master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...

14 2. Grundlagen
Schwerpunkt im Ursprung liege. Die Bahnen der Massen lauten dann:
r1 (t) = r1
r2 (t) = r2
⎛
⎝
⎛
⎝
cos (Ωt)
sin (Ωt)
0
⎞
cos (Ωt + π)
sin (Ωt + π)
0
⎠ , (2.45)
⎞
⎠ . (2.46)
Wenn a die große Halbachsen der beiden Komponenten ist, ergeben sich r1, r2 zu:
a = r1 + r2, (2.47)
m2
r1 = a
, (2.48)
m1 + m2
m1
r2 = a
. (2.49)
m1 + m2
Damit können wir das Potential der beiden Punktmassen angeben:
Φ (r) =
2
i=1
= −
Φi (r)
2
i=1
G mi
|r − ri| .
Betrachtung der Abstände zwischen r und ri liefert:
⎛
|r − r1| = ⎝
⎛
|r − r2| = ⎝
x − r1
y
0
x − r2
y
0
⎞
⎠
=
⎞
⎠
=
Hiermit erhalten wir für das effektive Potential:
Φeff = Φ (r) − 1
⎛
= −G ⎝
2 Ω2 r 2
m1
(x − r1) 2 + y2 +
(2.50)
(x − r1) 2 + y 2 , (2.51)
(x + r2) 2 + y 2 . (2.52)
⎞
m2
(x + r2) 2 + y2 ⎠ − 1
2 Ω2 x 2 + y 2
(2.53)