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5. Aktive Filter
5.1 Theoretische Grundlagen von Tiefpassfiltern
Im Grundstudium haben wir einfache Hoch- und Tiefpässe kennen gelernt. Die Schaltung des
einfachsten Tiefpasses ist hier noch einmal dargestellt. Für sinusförmige Eingangssignale
R
kann das Verhältnis der komplexen Ausgangsspannung Ua zur
komplexen Eingangsspannung Ue als der Frequenzgang F(jω) bzw.
A(jω) angegeben werden.
Ue C Ua Einfachster passiver Tiefpass
F(j
U
a
jϕ(
ω)
ω ) = A(jω)
= = = = A( ω)
⋅ e
(5.1)
U e 1+
jωRC
1+
jωτ
Der Betrag des Frequenzganges ist der Amplitudengang A(ω) und die Phase des Frequenzganges
der Phasengang φ(ω). Für den einfachsten Tiefpass nach Gl. 5.1 gilt:
1
1
A(
ω ) =
=
ϕ(
ω)
= - arctan( ωRC)
= - arctan( ωτ)
(5.2)
2
2
1+
( ωRC)
1+
( ωτ)
Für Frequenzen, die deutlich über der Grenzfrequenz liegen (f >> fg), d.h. ωτ >> 1, wird der
Amplitudengang A(ω) = 1/(ωτ); das entspricht einer Verstärkungsabnahme von 20 dB je
Frequenzdekade.
Benötigt man einen steileren Verstärkungsabfall, kann man n Tiefpässe in Reihe schalten. Für
die Reihenschaltung entkoppelter Tiefpässe erhält man den Frequenzgang:
1
A n (jω
) =
(5.3)
(1+
jωτ
) ⋅ (1+
jωτ
) ⋅.
. . ⋅ (1+
jωτ
)
Für Frequenzen, die deutlich über der höchsten Grenzfrequenz liegen, d.h. ωτn >> 1, wird der
Amplitudengang A(ω) ~ 1/(ωτn) n , die Verstärkung nimmt also um n · 20 dB je Dekade ab.
Haben alle entkoppelten Tiefpässe die gleiche Grenzfrequenz (τ1 = τ2 = ..... = τn), dann gilt bei
Grenzfrequenz der Reihenschaltung aller Filter:
A
n
Bei der Grenzfrequenz fgn der einzelnen Filter ist ωgn · τn = 1. Die einzelnen Tiefpässe besitzen
dann eine um den Faktor 1/(ωg · τn) nach Gl. 5.4 höhere Grenzfrequenz als das ganze Filter.
Filter höherer Ordnung, die so realisiert werden, sind kritisch gedämpft. Die Sprungantwort
hat einen aperiodischen Verlauf.
Mit dem LRC-Tiefpass 2. Ordnung kann man einen steileren Verstärkungsabfall erreichen als mit
dem einfachsten Tiefpassfilter. Hier wollen wir die Betrachtungen für beliebige Zeitverläufe
R
L
durchführen. Es kann die DGL für die zeitabhängigen
Spannungen aufgestellt werden.
ue(t) C ua(t) u e (t) = u a ( t)
+ R ⋅ C ⋅ u&
a ( t)
+ L ⋅ C ⋅ &u
&a
( t)
(5.5)
LRC-Tiefpass 2. Ordnung
1
1
n
2
1
n
⎛
⎞
⎜ 1 ⎟ 1
n
( ω g ) = ⎜
⎟ = ⇒ ωg
⋅ τn
= 2 -1
(5.4)
⎜
2
1+
( ω ) ⎟ 2
⎝ g ⋅ τn
⎠
Mit R · C = τC und L/R = τL gilt:
(t) = u ( t)
+ τ ⋅ u&
( t)
+ τ ⋅ τ ⋅ &u
& ( t)
(5.6)
u e
a C a L C a
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 46

Wenn die Anfangsbedingungen gleich Null gesetzt werden, kann die Transformation in den
Bildbereich erfolgen. Die Übertragungsfunktion A(s) gibt das Verhältnis der Laplacetransformierten
von Ausgangs- und Eingangsspannung für beliebig von der Zeit abhängige Signale an.
Für den LRC-Tiefpass 2. Ordnung gilt:
A( s)
=
L
L
{ u a ( t)
}
{ u ( t)
}
e
1
= (5.7)
2
1+
s ⋅ τ + s ⋅ τ ⋅ τ
C
C
L
Der Frequenzgang F(jω) bzw. A(jω) des LRC-Tiefpasses 2. Ordnung lautet:
1
F(
jω
) = A(jω)
=
2
1+
jωRC
- ω LC
=
1+
jω⋅
τ
1
2
- ω ⋅ τ ⋅ τ
jϕ(
ω)
= A( ω)
⋅ e
(5.8)
Die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses n-ter Ordnung hat allgemein die Form:
A( s)
=
A0
(5.9)
1+
s ⋅ τ
1
+ s
2
⋅ τ
1
⋅ τ
2
n
+ . . . + s
⋅
n
∏
i = 1
τ
i
Die Ordnung des Filters ist gleich der höchsten Potenz von s. Für die Realisierung der Filter ist es
günstig, wenn man das Nennerpolynom in Faktoren zerlegt ist. Wenn man neben den reellen
negativen Polen auch komplexe Pole zulässt, ist eine Zerlegung in Linearfaktoren entsprechend
Gl. 5.3 nicht mehr möglich. Man erhält im Nenner Produkte aus quadratischen Ausdrücken. Wir
wollen hier die Bezeichnungen vom LRC-Tiefpass 2. Ordnung auf Filter höherer Ordnung
anwenden.
A( s)
=
(1+
s ⋅ τ
C1
+ s
2
⋅ τ
C1
⋅ τ
L1
A
0
) ⋅ (1+
s ⋅ τ
C2
+ s
Für theoretische Betrachtungen wird s = sn · ωg, ai = τCi · ωg und bi = (τCi · ωg) · (τLi · ωg) normiert.
A( sn
) =
(1+
a ⋅ s + b
A0
2
⋅ s ) ⋅ (1+
a ⋅ s + b
2
⋅ s ) ⋅.
. .
(5.11)
1
n
1
n
2
n
2
In Gleichung 5.11 sind ai und bi positive reelle Koeffizienten. Bei ungerader Ordnung ist der
Koeffizient b1 = 0.
Der Frequenzgang lässt sich nach verschiedenen theoretischen Gesichtspunkten optimieren. Aus
solchen Optimierungsüberlegungen folgen ganz bestimmte Werte für die Koeffizienten ai und bi.
Hierbei entstehen konjugiert komplexe Pole, die man mit LRC-Tiefpässen realisieren kann.
Günstiger ist die Realisierung mit aktiven Filtern bestehend aus Widerständen, Kondensatoren
und Operationsverstärkern.
Neben den Filtern mit kritischer Dämpfung, bei denen die Sprungantwort aperiodisch erfolgt,
werden Bessel-Tiefpassfilter, Butterworth-Tiefpassfilter und Tschebyscheff-Tiefpassfilter in der
Praxis angewendet.
Bessel-Tiefpassfilter besitzen ein optimales Rechteckübertragungsverhalten. Die Voraussetzung
hierfür ist, dass die Gruppenlaufzeit über einen möglichst großen Frequenzbereich konstant ist,
d.h. dass die Phasenverschiebung in diesem Frequenzbereich proportional zur Frequenz ist. Beim
Bessel-Tiefpass knickt der Amplitudengang stärker als beim Filter mit kritischer Dämpfung
jedoch nicht so scharf wie beim Butterworth-Tiefpassfilter und beim Tschebyscheff-Tiefpassfilter.
Nach Gl. 5.8 ergibt sich die Phasenverschiebung eines Tiefpasses 2. Ordnung zu:
ωRC
ω⋅
τC
ϕ ( ω)
= - arctan = - arctan
(5.12)
2
2
1 - ω LC 1-
ω ⋅ τ ⋅ τ
C
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 47
C
2
n
⋅ τ
L
C2
⋅ τ
C
L2
L
) ⋅.
. .
(5.10)

Die Gruppenlaufzeit tgr ist definiert als:
t
Für ω 2 · τC · τL

A / A0 in dB
ϕ / °
Tgr
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-90
-180
-270
-360
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0,01 0,1 1 10 100
ω n
Amplitudengang von Bessel-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0,01 0,1 1 10 100
ω n
Phasengang von Bessel-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0,01 0,1 1 10 100
ω n
Normierte Gruppenlaufzeit von Bessel-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 49

Die Sprungantwort ua(t)/ue zeigt das geringe Überschwingen bei Bessel-Tiefpassfiltern. Beim
Tiefpass 4. Ordnung beträgt das Überschwingen nur 0,43%. Beim Tiefpass 4. Ordnung wird
der Endwert nach t = 2,8 · Tg mit einer Toleranz von ±0,5% bereits erreicht. Beim Tiefpass 4.
Ordnung mit kritischer Dämpfung, bei dem kein Überschwingen auftritt, wird dieser Wert erst
nach t = 3,6 · Tg erreicht.
ua(t) / ue
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0 1 2 3 4 5 6
t / Tg Sprungantwort von Bessel-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
Butterworth-Tiefpassfilter besitzen im Gebiet ωn < 1 einen nahezu horizontalen Verlauf der
Verstärkung A. Aus Gl. 5.9 ergibt sich für den Betrag der Verstärkung eines Tiefpasses n-ter
Ordnung die allgemeine Form in Abhängigkeit der normierten Kreisfrequenz:
Ungerade Potenzen von ωn treten nicht auf, da das Betragsquadrat eine gerade Funktion ist.
Um einen möglichst horizontalen Verlauf der Verstärkung unterhalb der Grenzfrequenz zu
erhalten, sollte A 2 2
2 2
A0
A = A =
(5.19)
2 4
2n
1+
k 2 ⋅ ωn
+ k 4 ⋅ ωn
+ ... + k 2n ⋅ ωn
nur von der höchsten Potenz von ωn abhängen. Für Butterworth-
Tiefpassfilter gilt die Forderung:
2
A
2
= A
2
A0
=
2n
1+
k 2n ⋅ ωn
(5.20)
Der Koeffizient k2n ergibt sich aus der Normierungsbedingung, wenn die Verstärkung A für
ωn = 1 um 3 dB abnehmen soll. Daraus folgt:
2
A =
2
A0
2
2
A0
=
1+
k 2n
⇒ k 2n = 1
(5.21)
Für das Betragsquadrat der Verstärkung von Butterworth-Tiefpassfiltern n-ter Ordnung ergibt
sich somit:
A
2
2
0
2n
n
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
2 A
= A =
(5.22)
1+
ω
Für ein Butterworth-Tiefpassfilter 2. Ordnung kann entsprechend Gl. 5.8 das Verhältnis der
Zeitkonstanten zu τC = 2 · τL bestimmt werden. Die Werte der Zeitkonstanten sind τC = 1,4142/ωg
und τL = 0,7071/ωg. Da bei Butterworth-Tiefpassfiltern mit gerader Ordnung der Koeffizient bi
immer 1 ist, gelten für b1 = 1 und für a1 = 1,4142. Beim Tiefpassfilter 1. Ordnung und bei dem 1.
Teilfilter von Filtern mit ungerader Ordnung sind die Koeffizienten a1 = 1 und b1 = 0.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 50

Da in Gl. 5.22 nur die höchste Potenz von ωn auftritt, werden Butterworth-Tiefpassfilter auch als
Potenz-Tiefpassfilter bezeichnet.
Die Butterworth-Polynome bis zur 4. Ordnung lauten:
n = 1
n
n
=
=
2
3
1+
s
1+
n
2 ⋅s
1+
2 ⋅s
n
n
+ s
2
n
2
n
+ 2 ⋅s
+ s
3 n
=
2
( 1+
sn
) ⋅ ( 1+
sn
+ sn
)
2
4
2
2
+ 2,613⋅
s + s = ( 1+
1,848 ⋅s
+ s ) ⋅ ( 1+
0,765 ⋅s
+ s )
n = 4 1+
2,613⋅
sn
+ 3,414 ⋅s
n
n
n n
n n
Butterworth-Tiefpassfilter höherer Ordnung werden wie Bessel-Tiefpassfilter realisiert.
Zum Vergleich sind der Amplitudengang |A|/A0, der Phasengang φ und die normierte
Gruppenlaufzeit Tgr für Butterworth-Tiefpassfilter 1. – 4. Ordnung bezogen auf die normierte
Kreisfrequenz ωn in den folgenden Diagrammen dargestellt.
10
A / A0 in dB
ϕ / °
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
0
-90
-180
-270
-360
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
Amplitudengang von Butterworth-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
Phasengang von Butterworth-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 51
3 n
0,01 0,1 1 10 100
ω n
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0,01 0,1 1 10 100
ω n

Tgr
Normierte Gruppenlaufzeit von Butterworth-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
Die Sprungantwort ua(t)/ue zeigt das Überschwingen bei Butterworth-Tiefpassfiltern. Beim
Tiefpass 4. Ordnung beträgt das Überschwingen bereits 10,84%. Beim Tiefpass 4. Ordnung
wird der Endwert nach t = 2,12 · Tg mit einer Toleranz von ±0,5% bereits erreicht.
ua(t) / ue
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,01 0,1 1 10 100
ω n
Sprungantwort von Butterworth-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
Tschebyscheff-Tiefpassfilter besitzen im Gebiet ωn < 1 die Verstärkung A0, die jedoch noch
unterhalb der Grenzfrequenz mit einer gewissen, vorgegebenen Welligkeit schwankt.
Polynome, die in einem gewissen Bereich eine konstante Welligkeit besitzen, sind die
Tschebyscheff-Polynome.
⎧ cos(
n ⋅ arccos x)
für 0 ≤ x ≤1
Tn (x) = ⎨
(5.23)
⎩cosh(
n ⋅ Arcosh x)
für x > 1,
Für ganzzahlige n gilt:
n
n
2
2
Tn (x) 1 ⋅ x x -1
x - x -1
2
⎜
⎛ + ⎟
⎞ ⋅ ⎜
⎛
⎟
⎞
⎠
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0 1 2 3 4 5 6
t / T g
= (5.24)
⎝ ⎠ ⎝
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 52

Im Bereich 0 ≤ x ≤1 pendelt ⎟T(x)⎢ zwischen 0 und 1; für x > 1 steigt T(x) monoton an. Um
aus den Tschebyscheff-Polynomen die Gleichung eines Tiefpasses herzustellen setzt man:
2
2 2 k ⋅ A0
A = A =
(5.25)
2 2
1+
ε ⋅ T ( x)
2
Die Konstante k wird so gewählt, dass für x = 0 das Verstärkungsquadrat A = A wird, d.h.
0
k = 1 für ungerades n und k = 1 + ε 2 für gerades n. Der Faktor ε ist ein Maß für die Welligkeit.
2
A
A A
max = A0
⋅ 1+
ε ⎪⎫
max = 0 ⎫
⎬ bei gerader Ordnung
bei ungerader Ordnung
2 ⎬
A A
Amin
= A0
1+
ε
min = 0 ⎪⎭
⎭
Die Berechnung der Tschebyscheff-Tiefpassfilter erfolgt in Analogie zu den Butterworth-
Tiefpassfiltern. Die Normierung auf die 3-dB-Grenzfrequenz ωg wird hier jedoch nicht erfüllt,
sondern auf eine Frequenz ωC, bei der die Verstärkung zum letzten Mal den Wert Amin
annimmt. Mit einer bestimmten Normierungskonstanten α wird dann abschließend auf die
3-dB-Grenzfrequenz ωg normiert. Die Tschebyscheff-Polynome für n = 1 – 4 lauten:
n = 1
n
n
n
=
=
=
2
3
4
T
T
T
T
1
2
3
4
( x)
( x)
( x)
( x)
=
=
=
=
x
2x
4x
8x
2
3
4
n
−1
− 3x
- 8x
2
+ 1
Welligkeit 0,5 dB 1,0 dB 2,0 dB 3,0 dB
Amax / Amin 1,059 1,122 1,259 1,413
k 1,122 1,259 1,585 1,995
ε 0,349 0,509 0,765 0,998
Zusammenstellung einiger Tschebyscheff-Parameter
Zum Vergleich sind der Amplitudengang |A|/A0, der Phasengang φ und die normierte
Gruppenlaufzeit Tgr für Tschebyscheff-Tiefpassfilter 1. – 4. Ordnung mit 3-dB-Welligkeit
bezogen auf die normierte Kreisfrequenz ωn in den folgenden Diagrammen dargestellt. In
einem weiteren Diagramm sind die Sprungantworten dieser Tiefpässe dargestellt.
A / A0 in dB
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0,01 0,1 1 10 100
Amplitudengang von Tschebyscheff-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung mit 3 dB Welligkeit
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 53
ω n
2

ϕ / °
-180
-270
-360
Tgr
ua(t) / ue
0
-90
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
1. Ord.
2. Ord.
3. Ord.
4. Ord.
0,01 0,1 1 10 100
Phasengang von Tschebyscheff-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung mit 3 dB Welligkeit
0,01 0,1 1
ω
10 100
n
Normierte Gruppenlaufzeit von Tschebyscheff-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung
mit 3 dB Welligkeit
Sprungantwort von Tschebyscheff-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung mit 3 dB Welligkeit
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 54
ω n
1. Ord. 2. Ord.
3. Ord. 4. Ord.
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0 1 2 3 4 5 6
t / T g

Zusammenfassung der Theorie
Die Übertragungsfunktion aller Tiefpassfilter lässt sich nach Gl. 5.26 darstellen.
A0
A( sn
) =
(5.26)
2
(1+
a ⋅ s + b ⋅ s )
∏
i
i
n
i
n
Die Ordnung n des Filters ist gegeben durch die höchste Potenz von sn, wenn man den Nenner
von Gl. 5.26 ausmultipliziert. Die Asymptotensteigung des Frequenzganges der Verstärkung
beträgt -n · 20 dB/Dekade. Der übrige Verlauf der Verstärkung wird für die jeweilige
Ordnung durch den Filtertyp bestimmt. Von besonderer Bedeutung sind Butterworth-,
Tschebyscheff- und Bessel-Filter, die sich durch die Koeffizienten ai und bi unterscheiden.
Für die Überprüfung von aktiven Filtern ist es günstig, wenn die 3-dB-Grenzfrequenz eines
jeden Teilfilters durch die Größe fgi/fg bekannt ist. Um Instabilitäten bei einzelnen Filtern
abschätzen zu können, ist es vorteilhaft, wenn die Polgüte Qi der einzelnen Teilfilter bekannt
ist. Sie ist in Analogie zur Güte der selektiven Filter definiert als:
bi
Q i =
(5.27)
a
i
Je größer die Polgüte ist, desto größer ist die Neigung des Filters zu Instabilitäten. Filter mit
reellen Polen besitzen eine Polgüte Q ≤ 0,5.
Mit den Koeffizienten ai und bi der faktorisierten Übertragungsfunktion lässt sich der
Amplitudengang, der Phasengang und die normierte Gruppenlaufzeit berechnen:
A / A0 in dB
2 2
A0
A = A =
(5.28)
2
2 2 4
[1+
( a - 2b ) ⋅ ω + b ⋅ ω ]
∏
i
i
i
2
n
i
n
a i ⋅ ωn
ϕ = -∑
arctan
(5.29)
2
1-
b ⋅ ω
i
i
n
1 a i ⋅ (1+
bi
⋅ ωn
)
T gr = ⋅∑
(5.30)
2π
2
2 2 4
1+
(a - 2b ) ⋅ ω + b ⋅ ω
10
0
-10
-20
i
i
i
n
2
i
n
-30
-40
kritische Dämpfung
Bessel
-50
Butterworth
-60
-70
Tschebyscheff 3 dB
0,01 0,1 1
ωn 10 100
Amplitudengang von Tiefpässen 4. Ordnung
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 55

Die Koeffizienten für Filter mit kritischer Dämpfung, Bessel-, Butterworth- und
Tschebyscheff-Filter mit 3 dB Welligkeit sind in der nachfolgenden Tabelle bis zur 4.
Ordnung angegeben. In der Literatur [1] sind die Koeffizienten bis zur 10. Ordnung
angegeben.
n i ai bi fgi/fg Qi
Filter mit kritischer Dämpfung
1 1 1,0000 0,0000 1,000 -
2 1 1,2872 0,4142 1,000 0,50
3 1 0,5098 0,0000 1,961 -
2 1,0197 0,2599 1,262 0,50
4 1 0,8700 0,1892 1,480 0,50
2 0,8700 0,1892 1,480 0,50
Bessel-Filter
1 1 1,0000 0,0000 1,000 -
2 1 1,3617 0,6180 1,000 0,58
3 1 0,7560 0,0000 1,323 -
2 0,9996 0,4772 1,414 0,69
4 1 1,3397 0,4889 0,978 0,52
2 0,7743 0,3890 1,797 0,81
Butterworth-Filter
1 1 1,0000 0,0000 1,000 -
2 1 1,4142 1,0000 1,000 0,71
3 1 1,0000 0,0000 1,000 -
2 1,0000 1,0000 1,272 1,00
4 1 1,8478 1,0000 0,719 0,54
2 0,7654 1,0000 1,390 1,31
Tschebyscheff-Filter mit 3 dB Welligkeit
1 1 1,0000 0,0000 1,000 -
2 1 1,0650 1,9305 1,000 1,30
3 1 3,3496 0,0000 0,299 -
2 0,3559 1,1923 1,396 3,07
4 1 2,1853 5,5339 0,557 1,08
2 0,1964 1,2009 1,410 5,58
Tiefpass-Hochpass-Transformation
In der logarithmischen Darstellung kommt man vom Tiefpass zum analogen Hochpass, indem
man die Frequenzgangkurve der Verstärkung an der Grenzfrequenz spiegelt, d.h. ωn durch
1/ωn, bzw. sn durch 1/sn ersetzt. Die Grenzfrequenz bleibt dabei erhalten, und A0 geht in A∞
über. Die Übertragungsfunktion nach Gl. 5.26 lautet dann:
∏ ⎟ A( sn
) =
A∞
⎛ ⎞
⎜
a i bi
1+
+
⎜
2
i ⎝ sn
sn
⎠
(5.31)
Die Überlegungen über das Verhalten im Zeitbereich können allerdings nicht übernommen
werden, da die Sprungantwort ein prinzipiell anderes Verhalten aufweist. Selbst bei Hochpassfiltern
mit kritischer Dämpfung ergibt die Sprungantwort eine abklingende Schwingung
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 56

um den stationären Wert. Die Analogie zu den entsprechenden Tiefpassfiltern bleibt jedoch
insofern erhalten, als der Einschwingvorgang um so langsamer abklingt, je größer die
Polgüten Qi sind. Zum Vergleich sind die Sprungantworten von Hochpassfiltern 4. Ordnung
mit kritischer Dämpfung, als Bessel-, Butterworth- und Tschebyscheff-Hochpass mit 3 dB
Welligkeit dargestellt.
ua(t) / ue
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
0 1 2 3
t / Tg 4 5 6
5.2
Sprungantwort von Hochpässen 4. Ordnung
Realisierung von Tief- und Hochpassfiltern
Die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses erster Ordnung kann mit einem einfachen RC-Glied
realisiert werden, wenn die Gleichspannungsverstärkung A0 = 1 beträgt.
A0
A(
sn
) =
1+
a ⋅s
1
=
1+
s ⋅ RC
=
1+
ω
1
⋅ RC ⋅s
(5.32)
1
n
g
Der Parameter a1 lässt sich frei wählen. Der Koeffizientenvergleich (Gl. 5.32) liefert die
Dimensionierung:
a1
a1
RC
= =
(5.33)
ω 2π
⋅ f
g
g
Entsprechend der Koeffiziententabelle sind in der ersten Ordnung alle Filtertypen identisch und
besitzen den Koeffizienten a1 = 1. Bei der Realisierung von Filtern höherer Ordnung durch
Reihenschaltung von Teilfiltern 1. und 2. Ordnung treten auch Teilfilter 1. Ordnung auf, bei
denen a1 ≠ 1 ist. Die Teilfilter besitzen in der Regel eine andere Grenzfrequenz als das
Gesamtfilter, nämlich fg1 = fg/a1.
Dem einfachen Tiefpass muss im Allgemeinen ein Impedanzwandler nachgeschaltet werden,
damit sich durch die Belastung die Eigenschaften nicht verändern.
U e
R 1
C 1
R 2
R 3
U a
Frequenzgang des Tiefpasses 1. Ordnung mit
Impedanzwandler:
A(jω
)
1+
jω⋅
R
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 57
n
kritische Dämpfung
Bessel
Butterworth
Tschebyscheff 3 dB
=
(R
2
+ R
3
)
1
R
⋅ C
Tiefpass 1. Ordnung mit Impedanzwandler
Einen analogen Hochpass 1. Ordnung erhält
man, wenn man R1 und C1 vertauscht.
3
1

In der Industrieelektronik werden Tief- und Hochpässe 1. Ordnung häufig mit Operationsverstärkern
in Gegenkopplung realisiert. Zur Dimensionierung gibt man die Grenzfrequenz fg, die
hier negative Gleichspannungsverstärkung A0 und die Kapazität C1 vor. Durch Koeffizientenvergleich
(Gl.5.32) erhält man R2 und R1 für den Tiefpass 1. Ordnung mit Umkehrverstärker.
a1
R 2
R 2 =
und R1
= -
(5.34)
2π
⋅ f ⋅ C
A
Für die Dimensionierung des analogen Hochpasses gibt man die Grenzfrequenz fg, die hier
negative Gleichspannungsverstärkung A∞ und die Kapazität C1 vor. Durch Koeffizientenvergleich
(Gl.5.31) erhält man R2 und R1 für den Hochpass 1. Ordnung mit Umkehrverstärker.
1
R1 =
und R 2 = - R1
⋅ A∞
(5.35)
2π
⋅ f ⋅ a ⋅ C
A(jω
)
=
g
g
U
U
a
e
1
1
1
R 2 R1
= -
1+
jω⋅
R ⋅ C
2
1
0
A(jω
)
R 2 R1
= -
1
1+
jω⋅
R ⋅ C
Tiefpass 1. Ord. mit Umkehrverstärker Hochpass 1. Ord. mit Umkehrverstärker
Die Übertragungsfunktionen besitzen nur in dem Frequenzbereich Gültigkeit, in dem der Betrag
der Differenzverstärkung des Operationsverstärkers groß ist gegenüber dem Betrag von A.
Besonders beim Hochpass ist das bei höheren Frequenzen nur schwer zu erfüllen.
Die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses 2. Ordnung lautet allgemein:
A(
s
U e
n
A0
) =
1+
a ⋅s
+ b ⋅s
1
n
1
2
n
A0
=
1+
s ⋅ RC + s
2
Zur Realisierung von Tiefpassfiltern können grundsätzlich LRC-Tiefpässe verwendet werden.
Aus dem Tiefpass 1. Ordnung mit Impedanzwandler kann man durch Reihenschaltung der
Induktivität L1 zum Widerstand R1 einen Tiefpass 2. Ordnung realisieren. Zur Dimensionierung
gibt man C1 vor und erhält durch Koeffizientenvergleich (Gl. 5.36) die anderen Bauelemente.
R 2 + R 3
a1
b1
= A0
R1
=
L1
=
(5.37)
R
2π
⋅ f ⋅ C
2 2
4π
⋅ f ⋅ C
3
R 1
R 2
C 1
U a
g
1
Mit einem Operationsverstärker mit Einfachmitkopplung kann die Induktivität, die bei niedrigen
Frequenzen nur schlecht realisiert werden kann, durch einen Kondensator ersetzt werden [1].
Besonders günstig lassen sich Tief- und Hochpassfilter 2. Ordnung mit Operationsverstärkern
durch geeignete RC-Beschaltung in Mehrfachgegenkopplung realisieren.
Beim aktiven Tiefpassfilter 2. Ordnung in Mehrfachgegenkopplung ist die Gleichspannungsverstärkung
A0 negativ. Das Filter bewirkt bei niedrigen Frequenzen demnach eine Signalinvertierung.
Die Bauelemente erhält man durch Koeffizientenvergleich mit der Übertragungsfunktion
Gl. 5.26.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 58
U e
C 1
g
=
U
U
A0
=
⋅ LC 1+
ω ⋅ RC ⋅s
+ ω ⋅ LC ⋅s
g
R 1
a
e
1
n
2
g
R 2
1
2
n
1
U a
(5.36)

Aktives Tiefpassfilter 2. Ordnung mit
Mehrfachgegenkopplung
- R 2 R1
A(jω
) =
⎛ R 2 ⋅ R 3 ⎞ 2
1+
jω⋅
C1
⋅ ⎜
⎜R
2 + R 3 + − ω ⋅ C1
⋅ C2
⋅ R 2 ⋅ R 3
R ⎟
⎝
1 ⎠
Der Koeffizientenvergleich liefert:
(5.38)
A = - R R
a
b
1
1
0
2
g
2
⋅ C
1
1
⎛ R 2 ⋅ R 3 ⎞
= ωg
⋅ C1
⋅ ⎜
⎜R
2 + R 3 +
R ⎟
(5.39)
⎝
1 ⎠
=
ω
⋅ C
2
⋅ R
2
⋅ R
3
Um die gewünschten Frequenzgänge zu erhalten, dürfen die Bauelemente keine zu großen
Toleranzen aufweisen. Da Kondensatoren häufig nur in der Normreihe E6 erhältlich sind, ist es
vorteilhaft, wenn bei der Dimensionierung von Filtern die Kondensatoren vorgegeben und die
Widerstände berechnet werden. Widerstände mit einer Toleranz von 1% in der Normreihe E96
werden üblicherweise lagermäßig geführt. Damit sich für alle Widerstände ein reeller Wert ergibt,
muss folgende Bedingung erfüllt werden:
4 ⋅ b1
⋅ ( 1 - A0
)
C2 ≥ ⋅ C
2 1
(5.40)
a1
Die Dimensionierungsgleichungen (Gl. 5.39) nach den Widerständen aufgelöst ergeben:
R
R
R
U e
2
1
3
=
R 1
a
1
R 2
=
- A
=
4π
0
2
R 2
⋅ C
2
⋅ f
-
2
g
b
a
2
1
1
⋅ C
C 2
1
R 3
⋅ C
⋅ C
2
2
4π
⋅ f
2
- 4 ⋅ C
g
⋅ R
⋅ C
2
C 1
1
1
⋅ C
⋅ C
2
2
⋅ b
1
⋅ (1-
A
Es ist günstig, wenn man C1 vorgibt und für C2 den nächst größeren Normwert nach Gl. 5.40
wählt. Die Daten des Filters sind relativ unempfindlich gegenüber Bauteiltoleranzen. Die
Schaltung ist besonders geeignet zur Realisierung von Filtern mit höherer Güte.
Bei Filtern 3. Ordnung ist es möglich, den ersten Operationsverstärker einzusparen. Dem aktiven
Filter 2. Ordnung wird dann ein passiver Tiefpass 1. Ordnung vorgeschaltet. Durch die gegenseitige
Belastung wird eine andere Dimensionierung notwendig, deren Berechnung wesentlich
schwieriger ist als im entkoppelten Fall.
Tiefpassfilter lassen sich in Hochpassfilter umwandeln, indem man die Widerstände mit den
Kondensatoren vertauscht. Besonders einfach ist die Dimensionierung bei Hochpassfiltern mit
Einfachmitkopplung [1].
Beim aktiven Hochpassfilter 2. Ordnung mit Mehrfachgegenkopplung wird zunächst das
Verhältnis C1/C2 vorgegeben, welches der Spannungsverstärkung -A∞ entspricht. Anschließend
wird der Kondensator C3 aus der Normreihe ausgewählt. Die Berechnung der Widerstände R1 und
R2 erfolgt durch Koeffizientenvergleich aus den Gleichungen 5.43.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 59
U a
0
)
(5.41)

2
2
Der Koeffizientenvergleich von Gl. 5.42 und Gl. 5.31 liefert:
A = - C C
3
2
3
Aktives Hochpassfilter 2. Ordnung
mit Mehrfachgegenkopplung
- C1
C2
A(jω
) =
(5.42)
C1
+ C2
+ C3
1
1+
−
jω⋅
C ⋅ R ⋅ C 2
ω ⋅ C ⋅ C ⋅ R ⋅ R
a
b
1
1
∞
=
=
ω
ω
C
g
2
g
1
1
+ C
⋅ C
⋅ C
2
2
2
2
⋅ R
1
⋅ C
+ C
2
3
3
⋅ C
⋅ R
3
1
⋅ R
2
Tief- und Hochpassfilter höherer Ordnung lassen sich durch Reihenschaltung von Filtern 1. Ordnung
und Filtern 2. Ordnung mit Mehrfachgegenkopplung gut realisieren. Die Spannungsverstärkung
A0 bzw. A∞ der Teilfilter muss gleich sein. Bei den Filtern wird immer mit der Grenzfrequenz
des resultierenden Gesamtfilters gerechnet. Nicht Grenzfrequenz der Einzelfilter!
5.3 Bandpassfilter
Ähnlich der Transformation der Frequenzvariablen eines gegebenen Tiefpass-Frequenzganges in
den entsprechenden Hochpass-Frequenzgang, kann auch der Frequenzgang eines Bandpasses
erzeugt werden. Hierzu wird in der Tiefpass-Übertragungsfunktion die Frequenzvariable sn durch
folgenden Ausdruck ersetzt:
1 ⎛ 1 ⎞
s n ⇒ ⋅ ⎜
⎜s
n + ⎟
(5.44)
∆ωn
⎝ sn
⎠
Durch diese Transformation wird die Amplitudenchakteristik des Tiefpasses vom Bereich
0 ≤ ωn ≤ 1 in den Durchlassbereich eines Bandpasses zwischen der Mittenfrequenz ωn = 1 und der
oberen Grenzfrequenz ωn,max abgebildet. Außerdem erscheint sie im logarithmischen Frequenzmaßstab
an der Mittenfrequenz gespiegelt mit der unteren Grenzfrequenz ωn,min = 1/ωn,max.
Die normierte Bandbreite ∆ωn ist frei wählbar. Aus der angegebenen Abbildungseigenschaft
ergibt sich, dass der Bandpass bei ωn,min und ωn,max dieselbe Verstärkung wie der entsprechende
Tiefpass bei ωn = 1. Es gilt:
∆ ωn
= ωn,
max - ωn,
min und ωn,
max ⋅ ωn,
min = 1
(5.45)
Für die normierten 3-dB-Grenzfrequenzen erhält man:
2
Den einfachsten Bandpass erhält man, wenn man die Transformation auf einen Tiefpass 1.
Ordnung mit A(sn) = A0/(1 + sn) anwendet. Die Transformation nach Gl. 5.44 ergibt für den
Bandpass die Übertragungsfunktion 2. Ordnung:
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 60
1
2
(5.43)
ω = 1 2 ⋅ ( ∆ω
) + 4 ± 1 2∆ω
(5.46)
n, max/min
A(
s
U e
n
C 1
C 2
R 1
A0
) =
1 ⎛
1+
⋅ ⎜
⎜s
∆ωn
⎝
n
C 3
n
+
1
s
n
R 2
A0
⋅ ∆ωn
⋅s
=
⎞ 1+
∆ωn
⋅s
n +
⎟
⎠
n
n
2
sn
U a
(5.47)

Bei Bandpässen interessiert man sich für die Verstärkung Ar bei der Resonanzfrequenz und die
Güte Q. Aus den angegebenen Transformationseigenschaften ergibt sich unmittelbar Ar = A0.
Dies kann man leicht realisieren, indem man in Gl. 5.47 ∆ωn = 1, d.h. sn = j setzt. Da sich für Ar
ein reeller Wert ergibt, ist die Phasenverschiebung bei der Resonanzfrequenz gleich Null.
In Analogie zum Schwingkreis definiert man die Güte als das Verhältnis Resonanzfrequenz fr zu
Bandbreite B. Für die Güte Q gilt:
fr
f r
1 1
Q = =
=
=
(5.48)
B f - f ω - ω ∆ω
max
min
n,
max
n, min
Durch Einsetzen in Gl. 5.47 erhalten wir die Übertragungsfunktion:
( Ar
Q) ⋅s
n
A(
sn
) =
2
1+
s Q + s
n
n
Diese Gleichung ermöglicht es, direkt aus der Übertragungsfunktion eines Bandpasses 2.
Ordnung alle interessierenden Größen abzulesen.
Aus Gl. 5.49 erhalten wir mit sn = jωn den Amplitudengang und den Phasengang des
Bandpasses 2. Ordnung.
( A
2
r Q) ⋅ωn
Q ⋅ (1-
ωn
)
A = A =
ϕ = arctan
(5.50)
A / Ar in dB
ϕ / °
0
-10
-20
-30
-40
90
60
30
1+
ω
2
n
⎛ 1
⋅⎜
⎜
⎝ Q
2
- 2
⎞
⎟
+ ω
⎠
4
n
0,1 1 10
ω n
0
-30
-60
-90
Amplitudengang für Bandpassfilter 2. Ordnung mit der Güte Q = 1 und Q = 10
Q = 1 Q = 10
Phasengang für Bandpassfilter 2. Ordnung mit der Güte Q = 1 und Q = 10
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 61
n
Q = 1 Q = 10
ω
n
(5.49)
0,1 1 10
ω n

Bei Bandpassfiltern 2. Ordnung wird der Amplitudengang um so spitzer, je größer man die
Güte wählt. Es gibt jedoch Anwendungsfälle, bei denen man in der Umgebung der
Resonanzfrequenz einen möglichst flachen Verlauf fordert und trotzdem einen steilen
Übergang in den Sperrbereich benötigt. Diese Optimierungsaufgabe lässt sich durch
Bandpässe höherer Ordnung lösen. Dann hat man die Möglichkeit, außer der Bandbreite ∆ωn
den geeigneten Filtertyp frei zu wählen. Von besonderer Bedeutung ist die Anwendung der
Tiefpass-Bandpass-Transformation auf Tiefpässe 2. Ordnung, die zu Bandpässen 4. Ordnung
führt. Durch Einsetzen der Transformationsbedingung Gl. 5.44 in die Tiefpassgleichung 2.
Ordnung (Gl. 5.36) erhalten wir die Bandpass-Übertragungsfunktion 4. Ordnung:
A(
s
n
) =
a1
1+
⋅ ∆ω
b
1
n
⋅ s
n
s
2
n
⋅ A
0
⎡ ( ∆ω
+ ⎢2
+
⎢⎣
b
⋅ ( ∆ω
n
1
)
n
2
)
2
⎤
⎥ ⋅s
⎥⎦
/ b
2
n
Der Amplitudengang von Bandpässen 4. Ordnung besitzt bei tiefen und hohen Frequenzen
eine Asymptotensteigung von ±12 dB/Oktave. Bei der Mittenfrequenz ωn = 1 wird die
Verstärkung reell und besitzt den Wert Am = A0.
Wie bei den Tiefpassfiltern zerlegt man zur Vereinfachung der Realisierung den Nenner in
Faktoren zweiten Grades. Aus Symmetriegründen wird folgender Ansatz gewählt:
2
2
sn
⋅ Am
⋅ ( ∆ωn
) / b1
A ( sn
) =
(5.52)
⎡
2
⎡ α ⋅s
⎛ ⎞ ⎤
n
2 ⎤ sn
sn
⎢1
+ + ( α ⋅s
n ) ⎥ ⋅ ⎢1
+ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣ Qi
⎦ ⎢ α ⋅ Q
⎣ i ⎝ α ⎠ ⎥⎦
Durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.51 erhält man für α die
Bestimmungsgleichung:
2
⎡
2
2 α ⋅ ∆ωn
⋅ a ⎤
1 1 ( ∆ωn
)
α + ⎢
- 2 - 0
2 ⎥ +
=
(5.53)
2
⎢⎣
b (1 )
b
1 ⋅ + α ⎥⎦
α
1
Sie kann für den entsprechenden Anwendungsfall leicht numerisch (Taschenrechner, Excel)
gelöst werden. Nach der Bestimmung von α erhält man die Polgüte Qi der Teilfilter.
2
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 62
1
a
+
b
1
1
⋅ ∆ω
n
⋅s
3 n
+ s
4
n
(5.51)
( 1+
α ) ⋅ b1
Qi
= (5.54)
α ⋅ ∆ωn
⋅ a1
Je nach Zerlegung des Zählers erhält man zwei verschiedene Realisierungsmöglichkeiten:
Die Aufspaltung in einen konstanten Faktor und einen Faktor, der sn enthält, führt auf die
Reihenschaltung eines Hochpasses mit einem Tiefpass. Diese Realisierung ist bei großer
Bandbreite ∆ωn > 1 vorteilhaft. Zur Dimensionierung des Tiefpasses und des Hochpasses
zerlegen wir Gl. 5.52 in zwei Faktoren und ersetzen ∆ωn = 1/Q gemäß Gl. 5.48.
1 A
⋅ m
1 A
⋅ m
α ⋅ Q b1
α ⋅ Q b1
A ( sn
) =
⋅
(5.55)
⎡
2⎤
⎡
2
1 s ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎤
⎢ + ⋅ n s
1 + n
1 1 1
⎜ ⎟ ⎥ ⎢1
+ ⋅ + ⎥
⎢
⎜
⎟
⎢⎣
Qi
α ⎝ α ⎠ ⎥⎦
Q ⋅ α ⎥
⎣ i sn
⎝ sn
⋅ α ⎠ ⎦
Durch Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.52 und Gl. 5.11 bzw. Gl. 5.31 erhält man die
Dimensionierung für die Teilfilter (Tiefpass 2. Ordnung und Hochpass 2. Ordnung). Für die
Verstärkung der Teilfilter gilt:
1 A
A A
m
0 = ∞ = ⋅
(5.56)
α ⋅ Q b
1

Für die Grenzfrequenz des Tiefpasses 2. Ordnung erhält man fgT1 = fm·α und für die
Grenzfrequenz des Hochpasses 2. Ordnung fgH1 = fm/α. Die Koeffizienten a1 und b1 sind für
beide Teilfilter identisch und es gilt aT1 = aH1 = 1/Qi und für bT1 = bH1 = 1. Sie dürfen nicht
mit den Koeffizienten a1 und b1 des Bandpasses 4. Ordnung verwechselt werden, die aus den
Tabellen (S. 56) für Tiefpässe 2. Ordnung gewählt werden.
Bei kleiner Bandbreite ∆ωn ≤ 1 verwendet man besser die Reihenschaltung zweier Bandpässe
2. Ordnung, die etwas gegeneinander verstimmt sind. Dieses Verfahren wird als „staggered
tuning“ bezeichnet. Zur Dimensionierung der Bandpässe zerlegen wir den Zähler von Gl. 5.52
in zwei Faktoren mit sn gemäß:
( A r Qi
) ⋅ ( α ⋅s
n ) ( A r Qi
) ⋅ ( sn
α)
A ( sn
) =
⋅
(5.57)
⎡ α ⋅s
⎤ ⎡
2
n
2
⎛ ⎞ ⎤
⎢1
+ + ( α ⋅s
sn
sn
n ) ⎥ ⎢1
+ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣ Qi
⎦ ⎢ α ⋅ Q
⎣ i ⎝ α ⎠ ⎥⎦
Durch Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.52 und Gl. 5.49 erhält man die Dimensionierung für
die Teilfilter.
fr Q Ar
Qi ⋅ ∆ωn
⋅ Am
b1
Teilfilter 1: fm / α Qi
Teilfilter 2: fm · α Qi Qi ⋅ ∆ωn
⋅ Am
b1
Darin ist fm die Mittenfrequenz des resultierenden Bandpassfilters und Am die Verstärkung bei
der Mittenfrequenz. Die Größen α und Qi erhält man aus den Gleichungen 5.53 und 5.54.
Die Bandfiltercharakteristik des Butterworth-Bandpasses 4. Ordnung mit Am = 1 und ∆ωn = 1
bestehend aus zwei Teilfiltern 2. Ordnung mit der Güte Qi = 1,5102 und den Resonanzfrequenzen
fr1 = 1,4426 · fm und fr2 = 0,6932 · fm zeigt der Amplitudengang.
A / Am
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Teilfilter 1
Teilfilter 2
Butterworth
0,1 1 10
ω n
Bandfiltercharakteristik des Butterworth-Bandpasses 4. Ordnung mit Teilfiltern
Butterworth-Bandpässe 4. Ordnung haben gegenüber den Tschebyscheff-Bandpässen bei der
Mittenfrequenz fm die größte Verstärkung. Außerdem ist der Amplitudengang von Butterworth-Bandpässen
in der Nähe der Mittenfrequenz besonders flach. Zum Vergleich sind mit
der Bandbreite ∆ωn = 1 der Butterworth-Bandpass 4. Ordnung, der Tschebyscheff-Bandpass
4. Ordnung mit 3-dB-Welligkeit und die selektiven Filter 2. Ordnung mit Q = 1 und Q = 10
dargestellt.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 63

A / Am in dB
10
Amplitudengang für Bandpassfilter 4. Ordnung mit ∆ωn = 1
und selektive Filter 2. Ordnung mit der Güte Q = 1 und Q = 10
Bandpassfilter 2. Ordnung können zwar grundsätzlich durch die Reihenschaltung von einem
Tiefpass und einem Hochpass 1. Ordnung realisiert werden. Die größte Güte die hiermit
realisiert werden kann beträgt Qmax = 0,5. Eine herkömmliche Methode, selektive Filter mit
höherer Güte zu realisieren, ist die Verwendung von Schwingkreisen.
u e(t)
0
-10
-20
-30
-40
C
L
R
Q = 1 Q = 10 Butterworth Tschebyscheff 3 dB
0,1 1 10
ω n
u a(t)
LRC-Bandpassfilter 2. Ordnung
Der Frequenzgang F(jω) bzw. A(jω) des LRC-Bandpasses 2. Ordnung lautet:
jωRC
jω⋅
τC
F(
jω
) = A(jω)
=
=
(5.58)
2
2
1+
jωRC
- ω LC 1+
jω⋅
τ - ω ⋅ τ ⋅ τ
Mit der Resonanzfrequenz ωr = 1/ LC folgt daraus die normierte Darstellung wie sie in
Gl. 5.49 angegeben ist. Der Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.49 liefert:
Q
1
R
L
C
und A r 1 =
⋅ = (5.59)
Gegenüber dem LRC-Bandpassfilter 2. Ordnung ist es schaltungstechnisch jedoch meist
einfacher, die gewünschte Übertragungsfunktion (Gl. 5.49) direkt durch eine spezielle RC-
Rückkopplung eines Operationsverstärkers zu erzeugen.
Bandpässe können mit Operationsverstärkern mit Einfachmitkopplung realisiert werden [1].
Schaltungstechnisch günstiger ist meistens der Bandpass mit Mehrfachgegenkopplung.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 64
C
C
L

Bandpassfilter mit Mehrfachgegenkopplung
R 2 ⋅ R 3
− jω⋅
C ⋅
R1
+ R 3
A(jω
) =
(5.60)
2 R1
⋅ R 3 2 R1
⋅ R 2 ⋅ R 3
1+
jω⋅
C ⋅ − ( ω⋅
C) ⋅
R + R
R + R
1
3
1
Für die Resonanzfrequenz fr wird die Verstärkung des Bandpasses reell. (Koeffizientenvergleich
Gl. 5.49 und 5.60). Für die Resonanzfrequenz fr folgt:
1 R1
+ R 3
f r = ⋅
(5.61)
2π
⋅ C R ⋅ R ⋅ R
1
2
3
Setzt man diese Beziehung in die Übertragungsfunktion ein und vergleicht die übrigen
Koeffizienten mit Gl. 5.49, erhält man die weiteren Ergebnisse:
R 2
1 R 2 ⋅ (R1
+ R 3)
A r = − und Q = ⋅
= π ⋅ R 2 ⋅ C ⋅ fr
(5.62)
2R
2 R ⋅ R
1
1
3
Nach den Gleichungen 5.61 und 5.62 lassen sich die Verstärkung Ar, die Güte Q und die
Resonanzfrequenz fr frei wählen. Für die Bandbreite des Filters erhält man:
fr
1
B = =
(5.63)
Q π ⋅ R ⋅ C
2
Bei der Auswahl des Operationsverstärkers muss darauf geachtet werden, dass die
Leerlaufverstärkung groß gegenüber 2Q 2 bei der Resonanzfrequenz ist.
Bei der Dimensionierung des Bandpasses mit Mehrfachgegenkopplung wählt man die
Kondensatoren C frei aus. Aus Gl. 5.62 erhält man für R2 und R1:
Q
R 2
R 2 = und dann R1
= −
(5.64)
π ⋅ C ⋅ f
2A
r
U e
R 1
C
R 3
C
r
Der Widerstand R3 ergibt sich aus Gl. 5.61:
− Ar
⋅ R
R
1
3 = (5.65)
2
2Q
+ Ar
Die Schaltung besitzt den Vorteil, dass sie auch bei nicht ganz exakter Dimensionierung nicht zu
selbstständigen Schwingungen auf der Resonanzfrequenz neigt. Voraussetzung ist eine richtige
Frequenzkorrektur des Operationsverstärkers.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 65
3
R 2
U a

5.4 Sperrfilter
Zur selektiven Unterdrückung einer bestimmten Frequenz benötigt man ein Filter, dessen
Verstärkung bei der Resonanzfrequenz Null ist und bei höheren und tieferen Frequenzen auf
einen konstanten Wert ansteigt. Solche Filter nennt man Sperrfilter oder Bandsperren. Zur
Charakterisierung der Selektivität definiert man eine Unterdrückungsgüte Q = fr/B. Darin ist
B die 3-dB-Bandbreite. Je größer die Güte des Filters ist, desto steiler fällt die Verstärkung in
der Nähe der Resonanzfrequenz fr ab.
Auch bei der Bandsperre kann man den Frequenzgang durch eine geeignete Frequenztransformation
aus dem Frequenzgang eines Tiefpassfilters erzeugen. Dazu ersetzt man die
Variable sn durch den Ausdruck:
∆ωn
sn
⇒ (5.66)
1
sn
+
sn
Darin ist ∆ωn = 1/Q wieder die normierte 3-dB-Bandbreite. Durch diese Transformation wird
die Amplitudencharakteristik des Tiefpasses vom Bereich 0 ≤ ωn ≤ 1 in den Durchlassbereich
der Bandsperre zwischen 0 ≤ ωn ≤ ωn,g1 abgebildet. Außerdem erscheint sie im logarithmischen
Maßstab an der Resonanzfrequenz gespiegelt. Bei der Resonanzfrequenz ωn = 1
besitzt die Übertragungsfunktion eine Nullstelle. Wie beim Bandpass verdoppelt sich durch
die Transformation die Ordnung des Filters. Besonders interessant ist die Anwendung der
Transformation auf einen Tiefpass 1. Ordnung. Sie führt auf eine Bandsperre 2. Ordnung mit
der Übertragungsfunktion:
A(
s
n
n
n
2
n
A0
⋅ (1+
s )
) =
1+
∆ ω ⋅s
+ s
2
n
n
2
n
A0
⋅ (1+
s )
=
1+
( 1 Q) ⋅ s + s
Aus Gl. 5.67 erhalten wir mit sn = jωn den Amplitudengang und den Phasengang der
Bandsperre 2. Ordnung.
A
=
A
=
A
1+
ω
2
n
0
⋅ (1−
ω
⎛ 1
⋅ ⎜
⎝ Q
2
2
n
)
⎞
− 2⎟
⎟
+ ω
⎠
4
n
Die größte Güte, die mit passiven RC-Schaltungen realisiert werden kann, beträgt Qmax = 0,5.
Eine herkömmliche Methode, selektive Sperrfilter mit höherer Güte zu realisieren, ist die
Verwendung von Saugkreisen. Die Resonanzfrequenz ωr und die Unterdrückungsgüte Q
dieser LRC-Sperrfilter kann durch Koeffizientenvergleich aus Gl. 5.67 bestimmt werden.
LRC-Sperrfilter 2. Ordnung
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 66
2
n
− ωn
⋅ (1−
ωn
)
ϕ = arctan
2
Q ⋅ (1−
ω ) ⋅ (1−
ω )
n
2
2
n
(5.67)
(5.68)
1 L
ω 1
r =
Q = ⋅
(5.69)
L ⋅ C
R C
u e(t)
R
C
L
u a(t)
2
1−
ω LC
F(
jω
) = A(jω)
=
(5.70)
2
1+
jωRC
− ω LC

Der Amplituden- und Phasengang von Sperrfiltern nach Gl. 5.68 ist für die Unterdrückungsgüten
1 und 10 unten dargestellt.
A / A0 in dB
ϕ / °
0
-10
-20
-30
-40
0,1 1 ω 10
n
Amplitudengang für Bandsperren 2. Ordnung mit der Güte 1 und 10
90
60
30
0
-30
-60
-90
Q = 1 Q = 10
Q = 1 Q = 10
0,1 1 10
ω n
Phasengang für Bandsperren 2. Ordnung mit der Güte 1 und 10
Durch die Reihenschaltung von zwei Bandsperren 2. Ordnung gleicher Güte, die etwas
gegeneinander verstimmt sind, können Bandsperren mit einer hohen endlichen Unterdrückung
für eine deutlich größere Bandbreite als bei Bandsperren 2. Ordnung realisiert werden. Der
Verstimmungsfaktor α wird auf Gl. 5.67 entsprechend Gl. 5.57 bei Bandpässen höherer
Ordnung angewendet.
Gegenüber dem LRC-Sperrfilter 2. Ordnung ist es schaltungstechnisch jedoch meist einfacher,
die gewünschte Übertragungsfunktion (Gl. 5.67) direkt durch eine aktive Doppel-T-
Bandsperre [1] – genauer Abgleich ist erforderlich – oder durch eine aktive Wien-Robinson-
Bandsperre zu erzeugen.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 67

U e
1
β
Die aktive Wien-Robinson- Bandsperre basiert auf der passiven Wien-Robinson-Brücke, die ein
Sperrfilter mit geringer Güte ist. Durch Einbeziehen des Filters in die Rückkopplungsschleife
eines Operationsverstärkers kann die Güte Q beliebig groß realisiert werden. Die Übertragungsfunktion
ergibt sich aus der Beziehung für die Wien-Robinson-Brücke (Gl. 5.71).
n
2
n
1+
s
Ua =
⋅ U
1+
3⋅
s + s
2
n
1
(5.71)
Die aktive Wien-Robinson- Bandsperre hat die Übertragungsfunktion:
β
2
⋅ (1+
s n )
1+
γ
A(
s n ) = − (5.72)
3
2
1+
⋅s
n + s n
1+
γ
Durch Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.67 erhält man die angegebenen Filterdaten. Zur
Dimensionierung der Schaltung gibt man die Resonanzfrequenz fr, die Gleichspannungsverstärkung
A0, die Unterdrückungsgüte Q und die Kondensatoren C vor.
1
R 2 =
β = − 3A 0 ⋅ Q
2π
⋅ f ⋅ C
r
γ
=
Für die Resonanzfrequenz fr, die Gleichspannungsverstärkung A0 und die Unterdrückungsgüte
Q gilt:
1
β
1+
γ
f r =
A 0 = − Q =
(5.74)
2π
⋅ R ⋅ C
1+
γ
3
2
R 1
Aktive Wien-Robinson-
Bandsperre
1 γ
R 1
R 1
U 1
Zur Abstimmung der Resonanzfrequenz des Filters kann man die beiden Widerstände R2 mit
einem Tandempotentiometer durchstimmen und die Kondensatoren C in Stufen umschalten.
Wenn infolge mangelnder Gleichlauftoleranz die Resonanzfrequenz nicht vollständig unterdrückt
wird, kann man den Feinabgleich durch geringfügige Variation des Widerstandes 2R3
vornehmen.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 68
3 Q
C
−1
R 2
C
R 2
R 3
2R 3
U a
(5.73)

5.5 Allpässe
Schaltungen, deren Verstärkung konstant ist, die aber trotzdem eine frequenzabhängige
Phasenverschiebung verursachen, werden als Allpässe bezeichnet. Man verwendet sie zur
Phasenentzerrung und zur Signalverzögerung.
Vom Frequenzgang eines Tiefpasses zum Frequenzgang eines Allpasses gelangt man, wenn
man im Zähler von Gl. 5.26 den konstanten Faktor A0 durch den konjugiert komplexen
Nenner ersetzt. Man erhält die konstante Verstärkung 1 und die doppelte Phasenverschiebung.
∏
i
(1−
a
⋅s
+ b
⋅s
∏
In Gl. 5.75 ist die Phasenverschiebung φ:
a i ⋅ ωn
ϕ = − 2α
= − 2 ⋅∑
arctan
2
1−
b ⋅ ω
(5.76)
Von besonderem Interesse ist die Anwendung von Allpässen zur Signalverzögerung. Eine
Voraussetzung zur unverzerrten Signalübertragung ist eine konstante Verstärkung; sie ist bei
den Allpässen von vorn herein erfüllt. Die zweite Voraussetzung ist, dass die Gruppenlaufzeit
der Schaltung für alle auftretenden Frequenzen konstant ist. Filter, die diese Forderung am
besten erfüllen, haben wir schon in Form der Bessel Tiefpässe im Kap. 5.1 kennen gelernt.
Um einen Allpass mit konstanter Gruppenlaufzeit Tgr zu erhalten, braucht man lediglich die
Besselkoeffizienten in Gl. 5.73 einzusetzen.
Es ist zweckmäßig, die so erhaltenen Frequenzgänge umzunormieren, weil die 3-dB-Grenzfrequenz
der Tiefpässe hier ihren Sinn verliert. In der folgenden Tabelle sind die Koeffizienten ai
und bi für Allpässe bis zur Ordnung n = 4 so umgerechnet, dass die normierte Gruppenlaufzeit Tgr
bei ωn = 1 auf das 1/ 2 -fache des Wertes bei niedrigen Frequenzen abgesunken ist. In der
Literatur [1] sind die Koeffizienten bis zur 10. Ordnung angegeben.
n i ai bi fi/fg Qi Tgr0
1 1 0,6436 0,0000 1,554 - 0,2049
2 1 1,6278 0,8832 1,064 0,58 0,5181
3 1 1,1415 0,0000 0,876 - 0,8437
2 1,5092 1,0877 0,959 0,69
4 1 2,3370 1,4878 0,978 0,52 1,1738
2 1,3506 1,1837 0,919 0,81
Die normierte Gruppenlaufzeit Tgr ist diejenige Zeit, um die das Signal im Allpass verzögert
wird. Sie ergibt sich aus Gl. 5.76.
T gr =
t gr
Tg
= t gr ⋅ fg
=
1 dϕ
⋅
2π
dωn
=
2
1 a i ⋅ (1+
bi
⋅ ωn
)
⋅∑
π
2
2 2 4
i 1+
(ai
- 2bi
) ⋅ ωn
+ bi
⋅ ωn
(5.77)
Bei tiefen Frequenzen gilt dann für Tgr0:
T gr0
1
= ⋅∑
a i
π
(5.78)
− j2α
A( sn
) =
=
= e (5.75)
2
(1+
a ⋅ + ⋅
2 2 2 2 + jα
i sn
bi
sn
) (1−
b ⋅ ω ) + a ⋅ ω ⋅ e
∏
i
i
i
i
n
i
2
n
)
i
n
i
∏
i
(1−
b
Um eine Kontrolle von aufgebauten Teilfiltern zu ermöglichen, ist die Größe fi/fg in der
Tabelle für die Allpässe aufgeführt. Dabei ist fi diejenige Frequenz, bei der die Phasenverschiebung
des betreffenden Teilfilters –180° bei 2. Ordnung bzw. –90° bei 1. Ordnung
erreicht. Diese Frequenz kann messtechnisch mit dem Oszilloskop leicht bestimmt werden.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 69
i
i
⋅ ω
2
n
n
)
2
+ a
2
i
i
⋅ ω
2
n
n
⋅ e
−jα

Tgr
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
U e
0,1 1 10
ω n
Normierte Gruppenlaufzeit von Allpässen 1. bis 4. Ordnung
R1 R1 Allpässe 1. Ordnung lassen sich mit einer
einfachen Verstärkerschaltung realisieren. Bei
tiefen Frequenzen beträgt die Verstärkung +1
und bei hohen Frequenzen –1. Der Phasengang
geht also von 0 auf –180°. Der Fre-
R C
Ua quenzgang des Allpasses 1. Ordnung lautet:
Ua
1−
jω⋅
R ⋅ C
A(jω
) = =
(5.79)
U 1+
jω⋅
R ⋅ C
Allpass 1. Ordnung
Der Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.73 liefert die Dimensionierung:
a1
R ⋅ C =
(5.80)
2π
⋅ fg
Der niederfrequente Grenzwert der Gruppenlaufzeit tgr0 ergibt sich mit den Gl. 5.77 und 5.78:
t gr0
= 2 ⋅ R ⋅ C
(5.81)
Der Allpass 1. Ordnung lässt sich gut als Weitwinkel-Phasenschieber einsetzen. Man kann durch
Veränderung des Widerstandes R die Phasenverschiebung zwischen 0 und –180° einstellen, ohne
die Amplitude zu beeinflussen. Die Phasenverschiebung beträgt:
ϕ
= − 2 ⋅ arctan( ω⋅
R ⋅ C )
(5.82)
Einen Allpass 2. Ordnung kann man dadurch realisieren, dass man von der Eingangsspannung die
Ausgangsspannung eines Bandpasses subtrahiert.
Die Übertragungsfunktion einer solchen Anordnung lautet:
Ar
1−
Ar
2
⋅s′
n 1+
⋅s′
n + s′
n
Q
Q
A(
s′
n ) = 1 −
=
(5.83)
s′
n 2 s′
n 2
1+
+ s′
n 1+
+ s′
n
Q
Q
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 70
e
1. Ord.
2. Ord.
3. Ord.
4. Ord.

Man erkennt, dass sich für Ar = 2 die Übertragungsgleichung eines Allpasses ergibt. Sie ist
jedoch nicht auf die Grenzfrequenz fg des Allpasses normiert, sondern auf die Resonanzfrequenz
fr des selektiven Filters. Für die richtige Normierung setzt man:
s β ⋅s
ω g = β ⋅ ωr
⇒ s′
n = = = β ⋅s
n
(5.84)
ω ω
r
g
Die Übertragungsfunktion lautet damit:
β 2 2
1−
⋅s
n + β ⋅s
n
Q
A(
sn
) =
β 2 2
1+
⋅s
n + β ⋅s
n
Q
Der Koeffizientenvergleich mit Gl. 5.75 liefert:
(5.85)
a1 =
β
Q
und b1
2
= β
(5.86)
Für das selektive Filter des Allpasses ergeben sich damit folgende Daten:
A = 2 f = f b Q = b a = Q
(5.87)
r
U e
r
g
1
Allpass 2. Ordnung
Das Bandpassfilter des Allpasses hat nur eine geringe Güte. Den Widerstand R3 des
allgemeinen Bandpassfilters kann man weglassen und statt dessen die Verstärkung mit dem
Widerstand R/α einstellen. Der Frequenzgang des so realisierten Allpasses 2. Ordnung lautet:
1
1
2
1+
jω⋅
C ⋅ ( 2 R1
− α ⋅ R 2 ) − ( ω⋅
C) ⋅ R1
⋅ R 2
A(jω
) =
(5.88)
2
1+
jω⋅
C ⋅ 2 R − ( ω⋅
C) ⋅ R ⋅ R
Die Dimensionierung erhält man durch Koeffizientenvergleich des Frequenzganges (Gl. 5.88)
mit der Übertragungsfunktion Gl. 5.75:
a1
b1
a
R 1 =
R 2 =
α = =
4π
⋅ f ⋅ C
π ⋅ f ⋅ C ⋅ a
b
g
R 1
C
C
g
R 2
1
Diese Schaltung des Allpasses 2. Ordnung kann mit anderen Koeffizienten auch als Sperrfilter
genutzt werden. Im Frequenzgang (Gl. 5.88) muss dann der Zähler reell sein; diese
Bedingung ist erfüllt, wenn 2R1 – α R2 = 0 ist.
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 71
2
1
1
1
1
αR
R
R
2
1
1
1
Q
2
1
U a
(5.89)

5.6 Einfluss der Differenzverstärkung auf Filterschaltungen mit Operationsverstärkern
Durch die endliche Differenzverstärkung und die Frequenzgangkorrektur der normalen
Operationsverstärker wird besonders bei hohen Frequenzen der Betrag der Schleifenverstärkung
g immer kleiner. Der Frequenzgang für den realen Filter Areal(jω) ergibt sich aus
dem Produkt des berechneten Filters A(jω) und dem Tiefpassverhalten durch die Schleifenverstärkung.
Es gilt:
1
1
Areal(jω
) = A(jω)
⋅ = A(jω)
⋅
(5.90)
1
| A(jω)
|
1+
j⋅
1+
j⋅
| g |
| A |
Bei den meisten normalen Operationsverstärkern wird die Frequenzgangkorrektur mit dem
Pole-Splittingverfahren realisiert (Kap. 1.3). Hier gilt unterhalb der Transitfrequenz fT über
mindestens 4 Frequenzdekaden die Beziehung:
f π ⋅
⋅ = ⇒ = T 2 f
| A
= T
D | f fT
| AD
|
(5.91)
f ω
Bei bekannter Transitfrequenz fT des verwendeten Operationsverstärkers kann damit der reale
Frequenzgang Areal(jω) unter Berücksichtigung der Schleifenverstärkung bis etwa zur Transitfrequenz
direkt aus dem theoretischen Frequenzgang A(jω) des Filters berechnet werden.
1
Areal(jω
) = A(jω)
⋅
(5.92)
| A(jω)
|
1+
jω⋅
2π
⋅ f
T
Der reale Frequenzgang wird im Allgemeinen dann als Amplituden- und Phasengang dargestellt.
Grundsätzlich kann sich die Schleifenverstärkung bei allen Filter- und Rechenschaltungen
auf den Frequenzgang auswirken. Sie wirkt sich immer bei hohen Frequenzen
beim Hochpassfilter, beim Sperrfilter und beim Differentiator aus.
Beispielhaft sind die theoretischen und realen Amplitudengänge eines Bessel-Hochpasses 2.
Ordnung mit der Grenzfrequenz 1000 Hz und der Verstärkung A∞ = 10 und eines
Differentiators in praktischer Ausführung mit der Verstärkung A = 1 bei 100 Hz dargestellt.
A in dB
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
Bessel-Hochpass-Filter: theoretische Werte reale Werte
Differentiator in prakt. Ausführung: theoretische Werte reale Werte
Amplitudengang eines Bessel-Hochpasses und eines Differentiators
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 72
D
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
(Transitfrequenz fT = 1MHz des OPV)
f / Hz