Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

(b) Betrachte
2. Lp RÄUME II 10
∂tu(t,x)−∆u(t,x) = 0, t > 0, x ∈ R d
u(0,x) = u0(x), x ∈ R d .
Dann existiert für jedes u0 ∈ L p eine eindeutige Lösung u. Desweiteren
besitzt u die Darstellung
u(t,x) = (kt ∗u0)(x), t > 0, x ∈ R d ,
mit kt ∈ L 1 für t > 0.
Im Folgenden benötigen wir den Raum der lokal integrierbaren Funktionen
L 1 loc (Rd ). Genauer,
L 1 loc (Rd ) :=
f : R d → Cmb. : f L 1 (K) < ∞ für alle kp. K ⊂ R d
.
Korollar 2.3. Sei f ∈ L 1 (R d ), dann definiert die Abbildung Tf := f ∗g
einen stetigen linearen Operator auf L p (R d ) mit T ≤ f1.
Satz 2.4. Sei f ∈ Cc(R d ), g ∈ L 1 loc (Rd ). Dann f ∗g ∈ C(R d ).
Beweis. Wegen
|(f ∗g)(x)| =
R d
f(x−y)g(y)dy ≤ f1g∞
existiert (f ∗g)(x) = f(x−y)g(y)dy für alle x ∈ R d .
Sei xn → x. Wir zeigen (f ∗g)(xn) → (f ∗g)(x). Setze
Fn(y) = f(xn −y)g(y) und F(y) = f(x−y)g(y),
dann gilt Fn(y) → F(y) für fast alle y ∈ R d . Anderseits, sei K kompakt so,
dass xn − suppf ⊆ K für alle n ∈ N. Dann xn − y ∈ suppf falls y ∈ K,
d.h. f(xn − y) = 0 für y ∈ K. Daher ist |Fn(y)| ≤ f∞χK(y)|g(y)| eine
integrierbare Majorante. Nach dem Lebesgueschen Satz folgt Fn dy →
F dy.
Definition 2.5. Sei Ω ⊂ Rd , f : Ω → C messbar und setze
Of := x ∈ Ω : ∃V ⊂ Ω offene Umgebung von x
mit f(x) = 0 für f.a. x ∈ V
Dann heißt suppf := Ω\Of der Träger von f.
Satz 2.6. Sei f ∈ Cc(R d ), g ∈ L 1 loc (Rd ). Dann gilt
(5) supp(f ∗g) ⊆ suppf +suppg