Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

2. L 2 -REGULARITÄTSTHEORIE 34
Genauso sieht man, dass das lineare Funktional b stetig ist. Die Bilinearform
a ist auch koerziv, denn
d a(u,u) =
Ω
i,j=1
aij
∂u
∂u
∂xi ∂xj
+a0u 2 ellipt.
≥
Ω
α|∇u| 2 +a0
≥ α∇u 2 L 2 (Ω) = α∇u2 L 2 (Ω) +εu2 L 2 (Ω) −εu2 L 2 (Ω)
= εu 2 H 1 (Ω) +(α−ε)∇u2 L 2 (Ω) −εu2 L 2 (Ω)
Poincaré
≥ εu 2 H1 (α−ε)
(Ω) +
C2 Ω
= εu 2 H1 (Ω) +
α −ε
C 2 Ω
u 2 L 2 (Ω) −εu2 L 2 (Ω)
1+ 1
C 2 Ω
u 2 L 2 (Ω) .
Für genügend kleines ε > 0 folgt die Koerzivität von a, d.h a(u,u) ≥
εu2 H1 (Ω) , u ∈ H1 0 (Ω). Verwendung vom Lax–Milgram Lemma liefert die
Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung (vgl. ÜA).
Die schwache Lösung u erfüllt
u 2
H 1 0
≤ 1 1
a(u,u) = b(u) =
ε ε
Ω
Ω
fu ≤ f L 2 (Ω)u L 2 (Ω).
Dies zeigt u H 1 0 ≤ 1
ε f L 2 (Ω), also die gewünschte Normabschätzung.
Schritt 3: Regularität der Lösung
Seien aij(x) = δij für alle x ∈ Ω und Ω offen, beschränkt, von der Klasse
C2 . Sei f ∈ L2 (Ω), u ∈ H1 0 (Ω) schwache Lösung von (P). Dann gilt
(a) u ∈ H2 (Ω) und uH2 (Ω) ≤ cfL2 (Ω).
(b) Ist f ∈ Hm (Ω) und ∂Ω der Klasse Cm+2 =⇒ u ∈ Hm+2 (Ω) und
uHm+2 (Ω) ≤ CfH m (Ω).
Beweis. Siehe Kapitel 2.
Korollar 1.6. Sei f ∈ H m (Ω) und u ∈ H m+2 (Ω) die schwache Lösung
von (P). Die Sobolevschen Einbettungsätze 4.9 geben W l,p (Ω) ֒→ C 2 (Ω),
falls l > 2+d/p. Für p = 2 und m > d/2 gilt u ∈ H m+2 (Ω) ֒→ C 2 (Ω).
Schritt 4: Rückkehr zur klassischen Lösung
Sei f ∈ H m (Ω) mit m > d/2. Dann existiert eine schwache Lösung u ∈
H 1 0 (Ω)∩C2 (Ω). Ferner partielle Integration und Dichtheitsargument liefern
die Existenz klassischer Lösungen.
2. L 2 -Regularitätstheorie
Sei ∅ = Ω ⊆ R d offen und beschränkt. Seien aji = aij ∈ C 1 (Ω), 1 ≤ i,j ≤ d
und bi, a0 ∈ C(Ω), 1 ≤ i ≤ d. Wir setzen die Elliptizitätsbedingung voraus.
Wir untersuchen zunächst die Regularität von Lösungen der folgenden
|u| 2