Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

KAPITEL 3
Elliptische Randwertproblem in L 2
1. Elliptische Randwertprobleme
Notation 1.1. Die Sobolevräume werden im Falle p = 2 mit Hm (Ω) =
Wm,2 (Ω) bzw. mit Hm 0 (Ω) = Wm,2 0 (Ω) bezeichnet.
Bemerkung 1.2. Die Räume Hm und Hm 0 sind Hilberträume mit dem Skalarprodukt
〈f,g〉 :=
DαfDαg.
|α|≤mΩ
Insbesondere sind sie reflexiv. Die Norm ist hier gegeben durch das Skalarprodukt
fHm (Ω) := 〈f,f〉 1/2
:= Dαf 21/2 ,
welches zu der W m,2 -Norm äquivalent ist.
|α|≤mΩ
Im Folgenden nehmen wir stillschweigend K = R an, aber natürlich gelten
die Resultate auch im Falle K = C.
Lemma 1.3. Sei ∅ = Ω ⊂ R d offen, beschränkt und von der Klasse C 1 .
Sei (un) ⊆ H 1 (Ω) schwach konvergent gegen ein u. Dann konvergiert un in
L 2 (Ω) gegen u.
Beweis. Die Einbettung H 1 (Ω) ֒→ L 2 (Ω) ist kompakt (siehe Theorem
5.9). Nehmen wir an, dass eine Teilfolge unk existiert mit unk −u L 2 (Ω) ≥
ε für ein festes ε > 0 und für alle nk. Diese Teilfolge wird auch mit un
bezeichnet. Da (un) beschränkt in H 1 (Ω) ist, hat es eine L 2 (Ω)-konvergente
Teilfolge unk → u′ . Aber unk → u schwach in H1 (Ω) also auch schwach in
L 2 (Ω), was zu dem Widerspruch u ′ = u führt.
Bemerkung 1.4. Natürlich gilt das obige Resultat für W 1,p Räumei, so
lange 1 < p < ∞ ist.
1.1. Elliptische Gleichungen 2. Ordnung mit Dirichlet Randbedingungen.
Sei ∅ = Ω ⊆ Rd offen undbeschränkt. Seien aji = aij ∈ C1 (Ω),
1 ≤ i,j ≤ d und a0 ∈ C(Ω), a0(x) ≥ 0 für jedes x ∈ Ω. Wir setzen im Folgenden
die sogenannte Elliptizitätsbedingung voraus:
d
aij(x)ξiξj > α|ξ| 2 , ∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ R d ,
i,j=1
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