wie im Film A.5 zu erkennen ist. Dies führt auch dazu, dass der vor dem Planeten
liegende Lagrangepunkt 4 eher Masse verliert als der Lagrangepunkt 5.
Um ein quantitatives Bild von den Lagrangepunkten zu erlangen, ist in der Abbildung
4.11 die Dichte entlang der Mitte des Gaps nach 30, beziehungsweise 100 Planetenumläufen
aufgetragen. Der Planet befindet sich bei Null und ist als scharfes Maximum zu
erkennen. Bei ± π
3
≈ ±1.05 befinden sich die Lagrangepunkte L4 und L5. Der den Plane-
ten vorauseilende Lagrangepunkt L4 ist stärker ausgeprägt und besitzt nach 30 Umläufen
eine höhere Dichte als am Anfang der Simulation. Mit zunehmender Gaptiefe fällt auch

58 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Σ / Σ0
Σ / Σ0
10 1
10 0
10
−3 −2 −1 0
Azimut ϕ / (π/3)
1 2 3
−1
L4 L5
10 1
10 0
10 −1
/w vis.
/w vis.
10
−3 −2 −1 0
Azimut ϕ / (π/3)
1 2 3
−2
L4 L5
/w vis.
/w vis.
Abbildung 4.11.: Azimutaler Schnitt der normalisierten Dichteverteilung entlang des
Gaps nach 30 (oben) und 100 (unten) Umläufen. In den Jupitersimulationen
ist nur noch der Lagrangepunkt L4 sichtbar.

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 59
die Dichte an den Lagrangepunkten, sowie deren Kontrast über dem Hintergrund des
Gaps. Ein in den anderen Darstellungen unauffälliges Detail ist die niedrige Dichte in
unmittelbarer Nähe des Planeten. Hier sinkt die Dichte noch unter die mittlere Dichte
im Gap.
In Abbildung 4.12 ist die Dichte über dem Radius auf der dem Planeten gegenüberliegenden
Seite nach 100 Perioden aufgetragen. Das Gap zeigt keine zusätzliche zentrierte
Anhäufung. Da in diesem Fall nicht über den azimutalen Winkel gemittelt wurde, sind
auch die Masseanhäufungen der Spiralarme vor allem in der äußeren Scheibe zu erkennen.
Hier reichen sie bis auf das 1.5-fache der Anfangsdichte.
Die Gesamtmassen in Abbildung 4.13 der inneren und äußeren Scheibe zeigen trotz deutlich
geringerer Masse der inneren Scheibe, dass diese für einen größeren Massenverlust
verantwortlich ist als die äußere Scheibe. Der einzige Quellterm in der Kontinuitätsgleichung
kommt von den Wellendämpfungszonen, welche also die Ursache für den Massenverlust
sind.
Die Berechnung des Drehmoments von der Scheibe auf den Planeten nach Abschnitt 4.3
ist in Abbildung 4.13 dargestellt. Wie erwartet, ist der Beitrag der inneren Scheibe positiv
und der Beitrag der äußeren Scheibe negativ, sodass insgesamt ein negatives Drehmoment
auf den Planeten wirkt. Um aus diesen Drehmomenten die Migrationsrate abschätzen zu
Σ / Σ0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
/w vis.
/w vis.
Abbildung 4.12.: Radialer Schnitt der normalisierten Dichteverteilung auf der gegenüberliegenden
Seite des Planeten.

60 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Masse M / M 0
(T z / Σ 0 ) × 10 −6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 100 200 300 400 500
P / P0 200
0
200
400
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.13.: Zeitlicher Verlauf der normalisierten Scheibenmasse (oben) und des
Drehmomentes (unten) der inneren (grün), äußeren (rot) und gesamten
(schwarz) Scheibe der nicht-viskosen Jupitersimulation.

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 61
können, wird diese in Abbildung 4.14 über die Zeit integriert. Unter der Annahme, dass
dieser Beitrag zum Drehimpuls auch bei der Bahnänderung der Planeten gleich bleibt,
lässt sich der neue Abstand des Planeten zum Stern angeben. In diesem Fall würde der
Planet etwa um 30 % seines ursprünglichen Abstand zum Stern nach innen migrieren.
In Abbildung 4.15 ist die Drehimpulserhaltung sichtbar. Offensichtlich kommt es zu einem
Drehimpulsverlust von etwa 8 % nach 500 Planetenumläufen. In der Drehimpulsgleichung
kommen zwei Quellterme vor, die hierfür verantwortlich sein können. Dies sind
das Gravitationspotential des Planeten und die Wellendämpfungszonen. Der Beitrag des
Planetenpotentials ist in Abbildung 4.14 zu sehen. Wenn man dies mit dem absoluten
Verlust an Drehimpuls vergleicht, liegt der Beitrag des Planeten mehr als eine Größenordnung
unter den sichtbaren Verlusten und spielt keine maßgebliche Rolle. Für den Verlust
an Drehimpuls sind erneut die Wellendämpfungszonen verantwortlich, denn durch den
großen Massenverlust am inneren Rand der Scheibe geht gleichzeitig auch der von dieser
Masse transportierte Drehimpuls verloren. Außerdem führen nur geringe Massenverluste
am äußeren Rand zu vergleichsweise großem Drehimpulsverlust, da hier der Drehimpuls
pro Masseneinheit größer ist.
Drehimpuls ∆l × 10 −4
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Drehimpuls
Radius
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.14.: Migration von Jupiter ohne Viskosität. Zu sehen sind der Drehimpulsübertrag
auf den Planeten und der daraus resultierende neue Radius.
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Radius r

62 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Drehimpuls l / l0
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
w/ vis.
w/ vis.
0.65
0 100 200 300 400 500
Zeit P / P0
Abbildung 4.15.: Drehimpulserhaltung bei Verwendung des Variablensatzes mit Inertialdrehimpulstransport.
4.4.2. Viskose Jupitersimulation
Als nächstes betrachten wir das Setup mit dem Massenverhältnis von Jupiter zu Sonne
und einer konstanten kinematischen Viskosität von ν = 10 −5 . Das Gap ist nach 100
Umläufen schmaler als in der Simulation ohne Viskosität und die Ränder der Gapregion
gehen mit flacheren Flanken in den Rest der Scheibe über. Es erreicht bis dahin etwa
20 % der Anfangsdichte. Nach 30 Umläufen sind die Langrangepunkte in Abbildung 4.9
diesmal deutlich schwächer zu erkennen und sind nach 100 Umläufen in Abbildung 4.10
in logarithmischer Darstellung fast nicht mehr zu erkennen.
Auch der azimutale Schnitt entlang des Gapminimums in der Abbildung 4.11 zeigt, dass
die Lagrangepunkte weniger stark ausgeprägt sind als im Fall ohne Viskosität. Dafür sind
sie etwas breiter verteilt und die mittlere Dichte im Gap ist insgesamt höher.
Der Schnitt auf der gegenüberliegenden Seite des Planeten in Abbildung 4.12 offenbart
ebenfalls, dass das Gap in der viskosen Jupitersimulation etwas weniger stark ausgeprägt
ist als in dem viskositätsfreien Lauf. Außerdem sind die Dichteansammlungen an den
Rändern des Gaps schwächer. Gerade aber im Außenbereich der Scheibe gibt es eine sehr
genaue Übereinstimmung der Spiralarmpositionen und Intensitäten mit dem viskositätsfreien
Fall.
Abbildung 4.17 zeigt die Massenverluste der inneren und äußeren Scheibe. Insgesamt ist

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 63
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
P = 10
P = 30
P = 100
P = 300
P = 500
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
Abbildung 4.16.: Azimutal gemittelte Dichteverteilung der viskosen Jupitersimulation.
das Bild dem nicht-viskosen Fall sehr ähnlich. Der Verlust in der äußeren Scheibe ist etwas
größer als bisher, was den Gesamtverlust der Scheibe erhöht. Der Verlust in der inneren
Scheibe bleibt unverändert trotz der kleineren Masseansammlung an der Innenkante des
Gaps.
Das auf den Planeten wirkende Drehmoment zeigt eine deutliche Änderung gegenüber
der nicht-viskosen Rechnung. Abbildung 4.17 zeigt, dass in der frühen Entwicklung die
Drehmomente, welche durch die innere und äußere Scheibe wirken, denen in der nichtviskosen
Rechnung gleichen, aber die Dämpfung der Drehmomente geringer ist. Dadurch
erhält man nach 500 Umläufen ein betragsmäßig größeres Gesamtdrehmoment als bisher.
Integriert man dieses über die Zeit, erhält man den Drehimpulsübertrag auf den
Planeten. Dadurch erhält man die in Abbildung 4.18 sichtbare Migration. Der insgesamt
übertragene Drehimpuls ist um 60 % höher als in der nicht-viskosen Rechnung. Dies führt
zu einer nach innen gerichteten Migration des Planeten um 40 % seines ursprünglichen
Bahnradiuses.
Eine Betrachtung der Gesamtdrehimpulserhaltung zeigt einen etwa 3 % größeren Verlust
in der viskosen Rechnung. Der Verlauf ist ansonsten aber gleich.

64 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Masse M / M 0
(T z / Σ 0 ) × 10 −6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 100 200 300 400 500
P / P0 200
0
200
400
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.17.: Zeitlicher Verlauf der normalisierten Scheibenmasse (oben) und des
Drehmomentes (unten) der inneren (grün), äußeren (rot) und gesamten
(schwarz) Scheibe der viskosen Jupitersimulation.

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 65
Drehimpuls ∆l × 10 −4
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Drehimpuls
Radius
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.18.: Migration des Jupitermasse Planeten mit Viskosität. Zu sehen sind
der Drehimpulsübertrag auf den Planeten und der daraus resultierende
neue Radius.
4.4.3. Nicht-viskose Neptunsimulation
Als nächstes betrachten wir die Simulation mit dem Massenverhältnis q = 10 −4 ohne
physikalische Viskosität. Nach 100 Umläufen hat sich hier ebenfalls eine Lücke ausgebildet,
welche allerdings deutlich schwächer und schmaler als in den Jupitersimulationen
ausgeprägt ist. Die Dichte fällt hier nur auf 80 % der Anfangsdichte. Ebenso sind die
Spiralarme deutlich schwächer ausgeprägt. Eine Stoßregion in der Nähe des Planeten
ist nicht mehr auszumachen. Dies könnte die Ursache für die nur schwache Gapbildung
sein.
Die Neptunsimulation zeigt auf der gegenüberliegenden Seite des Planeten im radialen
Schnitt, zu sehen in Abbildung 4.12, ein flaches Gap mit weichen Übergängen an den
Kanten. Die Massenanhäufung am Innenrand des Gaps zeichnet sich genauso deutlich
von der Anfangsdichte ab, wie das Gap selber. Die Spiralarme heben sich kaum von der
Anfangsdichte ab.
In der logarithmischen Darstellung der Dichte zeigt der azimutale Schnitt entlang des
Gaps in Abbildung 4.11 keine Massenansammlungen an den Lagrangepunkten L4 und
L5. Auch ansonsten ist die Dichte hier sehr gleichmäßig und es sind keine Senken in der
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Radius r

66 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
P = 10
P = 30
P = 100
P = 300
P = 500
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
Abbildung 4.19.: Azimutal gemittelte Dichteverteilung der nicht-viskosen Neptunsimulation.
direkten Nähe des Planeten erkennbar. Der Massenverlust in der Neptunsimulation ist
vernachlässigbar klein, wie Abbildung 4.20 zeigt.
Das von der Scheibe auf Neptun wirkende Drehmoment ist in Abbildung 4.20 dargestellt.
Da das wirkende Drehmoment proportional zur Planetenmasse ist, liegen die Beiträge
von innerer und äußerer Scheibe erwartungsgemäß eine Größenordnung unter den Werten
der Jupitersimulation. Die Dämpfung der Drehmomente im Verlauf der Simulation ist
geringer als in den bisher betrachteten Fällen. Insbesondere fehlt der starke Abfall nach
Beginn der Simulation. Das Gesamtdrehmoment ist wiederum negativ. Betrachtet man
nun den übertragenen Gesamtdrehimpuls in Abbildung 4.21, ist dieser viel zu gering, um
eine nennenswerte Migration des Planeten auszulösen.
Die in Abbildung 4.15 gezeigte Gesamtdrehimpulserhaltung ist sehr gut und beträgt
weniger als 3 %. Größere Verluste, wie bei den Jupitersimulationen beobachtet, bleiben
ebenso wie größere Massenverluste aus.

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 67
Masse M / M 0
(T z / Σ 0 ) × 10 −6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 100 200 300 400 500
P / P0 20
10
0
10
20
30
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.20.: Zeitlicher Verlauf der normalisierten Scheibenmasse (oben) und des
Drehmomentes (unten) der inneren (grün), äußeren (rot) und gesamten
(schwarz) Scheibe der nicht-viskosen Neptunsimulation.

68 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Drehimpuls ∆l × 10 −4
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
Drehimpuls
Radius
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.21.: Migration von Neptun ohne Viskosität. Zu sehen sind der Drehimpulsübertrag
auf den Planeten und der daraus resultierende neue Radius.
4.4.4. Viskose Neptunsimulation
Die letzte von der Vergleichsstudie vorgesehene Simulation besitzt wiederum das Massenverhältnis
zwischen Sonne und Neptun bei Verwendung einer konstanten kinematischen
Viskosität von ν = 10 −5 . Durch die Viskosität werden die Ränder der Gapregion geglättet
und das Gap schrumpft in Breite und Tiefe. Die Dichte nach 100 Umläufen liegt in der
Gapregion etwa bei 85 % der Anfangsdichte. Im gleichen Maß schwindet die Intensität
der Spiralarme, sowie der gesamten Struktur gegenüber der Jupitersimulation.
Der radiale Schnitt auf der gegenüberliegenden Seite des Planeten zeigt in Abbildung
4.12 ein insgesamt etwas gedämpftes Bild der Verteilung ohne Viskosität. Das Gap ist
weniger tief und im äußeren Bereich der Scheibe stimmen die Spiralarme gut mit der
nicht-viskosen Simulation überein, soweit deren geringe Intensität eine Aussage zulässt.
Der azimutale Schnitt entlang des Gaps in Abbildung 4.11 zeigt einen ähnlichen Verlauf
zur nicht-viskosen Rechnung. Es wird deutlich, dass das Gap in der viskosen Rechnung
langsamer oder weniger Masse verliert.
Auch bei der viskosen Neptunsimulation ist der Gesamtmassenverlust (Abbildung 4.23)
sehr gering.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
Radius r

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 69
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
1.15
1.10
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
P = 10
P = 30
P = 100
P = 300
P = 500
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
Abbildung 4.22.: Azimutal gemittelte Dichteverteilung der viskosen Neptunsimulation.
Der Vergleich der Drehmomententwicklung der viskosen Rechnung in Abbildung 4.23
mit dem nicht-viskosen Ergebnis führt zu dem gleichen Schluss wie bei den Jupitersimulationen.
Am Anfang sind die Drehmomente von innerer und äußerer Scheibe auf den
Planeten ebenso groß wie bei der nicht-viskosen Rechnung, jedoch ist die Dämpfung im
gleichen Zeitintervall geringer, sodass das totale Drehmoment nach 500 Umläufen größer
ist als zuvor. Berechnet man dann den Drehimpulsübertrag, wie in Abbildung 4.24 sichtbar,
führt dies immerhin zu einer messbaren Migration. Dennoch ist die Migrationsrate
mit etwa 2 % nach 500 Umläufen sehr gering.
Abbildung 4.15 zeigt, dass die Gesamtdrehimpulserhaltung der viskosen Simulation, ähnlich
wie bei den Jupitersimulationen, geringfügig schlechter ist.

70 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Masse M / M 0
(T z / Σ 0 ) × 10 −6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 100 200 300 400 500
P / P0 20
10
0
10
20
30
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.23.: Zeitlicher Verlauf der normalisierten Scheibenmasse (oben) und des
Drehmomentes (unten) der inneren (grün), äußeren (rot) und gesamten
(schwarz) Scheibe der viskosen Neptunsimulation.

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 71
Drehimpuls ∆l × 10 −4
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
Drehimpuls
Radius
0 100 200 300 400 500
P / P 0
Abbildung 4.24.: Migration von Neptun mit Viskosität. Zu sehen sind der Drehimpulsübertrag
auf den Planeten und der daraus resultierende neue Radius.
4.4.5. Hochaufgelöste Jupitersimulationen
Um eine Aussage über die Konvergenz der bisherigen Simulationen machen zu können,
sind die Jupitersimulationen erneut mit einer Auflösung von
Nr × Nϕ = 512 × 1536 (4.11)
durchgeführt worden. Dies entspricht also der vierfachen Auflösung oder der sechzehnfachen
Zellenanzahl. Durch den deutlich vergrößerten Rechenaufwand beschränkt, wurden
die Simulationen nach 96 h auf 48 Intel-Westmere-Rechenkernen (2.67 Ghz) und etwas
über 150 Planetenumläufen abgebrochen. Für eine vollständige Konvergenzüberprüfung
müssten noch weitere Simulationen bei anderen Auflösungen vorgenommen werden.
Wir betrachten zunächst die nicht-viskose Jupitersimulation in der höheren Auflösung.
Abbildung 4.25 zeigt die Oberflächedichte nach 30 und 100 Umläufen für die Standardauflösung,
sowie die hohe Auflösung. Insgesamt sind die sichtbaren Strukturen bei beiden
Simulationen ähnlich. Beide zeigen ein weitestgehend gleich tiefes Gap, Spiralstrukturen
in der inneren Scheibe, sowie Massenansammlungen an den Gaprändern. Nach 30 Umläufen
ist das Gap noch nicht so frei von Masse, wie in der Standardauflösung. Es ist
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
Radius r

72 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Abbildung 4.25.: Vergleich der hochaufgelösten nicht-viskosen Jupitersimulation (rechte
Seite) mit der Ergebnissen aus der Simulation mit Standardauflösung
(linke Seite) nach 30 und 100 Umläufen.
immer noch ein Hufeisen innerhalb des Gaps zu erkennen. Außerdem gibt es Massenansammlungen
am Außenrand des Gaps, welches insgesamt einen weniger scharfen Rand
besitzt als in der Standardsimulation.
Nach 100 Umläufen sind die Masseansammlungen an den Lagrangepunkten immer noch
deutlich sichtbar. Die relativ gleichmäßige Ansammlung von Masse am Außenrand des
Gaps in der Standardauflösung verschmilzt hier zu einer breiteren, massereicheren Struktur
am Außenrand des Gaps auf Höhe des Planeten. Eine Betrachtung des Films aus dem
Anhang A.5 zeigt, dass diese Struktur im mitrotierenden Bezugssystem nicht still steht,
sondern langsamer als der Planet rotiert.

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 73
Abbildung 4.26.: Vergleich der hoch aufgelösten viskosen Jupitersimulation (rechte Seite)
mit den Ergebnissen aus der Simulation mit Standardauflösung (linke
Seite) nach 30 und 100 Umläufen.
Abbildung 4.28 zeigt den azimutalen Schnitt der Oberflächendichte entlang des Gaps nach
100 Umläufen. Die Massendichte im Gap fällt auf weniger als 10 % der Anfangsdichte ab.
Dies gilt jedoch nur für einen kleinen Bereich des Gaps auf der gegenüberliegenden Seite
des Planeten, da die Lagrangepunkte deutlich ausgeprägter als in der Standardauflösung
sind. Der voraus laufende Lagrangepunkt erreicht eine Dichte, die über der Anfangsdichte
der Scheibe liegt.
Die azimutal gemittelte, radiale Dichtestruktur in Abbildung 4.27 zeigt ein der Standardauflösung
ähnliches Bild. Die Massenansammlung am Innenrand zeigt ein schmaleres und
höheres Maximum als in der Standardsimulation. Innerhalb des Gaps ist ein deutlich
stärkers lokales Maximum als bisher zu sehen. Dieses verschwindet zusammen mit den

74 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
Azimutal gemittelte Oberflächendichte Σ / Σ0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
P = 10
P = 30
P = 50
P = 100
P = 150
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
P = 10
P = 30
P = 50
P = 100
P = 150
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Radius r
Abbildung 4.27.: Azimutal gemittelte, radiale Dichteverteilung der hoch aufgelösten
nicht-viskosen (oben) und viskosen (unten) Jupitersimulation.

4.4. Auswertung der Planet-Scheibe Simulationen 75
Masseansammlungen an den Lagrangepunkten in der Kurve nach 150 Umläufen. Das
Maximum am äußeren Gaprand zeigt eine ähnliche Amplitude von etwa der 1.5-fachen
Anfangsdichte. In der äußeren Scheibe ist deutlich mehr Struktur zu erkennen. Hier können
durch die azimutale Mittelung bedingt allerdings keine klaren Spiralarmstrukturen
sichtbar werden.
Betrachten wir nun die hoch aufgelöste viskose Jupitersimulation. Abbildung 4.26 zeigt
die Oberflächendichte nach 30 und 100 Umläufen für die hoch aufgelöste und Standardsimulation.
Hier sind die Unterschiede insgesamt geringer als bei den nicht-viskosen Simulationen.
Bei 30 Umläufen ist eine hufeisenförmige Massenansammlung innerhalb des
Gaps sichtbar. Die Spiralarme besitzen schärfere Kanten. Auch nach 100 Umläufen sind
noch Reste der Hufeisenstruktur innerhalb des Gaps zu erkennen. Massenansammlungen
entlang der Spiralarme sind wiederum schärfer auf kleine Regionen konzentriert.
Die mittlere Dichte im Gap liegt bei etwa 20 % der Anfangsdichte, wie im Schnitt entlang
des Gaps in Abbildung 4.28 zu erkennen ist. Dies entspricht auch der mittleren
Dichte in der Standardsimulation. Im Gegensatz zu dieser sind die leichten Massenansammlungen
an den Lagrangepunkten symmetrisch und der Lagrangepunkt L5 ist stärker
ausgeprägt.
Σ / Σ0
10 1
10 0
10 −1
10
−3 −2 −1 0
Azimut ϕ / (π/3)
1 2 3
−2
L4 L5
/w vis.
Abbildung 4.28.: Schnitt durch die Oberflächendichte in azimutaler Richtung in der Mitte
des Gaps für die hochauflösenden Jupitersimulationen nach 100 Umläufen.

76 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
Abbildung 4.29.: Detailaufnahme der zirkumplanetaren Region der hoch aufgelösten
nicht-viskosen (oben) und viskosen (unten) Jupitersimulation nach 100
Umläufen mit überlagertem Geschwindigkeitsfeld.

4.5. Diskussion der Ergebnisse 77
Das azimutal gemittelte radiale Dichteprofil in Abbildung 4.27 weist kaum Unterschiede
zur Standardsimulation auf. Lediglich im Zentrum des Gaps ist ein steileres und größeres
lokales Maximum sichtbar.
Zusätzlich zu den bisherigen Untersuchungen sind in der Abbildung 4.29 Detailaufnahmen
der zirkumplanetaren Region mit überlagertem Geschwindigkeitsfeld mit und ohne
Viskosität gezeigt. In beiden Fällen können deutlich Teile der Hufeisenbahnen erkannt
werden. Vor dem Planeten strömt Material von der äußeren Scheibe in die innere Scheibe
und hinter dem Planeten von der inneren Scheibe in die äußere Scheibe.
Der deutlichste Unterschied zwischen der Simulation mit Viskosität zu der ohne ist die
direkte zirkumplanetare Region. Diese weist eine größere Massenansammlung auf, welche
zudem eine größere Exzentrizität besitzt. Vermutlich entspricht diese der Form der Roche-
Grenze, also der letzten geschlossenen Potentiallinie des effektiven Potentials aus Planet
und Stern. Die Form der Stoßregion ist ähnlich, wenn auch die nicht-viskose Simulation
eine geringere Masse im inneren Spiralarm aufweist.
Massenelemente aus den Hufeisenorbits können mit vergleichsweise hoher Relativgeschwindigkeit
senkrecht auf die Stoßfront in der Nähe des Planeten auftreffen. Dadurch
wird vermutlich diese Region mit hoher Dichte angefüttert und das Material kann dann
der zirkumplanetaren Scheibe zugeführt werden oder über die Spiralarme abfließen, die
jeweils eine Strömung in ihren Teil der Scheibe aufweisen. Um hier genaue Aussagen
machen zu können, wäre eine noch höhere Auflösung der Stoßregion hilfreich.
4.5. Diskussion der Ergebnisse
Die in den letzten Abschnitten gefundenen Ergebnisse stimmen sehr gut mit den Ergebnissen
der Planet-Scheibe-Wechselwirkungsstudie von de Val-Borro et al. (2006) überein.
Das azimutal gemittelte Dichteprofil in den Abbildungen 4.8, 4.16 und 4.22 zeigen qualitativ
und quantitativ gute Übereinstimmung mit den meisten der Simulation von de
Val-Borro et al. (2006). Unser Ergebnis für die Neptunsimulation ohne Viskosität in Abbildung
4.19 zeigt einen glatteren Dichteverlauf, keine Anhäufung in der Mitte des Gaps
oder ähnlich steile Gapränder wie die Simulationen in de Val-Borro et al. (2006).
Der azimutale Schnitt entlang des Gaps nach 100 Umläufen in Abbildung 4.11 zeigt in
der nicht-viskosen Jupitersimulation eine deutlich geringere Ausprägung der Lagrangepunkte
als in den Simulationen in de Val-Borro et al. (2006) zu beobachten. Wie in
den Abschnitten zuvor beschrieben, können ähnlich intensive Massenansammlungen zu
früheren Zeitpunkten gesehen werden. In jedem Fall ist der Lagrangepunkt L4 stärker
ausgeprägt als der nachfolgende Lagrangepunkt L5. Für die viskose Jupitersimulation
und die Neptunsimulationen erhalten wir gute Übereinstimmung.
Die Scheibenstruktur der nicht-viskosen Jupitersimulation nach 100 Umläufen in Abbildung
4.10 zeigt am Außenrand des Gaps zwei Masseanhäufungen entlang des äußeren
Spiralarms bei etwa π
π
2 und auf der gegenüberliegenden Seite bei − 2 . de Val-Borro et al.

78 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
(2006) beobachten ähnliche Ansammlungen und bezeichnen diese als Wirbel (engl. vortices).
Tatsächlich können sie keine Aussage über das Strömungsverhalten dieser Wirbel
machen, was in unseren Simulationen gemacht werden kann. Hierfür sind detaillierte Studien
der Wirbel notwendig. Im Vergleich zu de Val-Borro et al. (2006) sind die hier beobachteten
Wirbel eher lang gezogen und weniger über eine Region in der Scheibe verteilt.
Gleichermaßen können wir beobachten, dass die Wirbel nach längeren Simulationzeiten
kleiner werden und in der viskosen Jupitersimulation schwächer ausgeprägt sind. Die
Neptunsimulationen zeigen keine solche Wirbelbildung. Desweiteren finden de Val-Borro
et al. (2006) starke Störungen bei den berechneten Drehmomenten in der nicht-viskosen
Jupitersimulation, welche durch die Wirbel ausgelöst werden soll. Solche Auswirkungen
sind in unseren Simulationen nicht zu erkennen.
Ein wichtiges Ergebnis der Simulationen ist das bestimmte Drehmoment auf den Planeten.
In der Vergleichsstudie erhalten de Val-Borro et al. (2006) für die Drehmomente
nach 200 Umläufen der nicht-viskosen Jupiter- und Neptunrechnungen:
T ,200 = (−2.24 ± 1.72) · 10 −5 , (4.12)
T ,200 = (−6.04 ± 3.15) · 10 −5 . (4.13)
Diese Ergebnisse können wir mit dem Drehmomenten der Simulationen nach 200 Umläufen
vergleichen:
T ,200 = −6.00 · 10 −5 , (4.14)
T ,200 = −2.27 · 10 −6 . (4.15)
Wir erhalten für die Jupitersimulation also ein leicht größeres, negatives Drehmoment
und für die Neptunsimulation ein deutlich niedrigeres Ergebnis. Die starke Abweichung
bei der Neptunsimulation erklärt noch einmal die bereits beobachteten Unterschiede in
der azimutal gemittelten Dichteverteilung.
Insgesamt stimmen die Ergebnisse mit FOSITE sehr gut mit der Vergleichsstudie überein.
Die gefundenen Unterschiede, das schnelle Absinken der Dichte an den Lagrangepunkten,
geringe Auswirkungen der Wirbel auf die Plantendrehmomente und die schlechte
Übereinstimmung der azimutal gemittelten Dichteverteilung der nicht-viskosen Jupiterrechnung,
könnten auf vergleichsweise hohe numerische Viskosität hindeuten. Dadurch
werden geringe Störungen der nicht-viskosen Neptunrechnungen behindert, sowie Dichteanhäufungen
an Lagrangepunkten oder bei den Wirbeln geglättet und früher aufgelöst.
Die numerische Viskosität hängt stark von dem verwendeten Limiter ab. In allen hier
vorgestellten Simulationen wird der Minmod-Limiter verwendet, welcher von allen möglichen
der maximal dispersive ist. Das vereinfacht die Simulationen zunächst, da durch die
Numerik induzierte Schwingungen eher weggedämpft werden, beziehungsweise Schwingungen
gar nicht erst auftreten. Allerdings glättet der Minmod-Limiter Stöße stark und
führt zu einer Dispersion der Dichte. Hier müssen weitere Tests mit anderen Limitern ge-

4.5. Diskussion der Ergebnisse 79
macht werden, um die Abhängigkeit der Ergebnisse vom künstlichen Beitrag zur Lösung
der hydrodynamischen Gleichung zu untersuchen.
Eine vollständige Übereinstimmung mit den Ergebnissen der Vergleichsstudie ist nicht
zu erwarten, da sich das numerische Verfahren von den meisten Hydrodynamikprogrammen,
die an dem Test teilgenommen haben, stark unterscheidet. Von den 17 verschiedenen
Programmen basieren acht auf Upwind-, zwei auf Lagrange-Verfahren, eine auf Finite-
Differenzen Verfahren höherer Ordnung und nur fünf auf stoß-erfassenden Verfahren.
Gerade bei stoß-erfassenden Verfahren haben de Val-Borro et al. (2006) häufig deutliche
Unterschiede zu den anderen Verfahren feststellen können. Das Lösen des gesamten
Gleichungssystems inklusive der Quellterme ist eine Besonderheit von FOSITEs Verfahren,
die es von den anderen Programmen unterscheidet, in denen häufig zum Beispiel
Operatorsplitting Verfahren verwendet werden.
Es sei auch noch angemerkt, dass die Durchführung der Vergleichsstudie teilweise iterativ
erfolgte, also Simulationen so lange angepasst wurden, bis ein weitestgehender Konsens
zwischen den Ergebnissen zu erkennen ist. Dies ist konstruktiv zu sehen, um durch den
Austausch der Simulationserfahrung die Qualität der Ergebnisse aller Programme auf
einen ähnlichen Stand zu bringen und vielleicht bisher unbekannte Fehler aufzudecken.
Um die Konvergenz der Ergebnisse zu überprüfen, werden diese mit hoch aufgelösten
Varianten verglichen. Die grundlegende Struktur bleibt erhalten, aber es sind vor allem
in der nicht-viskosen Simulation Unterschiede zu erkennen, was die Ausprägung von
Masseansammlungen innerhalb und außerhalb des Gaps angeht. Die Ergebnisse der hoch
aufgelösten Simulation stimmen besser als die Standardsimulation mit der Vergleichsstudie
überein, sowohl was die zeitliche Entwicklung der Lagrangepunkte als auch die
Wirbelbildung am äußeren Gaprand betrifft. Die durch einen Limiter erzeugte numerische
Viskosität schrumpft bei Verwendung höherer Auflösung, sodass dies die Hypothese
eines zu dispersiven Limiters unterstützt.
In den Jupitersimulationen fällt der starke Massenverlust durch die Wellendämpfungszonen
in der inneren Scheibe auf. Es ist unklar, ob dieser Massenverlust tatsächlich auf
einer nach innen gerichtete Massenmigration und eine daraus eventuell resultierende Akkretion
auf das Zentralobjekt zu erklären ist, oder ob das Rechengebiet nicht weit genug
nach innen ausgedehnt ist, um die starke Massenansammlung am Innenrand des Gaps
darzustellen. Dadurch steht ein Flügel der Spitze ständig in der Wellendämpfungszone
und wird daher langsam aufgesaugt. Gerade am Innenrand wären Simulationen mit realistischeren
Randbedingungen wünschenswert, um zu untersuchen, ob es eine Akkretion
auf das Zentralobjekt gibt. Es sei dazu gesagt, das ein starkes Verkleinern des Innenrandes
hohe Anforderungen an die Simulation und Numerik stellt, da die hier entstehenden
hohen Rotationsgeschwindigkeiten und die starke Entartung der Zellen sehr kleine Zeitschritte
erfordern.
Das Fehlen der Stoßregion in der Nähe des Planeten in der nicht-viskosen Neptunsimulation
und die gleichzeitige nur schwache Ausbildung des Gaps, lassen vermuten, dass
es hier einen Zusammenhang geben könnte, da die Stoßfront Fluidelemente in der Ko-

80 4. Vergleichsstudie Planet-Scheibe Wechselwirkung
rotationsregion auf neue Bahnen umlenken kann. Um diese These zu bestätigen, müssen
Simulationen mit einem feineren Spektrum an Massenverhältnissen durchgeführt und untersucht
werden, ob ein Auftreten der Stoßregion mit der Tiefe des entstehenden Gaps
korreliert. Es wurde außerdem beobachtet, dass bei Simulationen mit starker Gapbildung
die direkte Umgebung des Planeten eine gegenüber der mittleren Dichte des Gaps
geringere Dichte aufweist. Bei den hier verwendeten lokal isothermen Simulationen bedeutet
dies gleichzeitig einen niedrigeren Druck und damit einen Druckgradienten von
dem Gap zur Stoßregion hin. Um jedoch genaue Aussagen über den Massenfluss in der
Planetenregion zu machen, ist es erforderlich, diese Region höher aufzulösen.
Die hier durchgeführten Simulationen dienen vor allem dem Vergleich der unterschiedlichen
astrophysikalischen Hydrodynamikprogramme. Es kommt also vor allem auf ein
wohldefiniertes Setup an, welches sich zuverlässig vergleichen lässt. Der Verlust von Masse
an der inneren Wellendämpfungszone ist ein Hinweis auf Akkretionsfluß in Richtung
des Zentralobjekts. Die reflektierende Randbedingung beschränken das System also vermutlich
zu stark. Öffnet man den Innenrand könnte die Massenansammlung am inneren
Rand des Gaps abfließen und gegebenenfalls sogar die gesamte innere Scheibe abfließen.
Bei der Verwendung der Simulationen zur Beobachtungsvorhersage sollte man diese
Punkte im Hinterkopf behalten.

5. Beobachtbarkeit von jungen Gasriesen
Um durch Simulationen getroffene Vorhersagen zu testen, ist eine Beobachtbarkeitssimulation
und Modellierung notwendig. Dafür wird in unserem Institut das Programm
MC3D verwendet, auch um Vorhersagen über die Beobachtbarkeit von durch Protoplaneten
induzierte Strukturen zu machen (Wolf, 2008). MC3D verwendet ein sphärisches
Gitter in Kugelkoordinaten. Damit die Daten aus der Dichteverteilung von den Planet-
Scheibe-Wechselwirkungen für eine Beobachtbarkeitsvorhersage genutzt werden können,
müssen die Daten aus den zweidimensionalen Simulationen auf eine dritte Dimension
modelliert und dann auf Kugelkoordinaten und das properitäre Datenformat transformiert
werden. Dafür wird die Dichteverteilung zunächst auf den Polarkoordinaten durch
Triangulation mit Qhull (Barber et al., 1996) interpoliert. In z-Richtung wird eine gaußförmige,
normierte Dichteverteilung angenommen, wobei die Standardabweichung σ = H
als die Skalenhöhe an dieser Stelle gesetzt wird. Für die Simulationen in dieser Arbeit
ist also immer σ = 0.05r. Dieser Zusammenhang wird dann an allen Zellmittelpunkten
des gewünschten sphärischen Koordinatensystems ausgewertet. Die Auflösung in rund
ϕ-Richtung wird dabei beibehalten, während die Auflösung in θ-Richtung frei wählbar
bleibt. Zur Demonstration des Verfahrens sind in der Abbildung 5.1 einige 1.3 mm
Reemissionskarten dargestellt (J. P. Ruge, private Kommunikation).
Das Umwandeln eines Zeitpunkts der Simulation der Daten in für MC3D lesbare Daten
funktioniert schnell und automatisch. Es könnte eventuell interessant sein, berechnete
Dichteverteilungen an MC3D zu übergeben, dort die Temperaturverteilung zu bestimmen
und diese als neue Anfangsverteilung für die Scheibe zu verwenden. Durch eine solche
Rückkopplungsschleife könnten sich möglicherweise Veränderungen in der Struktur der
Scheibe beobachten lassen.
81

82 5. Beobachtbarkeit von jungen Gasriesen
R in AU
Fluss in µJy/px
5
0
5
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
R in AU
Fluss in µJy/px
5
0
5
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
5 0 5
R in AU
(a) Jupiter
5 0 5
R in AU
(c) Neptun
2.4
2.1
1.8
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
0.0
2.4
2.1
1.8
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
0.0
Fluss in µJy/px
Fluss in µJy/px
R in AU
Fluss in µJy/px
5
0
5
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
R in AU
Fluss in µJy/px
5
0
5
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
5 0 5
R in AU
(b) Jupiter mit Viskosität
5 0 5
R in AU
(d) Neptun mit Viskosität
Abbildung 5.1.: 1.3 mm Reemissionskarten aus Berechnungen mit MC3D. Die verwendete
Dichteverteilung stammt aus den in dieser Arbeit diskutierten Planet-
Scheibe-Wechselwirkungssimulationen.
2.4
2.1
1.8
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
0.0
2.4
2.1
1.8
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
0.0
Fluss in µJy/px
Fluss in µJy/px

6. Statische Gitterverfeinerung
Die Verwendung der Gleichungen mit Inertialdrehimpulserhaltung erlauben immer noch
polare Geometrien mit beliebiger radialer Skalierung. Als Beispiel ist in Abbildung 6.1
ein Sinushyperbolicus Gitter (vergleiche Abschnitt 3.2.1 zu sehen. Das Setup entspricht
der nicht-viskosen Jupitersimulation mit geänderter radialer Skalierung. Zudem wurde
eine Gitterauflösung von
83
Nr × Nϕ = 64 × 384 (6.1)
verwendet. Obwohl die Zellenanzahl in radialer Richtung halbiert wurde, kann immer
noch die selbe Auflösung in der Gapregion erreicht werden. Die Zellen bleiben dort fast
quadratisch. In den äußeren Regionen der Scheibe, deren Strukturen von geringerem
Interesse sind, wird schlechter aufgelöst. Noch drastischer werden die Vorteile des Verfahrens,
wenn größere Teile der Scheibe simuliert werden. Aber auch hier kann bereits eine
Halbierung der Zellenanzahl und damit auch ungefähr eine Halbierung der Rechenzeit
erreicht werden.
Abbildung 6.1.: Ausschnitt nach 100 Umläufen der nicht-viskosen Jupitersimulation bei
Verwendung von statischer Gitterverfeinerung mit Sinushyperbolicus-
Skalierung in radialer Richtung. Dies ermöglicht die Reduzierung der
radialen Zellenanzahl um die Hälfte auf 64 bei Beibehaltung der Auflösung
und des Zellenverhältnis in der Gapregion.

7. Fazit
In dieser Arbeit wurde erfolgreich gezeigt, dass Planet-Scheibe-Wechselwirkungssimulationen
mit FOSITE durchführbar sind und unsere Ergebnisse mit denen anderer Hydrodynamikprogramme
übereinstimmen. Hierfür sind Simulationen mit zwei unterschiedlich
starken gravitativen Störungen sowohl mit als auch ohne Viskosität durchgeführt und
ausführlich diskutiert worden. Dabei konnten auch die Effekte von Lindbladresonanzen
und rotierenden nicht-axialsymmetrischen Potentialen beobachtet werden. Erste Detailaufnahmen
aus der zirkumplanetaren Region zeigen die Effekte der Hufeisenorbits und
starke Dichtegradienten, die quasi statische Stöße erzeugen. Die genaue Struktur der zirkumplanetaren
Region könnte großen Einfluss auf die Entwicklung eines Protoplaneten
und dessen Scheibe haben. Eine detaillierte Analyse der vorliegenden Strömungen wäre
also interessant.
Im Zuge der numerischen Experimente von Planet-Scheibe-Wechselwirkungen ist die
enorme Wichtigkeit der exakten Drehimpulserhaltung insbesondere bei Verwendung von
rotierenden Bezugssystemen gezeigt. Rotierende nicht-axialsymmetrische Potentiale sind
natürlicherweise besonders einfach in einem mitrotierenden Bezugssystem zu beschreiben,
da sie dort zeitunabhängig sind. Die in einem solchen System entstehenden Zentrifugalund
Corioliskräfte bedürfen bei Berechnung in einem numerischen Verfahren besonderer
Beachtung und dürfen nicht wie externe Kräfte als normale Quellterme betrachtet
werden. Es ist vielmehr erforderlich, diese entweder wohlbalanciert dem Schema als
Quellterme hinzuzufügen, sodass stationäre Zustände erhalten bleiben, oder sie in die
Transportgleichungen zu integrieren. Um diesen Anforderungen gerecht zu werden, wurde
ein neues Gleichungssystem entworfen und implementiert, welches den Drehimpuls
im Inertialsystem erhält. Dabei wird der azimutale Impuls im Polarkoordinatensystem
durch den spezifischen Inertialdrehimpuls als konservative Variable ersetzt. Es wird nun
Inertialdrehimpuls transportiert, welcher von FOSITEs Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen
auf krummlinig orthogonalen Gittern numerisch exakt erhalten wird.
Zur Demonstration der Korrektheit des neuen Verfahrens wurde dies gegen drei relevante
Beispiele getestet. Als rein hydrodynamischen Test von Drehimpulstransportproblemen
mit lokaler Isothermie schlagen wir eine neue Variante des isentropen Vortex Tests vor, bei
dem in einem numerisch anspruchsvollen Setup die Inertialdrehimpulserhaltung getestet
werden kann.
Die Verbindung von FOSITE mit dem Strahlungstransportprogramm MC3D demonstriert
die Möglichkeit schneller Überprüfung der Simulationsergebnisse auf Relevanz für
Beobachtungen. Dies ermöglicht die frühe Entscheidung, ob Ergebnisse aus numerischen
85

86 7. Fazit
Experimenten signifikante Merkmale bei einer möglichen Beobachtung aufweisen könnten
oder nicht überprüfbar sein werden. Bei lokal isothermen Scheibenrechnungen erlauben
von MC3D erzeugte Temperaturverteilungen zudem eine differenzierte Aussage über die
gemachten Annahmen bei der Wahl der Temperaturstruktur.
Die Verwendung beliebiger radialer Skalierung bei Verwendung der Inertialdrehimpulserhaltungsgleichungen
ist ein einzigartiges Feature von FOSITE. Wir haben die Möglichkeit
statischer Gitterverfeinerung mit Sinushyperbolicuskoordinaten demonstriert, bei
der man keine Einbußen in der Rechenzeit hinnehmen muss.
Die Untersuchungen haben auch gezeigt, dass das in FOSITE verwendete Planet-Scheibe-
Wechselwirkungsmodell noch weiterer Verfeinerung in der Verwendung numerischer Parameter,
wie zum Beispiel der Wahl des Limiters, benötigt, da Abweichungen von Vergleichssimulationen
durch das numerische Verfahren induziert sein könnten.
Nachdem die Verwendbarkeit von FOSITE gezeigt werden konnte, kann das Planet-
Scheibe-Wechselwirkungsmodell erweitert werden. Zunächst wäre dies die Behandlung
des Drehimpulsübertrags von der Scheibe auf den Planeten, sodass dieser in der Scheibe
migrieren kann. Zusätzlich sollte Akkretion auf das Zentralobjekt erlaubt werden,
was Randbedingungen erfordert, die Massenfluss erlauben. Hochaufgelöste Simulationen
mit statischer Gitterverfeinerung könnten ein genaueres Verständnis der zirkumplanetaren
Region bieten. Größe und Masse sind wichtige Eigenschaften der zirkumplanetaren
Scheibe, um deren Leuchtkraft vorherzusagen. Zur Untersuchung bieten sich nicht nur
die wegen der Vergleichsstudie häufig im Mittelpunkt stehenden Planet-Scheibe-Wechselwirkungssysteme
an, sondern zum Beispiel auch Systeme in Schwarzloch-Akkretionscheiben
an, wie eines, das von Baruteau et al. (2011) untersucht wurde. Deren Problemstellung
war beispielsweise, welchen Einfluss der Drehimpulsübertrag von der Scheibe auf ein migrierendes
Doppelsternsystem hat. Kommt es zu einer nach innen gerichteten Migration
könnte der Drehimpulsübertrag das System zu immer schnellerer Eigendrehung veranlassen,
bis es nicht mehr zusammenhält und die Komponenten getrennt werden.
Bisher wurde die Energiegleichung noch nicht in das System mit Inertialdrehimpulserhaltung
integriert. Das Lösen der Energiegleichungen könnte genauere Informationen
über die Temperaturstrukturen an den Gaprändern und in der zirkumplanetaren Region
liefern. Es ist zu beantworten, in wieweit die Annahme lokaler Isothermie mit der
verwendeten axialsymmetrischen Skalenhöhe vereinbar ist.
Insgesamt haben wir gezeigt, dass exakte Inertialdrehimpulserhaltung maßgeblichen Einfluss
auf die Ergebnisse von Akkretionsscheiben-Simulationen in polaren Koordinaten
besitzt. Das Verfahren mit Inertialdrehimpulserhaltung ermöglicht nun eine ganze Reihe
von interessanten numerischen Experimenten nicht nur zu Akkretionsscheiben mit einem
störenden gravitierenden Objekt.

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A. Anhang
A.1. Inertialdrehimpulstransport
Das numerische Verfahren von FOSITE erfordert das Berechnen der Jacobimatrizen der
Flussvektoren F und G nach den konservativen Variablen, sowie deren Eigenwerte zur
Bestimmung der Wellengeschwindigkeiten. Für das neue Variablensystem mit Inertialdrehimpulserhaltung
lauten die Jacobimatrizen (∂F/∂u) und (∂G/∂u) mit den Eigenwerten
α1, α2, α3 und β1, β2, β3:
⎛
∂F
= ⎝
∂u
⎛
∂G ⎜
= ⎝
∂u
0 1 0
c 2 s − v 2 ξ 2vξ 0
−vξl l vξ
⎞
⎠
−hηΩ 0 1
− vξl
hη
hηc 2 s − l2
hη
vη
0 2l
hη
hη
vξ
hη
− hηΩ
⎞
⎟
⎠
α1 = cs − vξ
α2 = cs + vξ
α3 = cs
β1 = cs − vη
β2 = cs + vη
β3 = cs
93
(A.1)
(A.2)
Dabei bezeichnet vη die Azimutalgeschwindigkeit im rotierenden Bezugssystem. Es gilt
also:
A.2. Definition von atan2
vη = l
hη
− hηΩ. (A.3)
Sei atan die Standard Arkustangensfunktion. Dann ist atan 2 nach Rabenstein (1995)
wie folgt definiert:
atan2 : R 2 ⎧
atan
⎪⎨
\ {(0, 0)} → (−π, π ] , (y, x) ↦→
⎪⎩
y
x x > 0
atan y
x + π y ≥ 0, x < 0
atan y
x − π y < 0, x < 0
+ π
2
y > 0, x = 0
y < 0, x = 0
− π
2
(A.4)

94 A. Anhang
Den Bildbereich von [0, 2π ) erreicht man einfach durch Addition von 2π zu negativen
Werten.
A.3. Kommutatorkoeffizienten
Die Tensordivergenz 3.2 enthält Kommutatorkoeffizienten cijk, deren Definition wir hier
nennen wollen. Ihre ausführliche Ableitung ist in Illenseer & Duschl (2009) zu finden. Es
gilt:
cηξη = −cξηη = 1
hηhξ
cξηξ = −cηξξ = 1
hξhη
cξϕξ = −cϕξξ = 1
hξhϕ
A.4. Approximation der Pringlelösung
∂hη
∂ξ , cϕξϕ = −cξϕϕ = 1 ∂hϕ
hϕhξ ∂ξ ,
∂hξ
,
∂hη
cϕηϕ = −cηϕϕ = 1 ∂hϕ
,
hϕhη ∂η
(A.5)
∂hξ
∂ϕ , cηϕη = −cϕηη = 1 ∂hη
hηhϕ ∂ϕ .
Da die modifizierte Besselfunktion erster Art der Ordnung 1/4 nur mühsam in Fortran
zu implementieren ist, wird stattdessen eine Approximation verwendet. Da für Anfangsbedingen
τ ≪ 1 und χ ≈ 1 gilt, ist 2χ/τ ≫ 1 und wir können die Approximation der
Besselfunktion für große Argumente nach Abramowitz & Stegun (1965) verwenden:
Iκ (z) ≈
exp (z)
√ 2πz
1 − 4κ2
− 1
+ . . . . (A.6)
8z
Wir verwenden nur den ersten Term und erhalten dann für die Dichte:
Σ (τ, χ) = 1
1 1 + χ2
χ− 4 exp − I 1
πτ τ
4
≈ 1
1
χ− 4 exp −
πτ
= 1 1
χ− 4 exp
πτ
−
1 + χ2 exp
τ
(χ − 1)2
τ
= 1
3 1 3
− −
π− 2 τ 2 χ 4 exp −
2
2χ
τ
2χ
τ
2π 2χ
τ
1
2π 2χ
τ
(χ − 1)2
.
τ
(A.7)

A.5. Bewegte Bilder 95
A.5. Bewegte Bilder
Im weiteren Anhang dieser Arbeit befindet sich ein Datenträger, welcher unter anderem
Filme der nicht-viskosen Jupitersimulation in normaler und hoher Auflösung enthält. Die
Filme zeigen 30 Bilder pro Sekunde mit einer zeitlichen Auflösung von zehn Bildern pro
Planetenperiode, sodass 3 Umläufe pro Sekunde zu sehen sind.
A.6. Modifzierte Version von FOSITE
Auf dem beiliegenden Datenträger befindet sich die modifzierte Version von FOSITE mit
der alle in dieser Arbeit verwendeten Simulationen erstellt wurden.

Danksagung
Ich möchte mich bei meinem Betreuer Prof. Dr. Wolfgang J. Duschl für die Zusammenarbeit,
richtungsweisenden Ratschläge und hilfreichen Gespräche bedanken. Die Möglichkeit
meine eigenen Ideen und Wünsche miteinzubringen ist ein wichtiger Motivationsfaktor
und welche mich auch zur verantwortlichen Reflexion mit Ergebnissen bewegt
hat.
Ganz besonders möchte ich mich bei Dr. Tobias Illenseer bedanken, dessen Zeit ich ungefragt
zu unzähligen Gesprächen und Diskussionen in Anspruch genommen habe. Stets
freundlich hat er all meine teils mutig bis frechen Behauptungen widerlegen und sich
dagegen verteidigen müssen. Ohne seine Anregungen und kritischen Fragen wäre meine
Arbeit in diesem Rahmen nicht möglich gewesen.
Ich bedanke mich bei Frau Kuhr und Herrn Boll, sowie der gesamten Arbeitsgruppe, die
stets für einen kleines Gespräch oder Hilfestellung bereit standen. Ohne euch wäre mein
Alltag kaum so flüssig und angenehm verlaufen.
Vielen Dank auch an meinen Bürokollegen Christian Gräfe, der immer für jede Menge
Unterhaltung zu haben ist.
Ich bedanke mich bei allen Korrekturlesern und ganz besonders bei Jan Philipp Ruge, der
mich nicht nur auf weiten wegen meines Studiums begleitet hat, sondern auch während
der Masterarbeit immer für eine Diskussion zur Verfügung stand, wenn ich die Meinung
eines zweiten Kopfes gebraucht habe.
Meinen Eltern danke ich nicht nur für die Möglichkeit zu studieren, sondern auch für die
gesamte Ausbildung auf dem Weg zum Studium. Vielen Dank!
97

Erklärung
„Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Masterarbeit selbstständig und ohne unerlaubte
fremde Hilfe angefertigt, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel
nicht benutzt, die den benutzten Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen
als solche kenntlich gemacht und die vorliegende Arbeit an keiner anderen Stelle eingereicht
habe. Weiterhin versichere ich, dass die eingereichte schriftliche Fassung der auf
dem Medium gespeicherten Fassung entspricht.“
Kiel, der
99
Manuel Jung