Amplitudengang - FB E+I: Home

Im Bereich 0 ≤ x ≤1 pendelt ⎟T(x)⎢ zwischen 0 und 1; für x > 1 steigt T(x) monoton an. Um
aus den Tschebyscheff-Polynomen die Gleichung eines Tiefpasses herzustellen setzt man:
2
2 2 k ⋅ A0
A = A =
(5.25)
2 2
1+
ε ⋅ T ( x)
2
Die Konstante k wird so gewählt, dass für x = 0 das Verstärkungsquadrat A = A wird, d.h.
0
k = 1 für ungerades n und k = 1 + ε 2 für gerades n. Der Faktor ε ist ein Maß für die Welligkeit.
2
A
A A
max = A0
⋅ 1+
ε ⎪⎫
max = 0 ⎫
⎬ bei gerader Ordnung
bei ungerader Ordnung
2 ⎬
A A
Amin
= A0
1+
ε
min = 0 ⎪⎭
⎭
Die Berechnung der Tschebyscheff-Tiefpassfilter erfolgt in Analogie zu den Butterworth-
Tiefpassfiltern. Die Normierung auf die 3-dB-Grenzfrequenz ωg wird hier jedoch nicht erfüllt,
sondern auf eine Frequenz ωC, bei der die Verstärkung zum letzten Mal den Wert Amin
annimmt. Mit einer bestimmten Normierungskonstanten α wird dann abschließend auf die
3-dB-Grenzfrequenz ωg normiert. Die Tschebyscheff-Polynome für n = 1 – 4 lauten:
n = 1
n
n
n
=
=
=
2
3
4
T
T
T
T
1
2
3
4
( x)
( x)
( x)
( x)
=
=
=
=
x
2x
4x
8x
2
3
4
n
−1
− 3x
- 8x
2
+ 1
Welligkeit 0,5 dB 1,0 dB 2,0 dB 3,0 dB
Amax / Amin 1,059 1,122 1,259 1,413
k 1,122 1,259 1,585 1,995
ε 0,349 0,509 0,765 0,998
Zusammenstellung einiger Tschebyscheff-Parameter
Zum Vergleich sind der Amplitudengang |A|/A0, der Phasengang φ und die normierte
Gruppenlaufzeit Tgr für Tschebyscheff-Tiefpassfilter 1. – 4. Ordnung mit 3-dB-Welligkeit
bezogen auf die normierte Kreisfrequenz ωn in den folgenden Diagrammen dargestellt. In
einem weiteren Diagramm sind die Sprungantworten dieser Tiefpässe dargestellt.
A / A0 in dB
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
1. Ord. 2. Ord. 3. Ord. 4. Ord.
0,01 0,1 1 10 100
Amplitudengang von Tschebyscheff-Tiefpässen 1. bis 4. Ordnung mit 3 dB Welligkeit
G. Schenke, 6.2008 Industrieelektronik FB Technik, Abt. E+I 53
ω n
2