Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

Das heißt
4. SOBOLEV RÄUME II. – EINBETTUNGSSÄTZE 22
(8) u L d
d−1(R d ) ≤
d
∂u
∂xi
i=1
1
d
L 1 (R d ) .
Wir wenden (8) auf |u| t , t > 1 anstatt auf u an. Also, mit 1/p+1/p ′ = 1
u t
=
|u| td
d−1 d
d
d−1(x)dx ≤ t−1 ∂u t|u| 1
d
L td
d−1(Rd )
≤ t
R d
d
|u|
i=1
t−1 ∂u
∂xi
1
d
L 1 (R d )
i=1
≤ tut−1
∂xi
L 1 (R d )
d
Lp′ ∂u
(t−1) (Rd ) ∂xi
i=1
1
d
L p (R d ) .
Wähle nun t so dass td
d−1 = p′ (t − 1), d.h. t = d−1
d p∗ (dann t ≥ 1). Jetzt
durch dividieren durch u t−1
L p′ (t−1) (R d ) bekommen wir
u L p ∗ (R d )
≤ t
d
die Behauptung für u ∈ C 1 c (Rd ).
∂u
∂xi
i=1
1
d
L p (R d ) ≤ C∇u L p (R d ),
2. Schritt: Sei u ∈ W1,p (Rd ). Nach Satz 4.1 wähle uk ∈ C∞ c (Rd ) mit
uk → u in W1,p (Rd ). Dann ukLp∗ (Rd ) ≤ C∇ukLp (Rd ). Dies zeigt auch
dass uk eine Cauchyfolge in Lp∗(Rd ) ist, deshalb ist sie konvergent. Eine
Teilfolge konvergiert dann fast überall, benutzen wir die selbe Bezeichnung
uk(x) → u(x) für fast alle x ∈ Rd . Also uk → u in Lp∗(Rd ), und
uLp∗ (Rd ) ≤ C∇uLp (Rd ).
Bemerkung 4.5. Es genügt Cp,d := (d−1)p
d−p . Die optimale Konstante ist
bekannt aber kompliziert.
Satz 4.6. Sei 1 ≤ p < d. Dann ist die Einbettung
stetig.
W 1,p (R d ) ֒→ L r (R d ), r ∈ [p,p ∗ ]
Beweis. Sei p ≤ r ≤ p∗ . Für ein θ gilt 1 θ 1−θ
r = p + p∗ . Verwende dann die
Interpolationsungleichung, die Youngsche Ungleichung und Theorem 4.4
u L r (R d ) ≤ u θ
L p (R d ) u1−θ
L p∗ (R d ) ≤ θu L p (R d ) +(1−θ)u L p ∗ (R d )
≤ u L p (R d ) +u L p ∗ (R d ) ≤ u L p (R d ) +C∇u L p (R d )
≤ C ′ u W 1,p (R d ).
Theorem 4.7 (Morrey). Es sei p > d. Dann ist die Einbettung
W 1,p (R d ) ֒→ L ∞ (R d )