Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

d.h.
2. DIE FOURIERTRANSFORMATION 46
R d
fg =
R d
fˆ
h =
R d
ˆfh =
Insbesondere folgt mit g = f, dass f L 2 (R d ) = ˆ f L 2 (R d ) gilt. Da FX = X
kann F|X zu einem unitären Isomorphismus F2 fortgesetzt werden.
Es bleibt zu Zeigen, dass
Sei (ϕj) ⊂ C ∞ c (R d ) mit
R d
ˆfˆg.
(F2f)(ξ) = ˆ f(ξ), f ∈ L 1 (R d )∩L 2 (R d ).
lim
j→∞ f −ϕjL 1 (Rd ) = 0
lim
j→∞ f −ϕjL 2 (Rd ) = 0.
Einerseits gilt limj→∞ ˆ f − ˆϕj L ∞ (R d ) = 0, d.h.
lim
j→∞
B(0,R)
Andererseits folgt mit Plancherel
d.h.
|ˆϕj(ξ)− ˆ f(ξ)|dξ = 0, R > 0.
lim
j→∞ ˆϕj −F2f L2 (Rd ) = lim ϕj −fL 2 (Rd ) = 0,
j→∞
lim
j→∞
B(0,R)
|ˆϕj(ξ)−F2f(ξ)|dξ = 0, R > 0.
Damit folgt F2f(ξ) = ˆ f(ξ) für alle f ∈ L 1 (R d )∩L 2 (R d ).
Satz 2.9 (Hausdorff-Young-Ungleichung). Sei 1
p
+ 1
q
= 0 mit p ∈ [1,2].
Der Operator F kann zu einem stetigen Operator Fp,q : L p (R d ) → L q (R d )
fortgesetzt werden. Es gilt:
Fp,q L(L p (R d ),L q (R d )) ≤
1
(2π) n
p−d 2
Beweis. Wir wissen bereits, dass F : L 1 (R d ) → L ∞ (R d ) und F2 :
L 2 (R d ) → L 2 (R d ) stetig sind. Daher folgt die Behauptung aus dem Riesz–
Thorin Konvexitätstheorem (man ersetze ∞ durch 2).
Bemerkung 2.10. Für p > 2 und f ∈ L p (R d ) ist ˆ f i. A. keine Funktion
mehr (vgl. Distributionen-Theorie).
Beweis. Ohne Beweis.
Satz 2.11. Sei k ∈ N0. Dann gilt:
.