Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

KAPITEL 4
Temperierte Distributionen und die
Fouriertransformation
In diesem Kapitel entwickeln wir die wesentlichen Eigenschaften der Fouriertransformation.
Für unsere Zwecke notwendig ist dabei eine Einführung
in die Theorie der Distributionen, die wir voranstellen wollen. Wir werden
uns hier jedoch auf temperierte Distributionen beschränken.
1. Temperierte Distributionen
Definition 1.1 (Schnell fallende Funktionen). Eine Funktion ϕ ∈ C ∞ (R n )
heißt schnell fallend, falls für alle Multiindizes α, β ∈ N n
dα,β(ϕ) := sup
x∈Rn {|x α D β ϕ(x)|} < ∞.
Wir bezeichnen die Menge aller schnell fallenden Funktionen mit S.
Weiter versehen wir S mit der Topologie, die von der Menge der Halbnormen
{dα,β : α,β ∈ N d } induziert wird.
Bemerkung 1.2. (a) NachDefinition konvergiert eine Folge (ϕn)n∈N ⊂
S gegen ϕ ∈ S, wenn dα,β(ϕn −ϕ) → 0 für alle α,β ∈ N d gilt.
(b) Der Raum der schnell fallenden Funktionen ist ein Fréchet-Raum.
Denn eine abzählbare Familie von Halbnormen ist gegeben durch
und
dj(ϕ) := sup
|α|=j x∈Rn sup{(1+|x|
2 ) j |D α ϕ(x)|}, j ∈ N.
d(ϕ,ψ) :=
∞
j=0
2 −j dj(ϕ−ψ)
1+dj(ϕ−ψ)
definiert eine Metrik auf S mit der dieser Raum vollständig ist.
Definition 1.3. Der Dualraum von S (versehen mit der schwach-* Topologie)
heißt der Raum der temperierten Distributionen und wird mit S ′
bezeichnet. D.h.:
S ′ := {f : S → C : f ist linear und stetig}.
Wir schreiben 〈f,ϕ〉 für die duale Paarung zwischen S ′ und S.
Bemerkung 1.4. (a) Eine Folge (Tn)n∈N ⊂ S ′ konvergiert gegen T ∈
S ′ , falls 〈Tn −T,ϕ〉 → 0 für alle Testfunktionen ϕ ∈ S.
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