master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...

22 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
Als Spezialfall der lokal isothermen Approximation kann die Schallgeschwindigkeit global
für das gesamte Rechengebiet festgelegt werden, sodass man dann zu der isothermen Approximation
gelangt. Die zugehörigen Module von FOSITE heißen EULER2D_ISOTHERM
für die global isotherme Approximation und EULER2D_LOCISOTHERM für die lokal isotherme
Approximation.
Es sei angemerkt, dass es in der lokal isothermen Approximation immer noch einen Druckgradienten
in Abhängigkeit der Gradienten von Schallgeschwindigkeit und Massendichte
gibt. Dieser muss zum Beispiel bei der Bestimmung von Anfangsbedingungen, die ein
System im Gleichgewicht darstellen sollen, beachtet werden.
3.1.4. Inertialdrehimpulstransport
Der Variablensatz aus dem vorherigen Abschnitt 3.1.3 eignet sich nicht, falls eine genaue
Drehimpulserhaltung von Interesse ist. Auch das Hinzufügen von Scheinkräften eines
rotierenden Bezugssystems als externe Quellterme erzeugt große Fehler in der Drehimpulserhaltung.
Wir formen daher die Gleichungen 3.14 so um, dass statt der Impulsdichte
ρvη die Inertialdrehimpulsdichte
ρl = ρhη (vη + hηΩ) (3.19)
erhalten wird. Dabei ist Ω die Rotationsgeschwindigkeit des Bezugssystems um den Ursprung
und vη die Azimutalgeschwindigkeit im rotierenden Bezugssystem. Hierdurch wird
erreicht, dass in der zweiten Impulsgleichung, also der neuen Drehimpulsgleichung, weder
geometrische Terme noch Scheinkraftterme vorkommen. Dadurch kann die Qualität
der Drehimpulserhaltung deutlich verbessert werden. Das Umformen der Gleichungen ist
nicht trivial. Unser Ziel ist es, folgenden Satz konservativer Variablen zu erhalten:
⎛
u = ⎝
ρ
ρvξ
ρl
⎞
⎠ . (3.20)
Hierfür muss die dritte Komponente der Transportgleichung 3.5 mit den Flussvektoren
3.18 vom vorherigen Abschnitt 3.1.3 passend modifiziert werden. Zunächst betrachten
wir die Wirkung von hη auf die Differentialoperatoren 3.3. Wir beschränken uns dabei
auf polare Geometrien mit hξ = 1 und hη = hη (ξ). An hϕ werden keine Bedingungen
gestellt. Für eine Funktion f gilt:
hηDξf = 1
√ g (hη∂ξ (hηhϕf) + hηhϕf∂ξhη − hηhϕf∂ξhη)
= 1
√ g ∂ξ (hηhϕ (hηf)) − 1
= Dξ (hηf) − hηfcηξη,
hξ
f∂ξhη
(3.21)