Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

und damit
|
Also,
Ω
2. L 2 -REGULARITÄTSTHEORIE 36
ϕf| ≤ Cf L 2 (Ω)ϕ L 2 (Ω)
≤ Cf L 2 (Ω)(∇u L 2 (W1) +ξ 2 D h k ∇u L 2 (W1))
≤ C
f 2 L2 (Ω) +u2 H1 1
(W1) +
4 ξ2D h k∇u2 L2 (Ω)
1
4 Dh k∇u2 L2 1
(V) ≤
4 ξDh k∇u2 L2 (Ω) ≤ C(f2 L2 (Ω) +u2 H1 (W1) )
für h klein genug, d.h. ∇u ∈ H 1 (V) und
u H 2 (V) ≤ C(f L 2 (Ω) +u H 1 (W1)).
Wähle η ∈ C∞ c (Rd ) mit η = 1 auf W1, η = 0 auf Rd \ W2 und 0 ≤ η ≤ 1.
Mit ϕ = η2u in (15) erhalten wir
fϕ = (∇ϕ)∇u = η 2
(∇u)(∇u)+ 2η(∇η)u∇u
und
d.h.
Also
Ω
Ω
Ω
≥ η∇u 2 L2 (Ω) −CuL 2 (W2)η∇uL2 (W2)
≥ 1
2 η∇u2 L2 (W2) −Cu2 L2 (Ω)
|
Ω
ϕf| ≤ C
fL2 (Ω)uL2 (Ω)
≤ C
∇u L 2 (W1) ≤ η∇u L 2 (Ω) ≤
Ω
f 2 L2 (Ω) +u2 L2
(Ω) ,
f 2 L2 (Ω) +u2 L2
(Ω) .
u H 1 (W2) ≤ C(f L 2 (Ω) +u L 2 (Ω).
Theorem 2.2 (Höhere innere Regularität). Sei aij,a0,bi ∈ Cm+1 (Ω), m ∈
N, f ∈ Hm (Ω) und u ∈ H1 (Ω) eine schwache Lösung von (14). Dann ist
u ∈ H m+2
loc (Ω) und für V ⊂⊂ Ω gilt:
,
u H m+2 (V ) ≤ C f H m (Ω) +u L 2 (Ω)
wobei C nur von Ω, V und aij, bi, a0 abhängt.
.