Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

4. SOBOLEV RÄUME II. – EINBETTUNGSSÄTZE 20
Beh. ψjf → f in Wm,p (Rd ).
Die Produktregel (Satz 3.8) liefert
|D α (ψjf −f)| ≤ C
also
R d
|D α (ψjf −f)| p ≤ C ′
R d
′
= C
′
+C
β≤α
|D β (ψj −1)|·|D α−β f|,
|D β (ψj −1)| p ·|D α−β f| p
β≤α
β≤α
Rd \B(0,j)
β≤α
B(0,j)
′
= C
β≤α
Rd \B(0,j)
′′
≤ C
β≤α
Rd \B(0,j)
|D β (ψj −1)| p ·|D α−β f| p
|D β (ψj −1)| p ·|D α−β f| p
|D β (ψj −1)| p ·|D α−β f| p
|D α−β f| p ≤ ε p ,
falls j groß genug ist.
NunbetrachtenwireinenMollifier(ρn).Dannhatρn∗ψjf kompaktenTräger
und ist glatt. Nach Satz 2.9 und 2.16 gilt D α (ρn∗(ψjf)) = ρn∗D α (ψjf) →
D α ψjf für n → ∞. Sei also erst j groß und dann n genügend groß, so dass
f−ρn∗(ψjf) W m,p (R d ) ≤ f−ψjf W m,p (R d )+ψjf−ρn∗(ψjf) W m,p (R d ) ≤ ε.
Satz 4.2. Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt
W 1,p (R) ֒→ L ∞ (R)
mit stetiger Einbettung, d.h. für eine Konstante Cp
u L ∞ (R) ≤ Cpu W 1,p (R), ∀u ∈ W 1,p (R).
Beweis. Sei ϕ ∈ C ∞ c (R) und 1 ≤ p < ∞. Setze G(s) := |s| p−1 s. Dann
gilt ψ := G(ϕ) ∈ C 1 c(R) und ψ ′ = G ′ (ϕ)ϕ ′ = p|ϕ| p−1 ϕ ′ . Also erhalten wir
für x ∈ R
G(ϕ(x)) =
x
−∞
Nach der Hölderschen Ungleichung folgt
und
p|ϕ(t)| p−1 ϕ ′ (t)dt.
|G(ϕ(x))| = |ϕ(x)| p ≤ pϕ p−1
p ϕ ′ p
|ϕ(x)| ≤ Cϕ (p−1)/p
p ϕ 1/p
p .