Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 44
Approximiere f mit (ϕn) ⊂ C∞ c (Rd ).
(d) Sei ϕ ∈ C∞ c (Rd ). Dann gilt:
∂jϕ(ξ) = 1
(∂jϕ)(x)e −i〈x,ξ〉 dx = − 1
(2π) d
2
R d
= (iξ) ej ˆϕ(ξ), ξ ∈ R d , j = 1,...,d.
(2π) d
2
R d
ϕ(x)(−iξj)e −i〈x,ξ〉 dx
Approximiere f ∈ Wk,1 (Rd ) mit (ϕn) ⊂ C∞ c (Rd ).
(e) Sei ϕ ∈ C∞ c (Rd ). Dann gilt ∂α xϕ ∈ L1 (Rd ) für alle α ∈ Nd 0 . Insbesondere
folgt aus (d), dass lim |ξ|→∞ ˆϕ(ξ) = 0, d.h. ˆϕ ∈ C0(Rd ).
Approximiere f ∈ L1 (Rd ) mit (ϕn) ⊂ C∞ c (Rd ).
Beispiel 2.4. Sei a > 0 und f(x) = e−a|x|2. Dann gilt:
ˆf(ξ) =
d
1 2
e
2a
−|ξ|2
4a .
Beweis. Sei d = 1. Dann gilt
( ˆ f) ′ (ξ) = (−ix)e−a|x|2 (ξ) =
i
Damit folgt:
= i
2a (iξ)ˆ f(ξ) = − 1
2a ξ ˆ f(ξ).
d
e
dξ
|ξ|2
4a f(ξ) ˆ = 0;
2a (e−a|x|2 ) ′
also ist e |ξ|2 /4a ˆ f(ξ) konstant. Die Konstante ergibt sich aus
ˆf(0) = 1
√
2π
R
e −a|x|2
dx =
1
1 2
.
2a
Somit erhalten wir die Behauptung für d = 1. Der allgemeine Fall folgt nun
mit Fubini:
d
ˆf(ξ) = e −ax2 je −ixjξj dxj =
j=1
R
d
1 2
e
2a
−|ξ|2
4a .
Notation 2.5. Für f ∈ L1 (Rd ) definieren wir
ˇf(ξ) := ˆ f(−ξ) = 1
e i〈x,ξ〉 f(x)dx.
(2π) d
2
R d