Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

5. SOBOLEV RÄUME III. - GEBIETE 28
Daher existiert ein C > 0, so dass für f ∈ M ein j ∈ {1,...,m} mit
(13)
|ψj(x)−(ηn ∗f)(x)| < Cε, x ∈ Ω ′
existiert. Bezeichne die Erweiterung mit 0 auf R d von ψ mit ˜ ψ. Dann folgt
aus (10), (11), (12) und (13), dass
für ein j ∈ {1,...,m} gilt, d.h.
f − ˜ ψj L p (R d ) < ε
M ⊂
m
B( ˜ ψi,ε).
i=1
Daher ist M relativ kompakt.
Der allgemeine Fall folgt aus demSpezialfall, wennman dieMenge ˜ M = { ˜ f :
f ∈ M}, wobei ˜ f die Erweiterung mit 0 auf R d von f bezeichnet, betrachtet.
(s. Adams, Sobolev Spaces, Theorem 2.32)
Theorem 5.9 (Rellich). Sei ∅ = Ω ⊆ Rd beschränkt der Klasse C1 . Sei
1 ≤ p < ∞. Dann gilt
(a) p < d =⇒ W1,p (Ω) ֒→ Lr (Ω), r ∈ [1,p∗ ), wobei 1
p∗ = 1 1
p − d erfüllt
ist;
(b) p = d =⇒ W1,p (Ω) ֒→ Lr (Ω), r ∈ [1,∞);
(c) p > d =⇒ W1,p (Ω) ֒→ C(Ω)
jeweils mit kompakter Einbettung.
Beweis. (a) Sei B die Einheitskugel in W 1,p (Ω). Wir verwenden Satz
5.8. Sei 1 ≤ r < p ∗ . Dann existiert ein θ ∈ (0,1] mit 1
r
= θ
1
+ 1−θ
p ∗ . Sei
Ω ′ ⊆ Ω ′ ⊆ Ω und |h| < dist(Ω ′ ,Ω c ). Die Interpolationsungleichung 1.11 und
5.6 liefern
τhu−u Lr (Ω ′ ) ≤ τhu−u α L1 (Ω ′ 1−α
) τhu−u
Lp∗ (Ω ′ )
falls u ∈ B. Ferner gilt für solche u
|u(x)| r dx
u L r (Ω\Ω ′ ) =
Ω\Ω ′
≤ |Ω\Ω ′ | 1−r/p∗
≤ |h| α ∇u α L 1 (Ω) (2u L p∗ (Ω) )1−α
≤ C|h| α ∇u α L p (Ω) u1−α
W 1,p (Ω) ≤ C|h|α ,
1/r ≤ uLp∗ (Ω\Ω ′ ) |Ω\Ω′ | 1−r/p∗
≤ ε,
falls Ω ′ geeignet gewählt ist.
(b) Analog.
(c) Sei p > d. Sei B die Einheitskugel in W 1,p (Ω). Es ist zu zeigen, dass B
relativ kompakt in C(Ω) ist. Korollar 5.5 liefert
|f(x)−f(y)| ≤ C|x−y| α
∀f ∈ B,