master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...

18 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
onsscheiben macht dessen korrekte numerische Behandlung sehr wichtig. Auf die Vorteile
des neuen Gleichungssystems wird in Abschnitt 4 eingegangen. Vorher werden noch weitere
verwendete Module von FOSITE kurz vorgestellt und das neue Gleichungssystem mit
numerischen Tests verifiziert.
3.1. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen
Eine hyperbolische Erhaltungsgleichung hat die Form:
∂u
∂t
+ ∇ · T (u) = 0. (3.1)
Dabei ist u ein Vektor und T (u) ein Tensor zweiter Stufe, sodass T ↦→ ∇ · T die Tensordivergenz
bezeichnet. Falls u ein Skalar und T ein Vektor ist, erhalten wir eine skalare
Erhaltungsgleichung. Für orthogonal krummlinige Koordinaten {ξ, η, ϕ} mit der Orthonormalbasis
{eξ, eη, eϕ} und den metrischen Skalenfaktoren {hξ, hη, hϕ} können wir die
Tensordivergenz angeben:
[∇ · T ] ξ = 1
∂
√
g ∂ξ (hηhϕTξξ) + ∂
∂η (hξhϕTξη) + ∂
∂ϕ (hξhηTξϕ)
[∇ · T ] η = 1
√ g
[∇ · T ] ϕ = 1
√ g
− cηξηTηη − cϕξϕTϕϕ + cξηξTηξ + cξϕξTϕξ,
∂
∂ξ (hηhϕTηξ) + ∂
∂η (hξhϕTηη) + ∂
∂ϕ (hξhηTηϕ)
− cξηξTξξ − cϕηϕTϕϕ + cηξηTξη + cηϕηTϕη,
∂
∂ξ (hηhϕTϕξ) + ∂
∂η (hξhϕTϕη) + ∂
∂ϕ (hξhηTϕϕ)
− cξϕξTξξ − cηϕηTηη + cϕξϕTξϕ + cϕηϕTηϕ.
(3.2)
Dabei ist √ g die Determinante der metrischen Matrix, also √ g = hξhηhϕ. Die Kommutatorkoeffizienten
cijk hängen von den metrischen Skalenfaktoren und deren Ableitungen
ab. Ihre genaue Definition ist im Anhang A.3 und in Illenseer & Duschl (2009) zu finden.
Da wir uns nun auf den zweidimensionalen Fall beschränken wollen, nehmen wir
eine Symmetrie bezüglich der ϕ Koordinate an, also dass ∂
∂ϕ ≡ 0 gilt. Mit den neuen
Differentialoperatoren
Dξ := 1 ∂
√
g ∂ξ hηhϕ, (3.3)
Dη := 1 ∂
√
g ∂η hξhϕ
(3.4)