Skript - Fachbereich Mathematik - Technische Universität Darmstadt

2. L 2 -REGULARITÄTSTHEORIE 38
Für k = 1,...,d−1 setze ϕ := −D −h
k (ξ2Dh ku). Da
ϕ(x) = − 1 2
ξ (x)[u(x+hek)−u(x)]
h D−h
k
= 1
h2 2
ξ (x−hek)[u(x)−u(x−hek)]−ξ 2 (x)[u(x+hek)−u(x)] ,
x ∈ Ω,
folgt ϕ ∈ H1 0 (Ω). Wie im Beweis von Theorem 2.1 erhalten wir
≤ C
,
D h k ∇u2 L 2 (V)
d.h. ∂ku ∈ H1 (V) für k = 1,...,d−1 und
d
(19)
Desweiteren gilt:
k,l=1,k+l 0 (vgl. Definition 5.2. Setze V := Φx(V ′ ).
und u ′ = u◦Φx. Dann gilt u ′ ∈ H1 (Ω ′ ), u| ∂Ω ′ ∩Rd = 0 und (dies ist noch zu
+
Zeigen)
d
i,j=1
Ω
a ′ ij ∂jϕ ′ ∂iu ′ =
Ω
d
i=1
b ′ iϕ′ ∂iu ′
+
Ω
.
a ′ 0ϕ′ u ′
+
Ω
ϕ ′ f ′ ,
mit f ′ = f ◦Φx und geeigneten a ′ ij , b′ i und a′ 0 . Außerdem gilt (auch dies ist
noch zu Zeigen)
d
i,j=1
a ′ ijξiξj ≥ α ′ |ξ| 2 , ξ ∈ R d .