Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 42
2. Differenzierbarkeit: Es sei h ∈ R\{0} undei der i-te Einheitsvektor. Dann
gilt
1
h (˜τx+hei ϕ− ˜τxϕ)(y) = 1
h (ϕ(x+hei −y)−ϕ(x−y)).
Wie oben folgt daher 1
h→0
(˜τx+hei h ϕ− ˜τxϕ) → ˜τx(∂iϕ) in S. Also folgt
∂i(T ∗ϕ)(x) = lim
h→0
1
〈T,˜τx+hei ϕ− ˜τxϕ〉
h
= lim〈T,
h→0 1
(˜τx+hei ϕ− ˜τxϕ)〉
h
T stetig
= 〈T,˜τx∂iϕ〉
Def
= (T ∗∂iϕ)(x)
und damit existiert die partielle Ableitung von T ∗ϕ mit ∂i(T ∗ϕ) = T ∗∂iϕ.
Insbesondere ist damit ∂i(T ∗ϕ) eine stetige Funktion. Mit Induktion folgt
schließlich (T ∗ϕ) ∈ C ∞ (R d ).
3. ∂i(T ∗ϕ) = (∂iT)∗ϕ:
Es gilt (∂iϕ)(x − y) = −(∂iϕ(x − ·))(y), also ist auch ∂i(˜τxϕ) = −˜τx(∂iϕ)
damit rechnen wir unter Verwendung von Obigem
∂i(T ∗ϕ)(x) = (T ∗∂iϕ)(x) = 〈T,˜τx(∂iϕ)〉
= 〈T,−∂i(˜τxϕ)〉 = 〈∂iT,˜τxϕ〉 = ((∂iT)∗ϕ)(x).
2. Die Fouriertransformation
Definition 2.1. Für f ∈ L1 (Rd ) ist die Fouriertransformation von f definiert
durch
Ff(ξ) := ˆ f(ξ) := 1
e −i〈x,ξ〉 f(x)dx.
(2π) d
2
Lemma 2.2. Es sei f ∈ L 1 (R d ). Dann ist ˆ f ∈ BC(R d ) und es gilt
ˆ f L ∞ (R d ) ≤ 1
R d
(2π) d
2
f L 1 (R d ).
Beweis. Es sei ξ ∈ Rd und (ξk) ⊂ Rd mit ξk → ξ. Dann gilt
lim
k→∞ |ˆ f(ξk)− ˆ
1
f(ξ)| ≤ lim |f(x)| e
k→∞
−i〈x,ξk〉
−i〈x,ξ〉
−e
(2π) d
2
d.h. ˆ f ist stetig. Desweiteren gilt:
| ˆ f(ξ)| ≤ 1
(2π) d
2
R d
R d
|f(x)| = 1
(2π) d fL1 (Rd ), ξ ∈ R
2
d .
= 0,
Lebesgue