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Zusammenfassung der Theorie
Die Übertragungsfunktion aller Tiefpassfilter lässt sich nach Gl. 5.26 darstellen.
A0
A( sn
) =
(5.26)
2
(1+
a ⋅ s + b ⋅ s )
∏
i
i
n
i
n
Die Ordnung n des Filters ist gegeben durch die höchste Potenz von sn, wenn man den Nenner
von Gl. 5.26 ausmultipliziert. Die Asymptotensteigung des Frequenzganges der Verstärkung
beträgt -n · 20 dB/Dekade. Der übrige Verlauf der Verstärkung wird für die jeweilige
Ordnung durch den Filtertyp bestimmt. Von besonderer Bedeutung sind Butterworth-,
Tschebyscheff- und Bessel-Filter, die sich durch die Koeffizienten ai und bi unterscheiden.
Für die Überprüfung von aktiven Filtern ist es günstig, wenn die 3-dB-Grenzfrequenz eines
jeden Teilfilters durch die Größe fgi/fg bekannt ist. Um Instabilitäten bei einzelnen Filtern
abschätzen zu können, ist es vorteilhaft, wenn die Polgüte Qi der einzelnen Teilfilter bekannt
ist. Sie ist in Analogie zur Güte der selektiven Filter definiert als:
bi
Q i =
(5.27)
a
i
Je größer die Polgüte ist, desto größer ist die Neigung des Filters zu Instabilitäten. Filter mit
reellen Polen besitzen eine Polgüte Q ≤ 0,5.
Mit den Koeffizienten ai und bi der faktorisierten Übertragungsfunktion lässt sich der
Amplitudengang, der Phasengang und die normierte Gruppenlaufzeit berechnen:
A / A0 in dB
2 2
A0
A = A =
(5.28)
2
2 2 4
[1+
( a - 2b ) ⋅ ω + b ⋅ ω ]
∏
i
i
i
2
n
i
n
a i ⋅ ωn
ϕ = -∑
arctan
(5.29)
2
1-
b ⋅ ω
i
i
n
1 a i ⋅ (1+
bi
⋅ ωn
)
T gr = ⋅∑
(5.30)
2π
2
2 2 4
1+
(a - 2b ) ⋅ ω + b ⋅ ω
10
0
-10
-20
i
i
i
n
2
i
n
-30
-40
kritische Dämpfung
Bessel
-50
Butterworth
-60
-70
Tschebyscheff 3 dB
0,01 0,1 1
ωn 10 100
Amplitudengang von Tiefpässen 4. Ordnung
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 55