Amplitudengang - FB E+I: Home

Für die Grenzfrequenz des Tiefpasses 2. Ordnung erhält man fgT1 = fm·α und für die
Grenzfrequenz des Hochpasses 2. Ordnung fgH1 = fm/α. Die Koeffizienten a1 und b1 sind für
beide Teilfilter identisch und es gilt aT1 = aH1 = 1/Qi und für bT1 = bH1 = 1. Sie dürfen nicht
mit den Koeffizienten a1 und b1 des Bandpasses 4. Ordnung verwechselt werden, die aus den
Tabellen (S. 56) für Tiefpässe 2. Ordnung gewählt werden.
Bei kleiner Bandbreite ∆ωn ≤ 1 verwendet man besser die Reihenschaltung zweier Bandpässe
2. Ordnung, die etwas gegeneinander verstimmt sind. Dieses Verfahren wird als „staggered
tuning“ bezeichnet. Zur Dimensionierung der Bandpässe zerlegen wir den Zähler von Gl. 5.52
in zwei Faktoren mit sn gemäß:
( A r Qi
) ⋅ ( α ⋅s
n ) ( A r Qi
) ⋅ ( sn
α)
A ( sn
) =
⋅
(5.57)
⎡ α ⋅s
⎤ ⎡
2
n
2
⎛ ⎞ ⎤
⎢1
+ + ( α ⋅s
sn
sn
n ) ⎥ ⎢1
+ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣ Qi
⎦ ⎢ α ⋅ Q
⎣ i ⎝ α ⎠ ⎥⎦
Durch Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.52 und Gl. 5.49 erhält man die Dimensionierung für
die Teilfilter.
fr Q Ar
Qi ⋅ ∆ωn
⋅ Am
b1
Teilfilter 1: fm / α Qi
Teilfilter 2: fm · α Qi Qi ⋅ ∆ωn
⋅ Am
b1
Darin ist fm die Mittenfrequenz des resultierenden Bandpassfilters und Am die Verstärkung bei
der Mittenfrequenz. Die Größen α und Qi erhält man aus den Gleichungen 5.53 und 5.54.
Die Bandfiltercharakteristik des Butterworth-Bandpasses 4. Ordnung mit Am = 1 und ∆ωn = 1
bestehend aus zwei Teilfiltern 2. Ordnung mit der Güte Qi = 1,5102 und den Resonanzfrequenzen
fr1 = 1,4426 · fm und fr2 = 0,6932 · fm zeigt der Amplitudengang.
A / Am
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Teilfilter 1
Teilfilter 2
Butterworth
0,1 1 10
ω n
Bandfiltercharakteristik des Butterworth-Bandpasses 4. Ordnung mit Teilfiltern
Butterworth-Bandpässe 4. Ordnung haben gegenüber den Tschebyscheff-Bandpässen bei der
Mittenfrequenz fm die größte Verstärkung. Außerdem ist der Amplitudengang von Butterworth-Bandpässen
in der Nähe der Mittenfrequenz besonders flach. Zum Vergleich sind mit
der Bandbreite ∆ωn = 1 der Butterworth-Bandpass 4. Ordnung, der Tschebyscheff-Bandpass
4. Ordnung mit 3-dB-Welligkeit und die selektiven Filter 2. Ordnung mit Q = 1 und Q = 10
dargestellt.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 63