Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

5. SOBOLEV RÄUME III. - GEBIETE 26
Satz 5.4 (Dichtheit). Sei ∅ = Ω ⊆ R d beschränkt und von der Klasse C m .
Sei u ∈ W m,p (Ω) wobei 1 ≤ p < ∞. Dann existiert eine Folge (un) ⊆
C ∞ c (Rd ) mit un Ω → u in W m,p (Ω), d.h. die Menge
u Ω : u ∈ C ∞ c (R d )
ist ein dichter Unterraum von W m,p (Ω).
Beweis. Sei u ∈ W m,p (Ω) und betrachte Fu. Satz 4.1 liefert eine Folge
(vn) ⊆ C ∞ c (R d ) mit
lim
n→∞ vn −FuW m,p (Rd ) = 0.
Die Folge un := vn Ω hat die gewünschten Eigenschaften.
Korollar 5.5. Sei m ∈ N (m ≥ 1), ∅ = Ω ⊆ R d beschränkt von der Klasse
C m oder Ω = R d + und 1 ≤ p < ∞. Dann gelten die folgende Aussagen
(a) 1 m
p − d > 0 =⇒ Wm,p (Ω) ֒→ Lr (Ω) mit 1 1 m
r = p − d ,
(b) 1
p
(c) 1
p
− m
d = 0 =⇒ Wm,p (Ω) ֒→ L r (Ω) für alle r ∈ [d,∞),
− m
d < 0 =⇒ Wm,p (Ω) ֒→ L ∞ (Ω)
jeweils mit stetiger Einbettung.
(a) Sei 1 m
p − d < 0, m−d/p ∈ N. Setze
k := m− d
p und θ := m− d
p −k, 0 < θ < 1
=⇒ für jede f ∈ W m,p (Ω). Dann existiert C mit
D α f L ∞ (Ω) ≤ Cf W m,p (Ω) für alle |α| ≤ k
|D α f(x)−D α f(y)| ≤ Cf W m,p (Ω)|x−y| θ
Insbesondere gilt
mit stetiger Einbettung.
W m,p (Ω) ֒→ C k (Ω)
für fast alle x,y ∈ Ω, |α| = k.
Beweis. Ü.A.
Satz 5.6 (Charakterisierungen von Sobolev Funktionen). Es sei f ∈ Lp (Ω)
mit 1 < p ≤ ∞. Äquivalent sind
(a) f ∈ W1,p (Ω)
(b) Es existiert C > 0
f ∂ϕ
≤ Cϕ
∂xi
Lp ′ (Ω) , für alle ϕ ∈ C∞ c (Ω), i = 1,...,d.
Ω
(c) Es existiert ein C > 0, so dass für jedes Ω ′ ⊂ Ω mit Ω ′ ⊆ Ω und
für alle h ∈ R d mit |h| < dist(Ω ′ ,Ω c ) gilt
τhf −f L p (Ω ′ ) ≤ C|h|.
Bemerkung 5.7. Es kann C = ∇f L p (Ω) gewählt werden.