Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

6. SOBOLEV RÄUME IV. SPUROPERATOREN 30
Beweis. DieRichtungvonlinksnachrechtsistklar.Seinunu ∈ W 1,p (R d + )
mit Γ R d + u = 0und(un) ⊂ C ∞ c (R d ) mit un → u in W 1,p (R d +). Wir bezeichnen
die Fortsetzung von u mit 0 auf Rd mit ũ und zeigen, dass ũ ∈ W1,p (Rd )
liegt, wobei Dαũ die Fortsetzung von Dαu mit 0 auf Rd ist. Es gilt
D α
ũϕ = D α unϕ
da
∂R d +
R d
unϕ
R d +
= lim
n→∞
= lim
n→∞
Rd +
D α uϕ = lim
n→∞
Rd +
⎛
⎜
⎝−
R d +
unD α ϕ+
unD α
ϕ =
R d +
|α| ≤ 1, ϕ ∈ C ∞ c (Rd ),
∂R d +
≤ Γ R d + un L p (R d−1 )ϕ L p ′ (R d−1 )
⎞
⎟
unϕ⎠
uD α
ϕ =
R d
ũD α ϕ,
→ 0 für n → ∞.
Daher liegt u ∈ W 1,p (R d ). Da h ↦→ T h u (vgl. 1. Übungsblatt) für h =
(0,0,0,...,h) eine stetige Abbildung mit Werten in W 1,p (R d ) ist, folgt die
Behauptung nach Lemma 3.10 (d).
Satz 6.3 (Spursatz). Sei 1 ≤ p < ∞ und ∅ = Ω ⊂ R d + beschränkt und
von der Klasse C 1 . Dann existiert eine eindeutige stetige Abbildung ΓΩ :
W 1,p (Ω) → L p (∂Ω) mit
ΓΩu = u|∂Ω, u ∈ C ∞ c (Ω).
Beweis. Nach Voraussetzung existiert eine ÜberdeckungUj des Randes
von Ω. Wir bezeichnen wieder die zugehörigen Diffeomorphismen mit Φj.
Weiter sei ϕj eine der Überdeckung Uj untergeordnete Zerlegung der Eins
und ψj ∈ C ∞ c (Rd ) mit 0 ≤ ψj ≤ 1 und suppϕj ⊂⊂ {ψj ≡ 1}. Wir definieren
Dann gilt:
ΓΩu := ϕj(Γ R d + (ψju)◦Φj)◦Φ −1
j .
(ΓΩu)(x) = ϕj(x)(Γ R d + (ψju)◦Φj)◦Φ −1
j (x)
= ϕj(x)((ψju)◦Φj)◦Φ −1
j (x) = ϕj(x)(ψju)(x)
= u(x), x ∈ ∂Ω, u ∈ C ∞ c (R d ).