Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

KAPITEL 1
Einführung in die Problematik
1. Physikalische Motivation
Betrachte einen Stab aus Metall mit gegebener Temperaturverteilung. Nun
wollen wir untersuchen wie die Wärme geleitet wird.
Annahmen:
• Stab(isoliert)wirdparametrisiertdurchdasIntervall[0,1],u(t,x) =
Temperatur in x zum Zeitpunkt t.
• Konstanten: ρ Dichte, c spezifische Wärme
• f : [0,1] → R Wärmequelle
• Energie in Segment [x1,x2]: E(x2,x1,t) ≈ cρ(x2 −x1)u(t,x1)
• Wärmeleitungsregel von Fourier: Sei Q(t,x) = die Wärme durch
Punkt x zum Zeitpunkt t
Q(t2,x)−Q(t1,x) ∂
≈ −K0
∂x u(t1,x) K0 Thermale Konduktivität
t2 −t1
• Energieerhaltung:
cρ(x2 −x1)(u(t2,x1)−u(t1,x1))
∂ ∂
= (t2 −t1)(x2 −x1)f(x1)−K0(t2 −t1) u(t1,x1)−
∂x ∂x u(t1,x2)
.
Daraus folgt
und damit
(1)
wobei κ = K0
cρ
u(t2,x1)−u(t1,x1)
t2 −t1
= f(x1)
cρ
+ K0
cρ
∂ f(x) ∂2
u(t,x) = +κ
∂t cρ ∂x2u(t,x), ∂ ∂
∂xu(t1,x2)− ∂xu(t1,x1) x2 −x1
die thermische Diffusivität (eine Konstante) ist.
Stationäre Temperaturverteilung (Gleichgewicht, steady state):
0 = ∂ u(t,x)=v(x)
u(t,x) =⇒ 0 = f(x)+∆v(x) =⇒ ∆v(x) = −f(x).
∂t
2. Mathematische Problemstellung
Es sei Ω ⊆ R d offen und beschränkt.
Gegeben: Stetige Funktion f auf Ω.
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