master thesis - Astrophysik Kiel - Christian-Albrechts-Universität zu ...

26 3. 2D-Hydrodynamiksimulationen mit FOSITE
π
3
4 π
5
4 π
1
2 π
3
2 π
1
4 π
7
4 π
0
π
3
4 π
5
4 π
1
2 π
3
2 π
Abbildung 3.1.: Darstellungen von Polarkoordinatensystemen mit linearer (links), logrithmischer
(mitte) und Sinus-Hyperbolicus (rechts) Skalierung in radialer
Richtung. Logarithmische Skalierungen eignen sich auf Grund der
höheren Geschwindigkeiten durch das zentrale gravitierende Objekt besonders
gut für Akkretionsscheiben. Sinus-Hyperbolicus-Skalierungen ermöglichen
einen Bereich innerhalb einer Scheibe besser radial aufzulösen
als Bereiche, die am Innen- oder Außenrand liegen.
Skalierte Polarkoordinaten
Wir wollen nun einen neuen Satz zweidimensionaler orthogonal krummliniger Koordinaten
{ξ, η} herleiten. Sei f(ξ) eine monoton wachsende Funktion in ξ mit der Umkehrfunktion
f −1 (|r|). Dann sind die Koordinaten definiert durch:
cos (η)
r = f (ξ)
sin (η)
1
4 π
7
4 π
Für die Ableitungen von r nach den Koordinaten ergibt sich:
Damit erhalten wir für die Skalenfaktoren:
hξ =
∂r
∂ξ
0
π
3
4 π
5
4 π
1
2 π
3
2 π
1
4 π
7
4 π
. (3.32)
∂r
∂ξ = f ′
cos (η)
(ξ)
(3.33)
sin (η)
∂r − sin (η)
= f (ξ)
. (3.34)
∂η cos (η)
= f ′ (ξ) (3.35)
0