Amplitudengang - FB E+I: Home

Wenn die Anfangsbedingungen gleich Null gesetzt werden, kann die Transformation in den
Bildbereich erfolgen. Die Übertragungsfunktion A(s) gibt das Verhältnis der Laplacetransformierten
von Ausgangs- und Eingangsspannung für beliebig von der Zeit abhängige Signale an.
Für den LRC-Tiefpass 2. Ordnung gilt:
A( s)
=
L
L
{ u a ( t)
}
{ u ( t)
}
e
1
= (5.7)
2
1+
s ⋅ τ + s ⋅ τ ⋅ τ
C
C
L
Der Frequenzgang F(jω) bzw. A(jω) des LRC-Tiefpasses 2. Ordnung lautet:
1
F(
jω
) = A(jω)
=
2
1+
jωRC
- ω LC
=
1+
jω⋅
τ
1
2
- ω ⋅ τ ⋅ τ
jϕ(
ω)
= A( ω)
⋅ e
(5.8)
Die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses n-ter Ordnung hat allgemein die Form:
A( s)
=
A0
(5.9)
1+
s ⋅ τ
1
+ s
2
⋅ τ
1
⋅ τ
2
n
+ . . . + s
⋅
n
∏
i = 1
τ
i
Die Ordnung des Filters ist gleich der höchsten Potenz von s. Für die Realisierung der Filter ist es
günstig, wenn man das Nennerpolynom in Faktoren zerlegt ist. Wenn man neben den reellen
negativen Polen auch komplexe Pole zulässt, ist eine Zerlegung in Linearfaktoren entsprechend
Gl. 5.3 nicht mehr möglich. Man erhält im Nenner Produkte aus quadratischen Ausdrücken. Wir
wollen hier die Bezeichnungen vom LRC-Tiefpass 2. Ordnung auf Filter höherer Ordnung
anwenden.
A( s)
=
(1+
s ⋅ τ
C1
+ s
2
⋅ τ
C1
⋅ τ
L1
A
0
) ⋅ (1+
s ⋅ τ
C2
+ s
Für theoretische Betrachtungen wird s = sn · ωg, ai = τCi · ωg und bi = (τCi · ωg) · (τLi · ωg) normiert.
A( sn
) =
(1+
a ⋅ s + b
A0
2
⋅ s ) ⋅ (1+
a ⋅ s + b
2
⋅ s ) ⋅.
. .
(5.11)
1
n
1
n
2
n
2
In Gleichung 5.11 sind ai und bi positive reelle Koeffizienten. Bei ungerader Ordnung ist der
Koeffizient b1 = 0.
Der Frequenzgang lässt sich nach verschiedenen theoretischen Gesichtspunkten optimieren. Aus
solchen Optimierungsüberlegungen folgen ganz bestimmte Werte für die Koeffizienten ai und bi.
Hierbei entstehen konjugiert komplexe Pole, die man mit LRC-Tiefpässen realisieren kann.
Günstiger ist die Realisierung mit aktiven Filtern bestehend aus Widerständen, Kondensatoren
und Operationsverstärkern.
Neben den Filtern mit kritischer Dämpfung, bei denen die Sprungantwort aperiodisch erfolgt,
werden Bessel-Tiefpassfilter, Butterworth-Tiefpassfilter und Tschebyscheff-Tiefpassfilter in der
Praxis angewendet.
Bessel-Tiefpassfilter besitzen ein optimales Rechteckübertragungsverhalten. Die Voraussetzung
hierfür ist, dass die Gruppenlaufzeit über einen möglichst großen Frequenzbereich konstant ist,
d.h. dass die Phasenverschiebung in diesem Frequenzbereich proportional zur Frequenz ist. Beim
Bessel-Tiefpass knickt der Amplitudengang stärker als beim Filter mit kritischer Dämpfung
jedoch nicht so scharf wie beim Butterworth-Tiefpassfilter und beim Tschebyscheff-Tiefpassfilter.
Nach Gl. 5.8 ergibt sich die Phasenverschiebung eines Tiefpasses 2. Ordnung zu:
ωRC
ω⋅
τC
ϕ ( ω)
= - arctan = - arctan
(5.12)
2
2
1 - ω LC 1-
ω ⋅ τ ⋅ τ
C
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 47
C
2
n
⋅ τ
L
C2
⋅ τ
C
L2
L
) ⋅.
. .
(5.10)