Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

CBADE 

Bose-Einstein-Kondensation 

in magnetischen und optischen Fallen 

Diplomarbeit im 

Studiengang Diplom-Physik 

vorgelegt von: 

Jens Harting 

Betreuender Gutachter: 

Zweiter Gutachter: 

Prof.Dr.Dr.EberhardR.Hilf 

Prof. Dr. Alexander Rauh 

Oldenburg, 10. Februar 1999

Inhaltsverzeichnis 

1 Ein Bild geht um die Welt... 1 

2 Einführung in die Bose-Einstein-Kondensation (BEC) 5 

2.1 Verschiedene Ansätze zur quantenstatistischen Beschreibung thermodynamischerSysteme 

............................... 5 

2.1.1 Mikrokanonische Gesamtheit . . .................. 5 

2.1.2 Kanonische Gesamtheit . . . . . .................. 6 

2.1.3 Großkanonische Gesamtheit . . . .................. 7 

2.2 Die Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen Ensemble . . . . . . 9 

2.3 Thermodynamische Eigenschaften von flüssigem Helium . . . ....... 13 

2.3.1 4 He .................................. 13 

2.3.2 3 He .................................. 17 

2.4 WechselwirkendeQuantengaseinharmonischenFallen........... 19 

2.4.1 Die Gross-Pitaevskii-Theorie . . . .................. 21 

2.4.2 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften . ....... 23 

3 Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme 25 

3.1 EinältererAnsatz............................... 25 

3.2 DieneueRekursionsformel.......................... 26 

3.2.1 Andere Ansätze . . . ......................... 28 

3.3 Anwendung auf Helium . . . ......................... 29 

3.3.1 Die spezifische Wärme C V (T ) .................... 32 

3.3.2 Grundzustandsfluktuationen . . . .................. 34 

4 Kühlung von atomaren Gasen und Fallen für neutrale Teilchen 39 

4.1 Doppler - Kühlung . . . . . ......................... 39 

4.2 “OptischerSirup”............................... 43 

4.3 Sisyphuskühlung . . . . . . ......................... 45 

4.4 OptischeFallen ................................ 47 

4.5 MagnetischeFallen.............................. 50 

4.6 Verdampfungskühlung . . . ......................... 50 

4.7 Magneto-optischeFallen(MOT) ....................... 51 

4.7.1 Exkurs: Penning-undPaul-Trap................... 52 

4.7.2 TOP Trap . . . . . . ......................... 54 

4.7.3 Permanent Magnet Trap . . . . . .................. 55 

4.7.4 Cloverleaf Trap . . . ......................... 56 

4.8 Dichtebestimmung in der Atomwolke . . .................. 57 

I

II 

INHALTSVERZEICHNIS 

4.9 NeuesteexperimentelleErgebnisse...................... 58 

4.10 Anwendungen neben der Bose-Einstein-Kondensation . . . ........ 58 

4.10.1 Atomoptik . . . . .......................... 58 

4.10.2 Hochauflösende Spektroskopie . . . . . ............... 59 

4.10.3 Atomuhren . . . . .......................... 59 

4.10.4 Ultrakalte Kollisionen . . ...................... 60 

4.10.5 Optische Pinzetten .......................... 60 

5 Simulation eines Bose-Gases in der TOP-Falle 61 

5.1 EigenschaftenderFalle............................ 61 

5.2 Bestimmung der kritischen Temperatur T c .................. 63 

5.3 Berechnung der Dichteverteilung in der Falle . ............... 64 

5.4 Zeitentwicklung eines Bose-Einstein Kondensats . . . . . . ........ 72 

5.5 VergleichmitdemExperiment ........................ 77 

6 Zusammenfassung und Ausblick 81 

A Dreidimensionale Potentiale 87 

A.1 Harmonischer Oszillator . .......................... 87 

A.2 Box ...................................... 89 

A.2.1 Spezialfall Würfel .......................... 90 

A.3 HarteKugel.................................. 90 

A.4 Harte Hohlkugel . . . . . . .......................... 92 

A.5 Zylinder.................................... 94 

A.6 Zylinder mit periodischen Randbedingungen . . ............... 96 

A.7 Hohlzylinder ................................. 98 

B Beschreibung der verwendeten Programme 101 

B.1 Hauptprogramme ...............................101 

B.1.1 recur98occup.f . . ..........................101 

B.1.2 Potentiale und Energieeigenwerte . . . ...............101 

B.1.3 howave.f und howavet.f . ......................102 

B.2 Hilfsskripteund-programme.........................102 

B.2.1 Sortierprogramme ..........................102 

B.2.2 Shell-Skripte . . . ..........................103 

C Artikel 105 

D Erklärung des Inhalts der CD-Rom 111 

E Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle 113 

E.1 TemperaturabhängigeSequenzen.......................114 

E.2 ZeitabhängigeSequenzen...........................122

Abbildungsverzeichnis 

1.1 Geschwindigkeitsverteilung eines der ersten Bose-Einstein-Kondensate für 

verschiedeneTemperaturen[29]........................ 1 

2.1 Graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z). ................ 10 

2.2 Die mittlere Besetzungszahl des Grundzustandes. . . . ........... 12 

2.3 P ,T -Phasendiagramm von 4 He. ....................... 14 

2.4 Energiespektrum aus Phononen- und Rotonenanteil. . . ........... 16 

2.5 P ,T -Phasendiagramm von 3 He........................ 18 

3.1 Zu den betrachteten Potentialen gehören Kugeln, Boxen und Zylinder und 

für die zugehörigen Hohlkörper gilt λ = r/r 2 (Kugel) und λ = d/d 2 (Zylinder). 30 

3.2 Die Entartung σ der Energieeigenwerte eines Zylinders mit 10000 Teilchen. 31 

3.3 Die spezifische Wärme pro Teilchen für verschiedene Körper und N=100, 

1000 und 10000 Teilchen. . . ......................... 32 

3.4 Die spezifische Wärme für verschiedene Zylinder, Hohlzylinder und Hohlkugeln 

mit N=10000 Teilchen. ........................ 33 

3.5 Die spezifische Wärme für unterschiedlich deformierte Hohlzylinder und 

N=10000 Teilchen. . . . . . ......................... 34 

3.6 Grundzustandsfluktuation pro Teilchen für verschiedene Körper und 

N=100, 1000 und 10000 Teilchen. . . . . .................. 34 

3.7 Grundzustandsfluktuation für verschiedene Zylinder, Hohlzylinder und 

Hohlkugeln mit N=10000 Teilchen. . . . .................. 35 

3.8 Grundzustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Hohlzylinder 

und N=10000 Teilchen. . . . ......................... 35 

3.9 Relative Grundzustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Quader 

und N=1000, beziehungsweise N=10000 Teilchen. ........... 36 

4.1 Die Absorption eines Photons mit dem Impuls p = ~k (oben) regt ein 

Atom mit der Geschwindigkeit v 0 an und bewirkt eine Abbremsung um 

~k/m auf v = v 0 − ~k/m (rechts). Durch den Übergang in den Grundzustand 

wird die aufgenommene Energie in Form eines spontan emittierten 

Photonsabgegeben(links)........................... 40 

4.2 Ablenkung eines Atomstrahls mit Laserlicht. . . . . . ........... 41 

4.3 Ablenkung eines Atomstrahls mit konvergentem Laserlicht. . . ....... 42 

4.4 Geschwindigkeitsverteilung eines Atomstrahls vor und nach der Wechselwirkung 

mit Laserlicht einer festen Frequenz. . . . . . ........... 42 

4.5 Geschwindigkeitsverteilung eines Atomstrahls vor und nach der Wechselwirkung 

mit Laserlicht einer kontinuierlich kleiner werdenden Frequenz. . . 43 

III

IV 

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 

4.6 Anordnung der Laser zur Erzeugung eines “optischen Sirups”: Sechs Laser 

werden aus verschiedenen Richtungen auf eine Wolke aus Atomen gerichtet. 43 

4.7 Zwei gegeneinander ausgerichtete Laser üben eine geschwindigkeitsabhängige 

Kraft auf ein sich mit der Geschwindigkeit v bewegendes Teilchen 

aus. Die dicke Kurve zeigt die resultierende Kraft aus den von jedem einzelnen 

Laser ausgeübten Kräften (dünn). . . . . ............... 44 

4.8 Einfachstes mögliches Niveauschema für Sisyphus-Kühlung (a). Die 

Dicke der Pfeile gibt die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs an. Durch 

Absorptions- und Emissionsvorgänge ist der Wechsel in ein anderes Grundzustandsniveaumöglich(b). 

......................... 46 

4.9 Durch die Verschiebung der Grundzustandsniveaus sinkt die potentielle 

Energie der Atome durch Absorptions- und Emissionsprozesse, da die 

Energie des emittierten Photons größer ist als die des absorbierten. . . . . . 47 

4.10 Eindimensionale Strahlungsdruckfalle aus zwei gegenüberliegenden divergentenLasern.................................. 

48 

4.11 Schematische Darstellung der Penning-Falle (nach [123]). . ........ 53 

4.12 Schematische Darstellung der TOP-Falle (nach [4]). Die großen horizontal 

angebrachten Spulen erzeugen das Anti-Helmholtz-Feld und die kleinen 

vertikal installierten sind für das rotierende Feld verantwortlich. . . . . . . 55 

4.13 Atomfalle mit Permanentmagneten in Ioffe-Pritchard-Konfiguration (aus 

[119])...................................... 56 

4.14 Schematische Darstellung der Kleeblatt-Falle. . ............... 56 

5.1 Die spezifische Wärme in der TOP-Falle für 2000, 10000, 20000 und 

100000 Teilchen. . . . . . .......................... 63 

5.2 Lineare und logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen 

bei T =3,0·10 −9 , 1,0·10 −8 , 4,0·10 −8 und 5,5·10 −8 Kelvin. ....... 68 

5.3 Lineare und logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 10000 

Teilchen bei T =1,0·10 −8 , 4,0·10 −8 , 8,0·10 −8 und 1,0·10 −7 Kelvin. . . . . . 69 





5.6 Lineare und logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung 

für 2000 Teilchen bei T =1,0·10 −8 Kelvin und t=1,0·10 −11 , 2,0·10 −10 , 

9,0·10 −5 und 1,0·10 −3 Sekunden. . ...................... 75 

5.7 Lineare und logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung 

für 2000 Teilchen bei T =4,5·10 −8 Kelvin und t=1,0·10 −11 , 2,0·10 −10 , 

9,0·10 −5 und 1,0·10 −3 Sekunden. . ...................... 76 

E.1 Lineare Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen. ........114 

E.2 Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen. . . . . 115 


E.4 Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 10000 Teilchen. . . . 117 



E.7 Lineare Darstellung der Dichteverteilung für 100000 Teilchen. . . . . . . . 120

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 

V 


E.9 Lineare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen 

bei 1.0e-8 Kelvin. . . . . . . .........................122 

E.10 Lineare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen 

bei 1.0e-8 Kelvin. . . . . . . .........................123 

E.11 Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 

Teilchen bei 1.0e-8 Kelvin. . .........................124 

E.12 Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 

Teilchen bei 1.0e-8 Kelvin. . .........................125

1 Ein Bild geht um die Welt... 

Im Frühjahr 1995 beendete der von amerikanischen Physikern in der Zeitschrift “Nature” 

veröffentlichte Artikel mit dem Titel “Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute 

Atomic Vapor” einen jahrelangen Wettlauf um die Erzeugung des ersten atomaren 

Bose-Einstein-Kondensats [4]. Einer Forschungsgruppe aus Boulder (Colorado) war es gelungen, 

in einer neuartigen Falle für neutrale Teilchen etwa zweitausend 87 Rb Atome auf 

einige hundert Nanokelvin herunterzukühlen. Bei solchen tiefen Temperaturen und entsprechendem 

Druck kann ein bereits 1925 von Albert Einstein für ein ideales Gas vorhergesagter 

Effekt eintreten: Teilchen mit ganzzahligem Gesamtspin kondensieren in einen 

gemeinsamen Quantenzustand. Das bedeutet, daß jedes Teilchen dieselben physikalischen 

Eigenschaften besitzt, insbesondere identische Orte und Geschwindigkeiten [39]. 

Abbildung 1.1: Geschwindigkeitsverteilung eines der ersten Bose-Einstein-Kondensate für verschiedene 

Temperaturen [29]. 

Albert Einstein veröffentlichte seine theoretischen Ideen aufgrund von Vorüberlegungen 

des indischen Physikers Satyendra Nath Bose [16], mit dem er zu jener Zeit einen regen 

Briefwechsel zu diesem Thema führte. Bei zwei Treffen in Paris und der Schweiz hatten 

Einstein und Bose Gelegenheit ihre Kontakte zu vertiefen [65]. 

Wegen der interatomaren van-der-Waals-Wechselwirkungen erschien die experimentelle 

1

2 Kapitel 1. Ein Bild geht um die Welt... 

Beobachtung dieses Effekts damals unmöglich. Erwin Schrödinger beschrieb das Problem 

mit den Worten [103, 112]: “Um eine signifikante Abweichung [vom klassischen Verhalten] 

aufzuweisen, benötigt man so hohe Dichten und so kleine Temperaturen, daß die vander-Waals-Korrekturen 

und die Effekte einer möglichen Entartung von der gleichen Größenordnung 

sein werden, und es besteht wenig Aussicht dafür, daß die beiden Arten von 

Effekten sich jemals trennen lassen.” 

Siebzig Jahre später scheint diese Aussage überholt zu sein, denn heute ist es möglich, die 

nötigen experimentellen Voraussetzungen zu erreichen. Allerdings sind die technischen 

Möglichkeiten bisher auf sehr dünne Gase aus Alkaliatomen begrenzt, deren Gesamtspin 

sich aus den Einzelspins der Elektronen und Nukleonen zusammensetzt. Obwohl die Einzelspins 

halbzahlig sind, ergibt sich für das gesamte Atom eine ganzzahlige Drehimpulsquantenzahl, 

so daß die Näherung als Boson bei geringen Dichten erlaubt ist. Die Kopplung 

von Fermionen zu “effektiven” Bosonen ist ein interessantes theoretisches Problem, welches 

hier jedoch nicht betrachtet werden soll (siehe beispielsweise [91]). 

Eines der berühmtesten Bilder der populären naturwissenschaftlichen Literatur der letzten 

Jahre ist wahrscheinlich die in Abbildung 1.1 gezeigte Geschwindigkeitsverteilung einer 

Atomwolke. Sie entspricht einer Falschfarbenaufnahme der Teilchendichte in der Atomfalle 

der Gruppe aus Boulder. In diesem Fall entspricht die Geschwindigkeitsverteilung der 

Teilchendichte, da sich die langsamsten Teilchen mit sehr großer Wahrscheinlichkeit im 

Zentrum der Falle aufhalten. Sehr anschaulich zeigt sich, wie bei abnehmender Temperatur 

die Teilchendichte im Zentrum der Falle zunimmt. Die blauweißen Gebiete bezeichnen minimale 

Bewegung und größte Dichte. Vor Bildung des Kondensats bei etwa 200 Nanokelvin 

sind die Geschwindigkeiten der Atome noch nahezu gleichförmig verteilt. Bei weiterer Abkühlung 

auf 100 Nanokelvin erscheint das Kondensat als Bereich fast stationärer Atome, 

und bei noch geringeren Temperaturen bleibt nur noch dieses Objekt übrig. 

Nur kurze Zeit nach der Erzeugung des ersten Kondensats durch Eric Cornell und seine 

Mitarbeiter erreichten zwei weitere amerikanische Gruppen die nötigen experimentellen 

Voraussetzungen und erzeugten Kondensate aus Lithium [18] und Natrium [90]. Diese 

Erfolge weckten das Interesse vieler Forscher auf der ganzen Welt, und mittlerweile existieren 

beinahe zwanzig Laboratorien, die in der Lage sind, ein Bose-Einstein-Kondensat 

zu erzeugen. Der jüngste Erfolg war am 30. Dezember 1998 im japanischen Kyoto zu 

verzeichnen, wo es der dortigen Quantenoptik-Gruppe gelang, ebenfalls 87 Rb in den kondensierten 

Zustand zu überführen. Im Vergleich zu den ersten Experimenten hat sich dabei 

einiges verändert: Durch weiterentwickelte Fallen ist die Zahl der gefangenen Atome um 

zwei Größenordnungen gestiegen, und die Kühlung bedarf einer sehr viel geringeren Zeit. 

Auch die Theoretiker blieben nicht tatenlos, so daß die Zahl der Veröffentlichungen zu 

diesem Thema deutlich anstieg. Einige neue Ansätze zur Beschreibung eines dünnen Gases 

in einer Atomfalle sind seitdem entstanden und können direkt mit dem Experiment 

verglichen werden. Diese Ansätze zeigen, daß die üblichen aus Lehrbüchern bekannten 

Beschreibungsweisen nicht immer die geeignetesten sind, da sie die Eigenschaften der Experimente 

nicht realistisch integrieren. 

An dieser Stelle setzt auch die vorliegende Arbeit an: Das typische Lehrbuchbeispiel zur 

Bose-Einstein-Kondensation ist die Beschreibung eines idealen Bose-Gases unter Verwendung 

der großkanonischen Gesamtheit. Aufgrund der festen Teilchenzahl in einer Atom-

3 

falle und der endlichen Größe des Potentials bietet sich allerdings eine kanonische oder 

mikrokanonische Beschreibung an. 

In dieser Arbeit sollen nach einer Einführung in verschiedene Ansätze zur quantenstatistischen 

Beschreibung idealer Bose-Gase in Abschnitt 2.1 die theoretischen Grundlagen der 

Bose-Einstein-Kondensation erklärt werden. 

Die Unterschiede zwischen einem idealen und einem realen System werden am Beispiel 

von flüssigem Helium gezeigt, das aufgrund seiner Suprafluidität unterhalb von etwa zwei 

Kelvin ( 4 He) und einigen Millikelvin ( 3 He) lange Zeit als einziges Beispiel eines Bose- 

Einstein-Kondensats galt (Vergleiche Abschnitt 2.3). 

Die in den aktuellen Experimenten genutzten Fallen lassen sich gut durch harmonische 

Oszillatorpotentiale nähern. Eine weit verbreitete Theorie zur Beschreibung wechselwirkender 

Gase in solchen Potentialen ist die Gross-Pitaevskii-Theorie, auf die im Anschluß 

eingegangen wird. 

Wie bereits bemerkt wurde, ist eine kanonische Beschreibung eines Systems besser geeignet 

als eine großkanonische, um aktuelle Experimente zu nähern. Aus diesem Grund wird 

in Kapitel 3 eine neue Rekursionsformel zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme, 

beziehungsweise der Besetzungszahlen der Zustände in einem Potential, vorgestellt 

und anschließend auf 4 He in verschiedenen harten Potentialen angewandt. 

Das eigentliche Ziel dieser Arbeit ist die Simulation eines dünnen Gases aus 87 Rb-Atomen 

in der sogenannten “Time-Orbiting-Potential-Trap”, kurz TOP-Trap, also der Falle, in der 

das erste Bose-Einstein-Kondensat aus Alkaliatomen erzeugt wurde. Für ein besseres Verständnis 

der experimentellen Techniken und Möglichkeiten werden die Methoden zur Kühlung 

eines Teilchengases, die Funktion magneto-optischer Fallen und das typische Verfahren 

zur Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats im darauffolgenden Kapitel beschrieben. 

Dort wird auch speziell auf die ersten Experimente und Fallentypen eingegangen, sowie 

ein kurzer Überblick auf benachbarte Gebiete und neueste experimentelle Ergebnisse 

gegeben. 

Anschließend erfolgt im fünften Kapitel unter Verwendung der im dritten Kapitel eingeführten 

Rekursion die Berechnung der kritischen Temperatur T c , bei der der Übergang zum 

Kondensat stattfindet. Mit Hilfe der ebenfalls aus der Rekursion erhaltenen Besetzungszahlen 

und der Wellenfunktion eines Teilchens wird dann die orts- und temperaturabhängige 

Dichte im Potential der TOP-Falle berechnet. 

In den Experimenten wird das Fallenpotential zu einem bestimmten Zeitpunkt abgeschaltet 

und die Wolke kann sich frei ausbreiten, was für das angewendete Verfahren zur Dichtebestimmung 

in der Atomwolke notwendig ist (siehe Abschnitt 4.8). Durch Berechnung der 

quantenmechanischen Zeitentwicklung freier nicht wechselwirkender Teilchen wird überprüft, 

wie gut sich die experimentellen Daten mit Hilfe dieses Verfahrens nähern lassen. 

Den Abschluß dieser Arbeit bildet dann eine Zusammenfassung der Ergebnisse, inklusive 

der Antwort auf die Frage, wie gut die Näherung eines dünnen Gases wechselwirkender 

Atome als ein ideales ist. Weiterhin sollen Ideen und Anregungen für zukünftige Ansätze 

zusammengetragen werden.

2 

Einführung 

in die 

Bose-Einstein-Kondensation (BEC) 

2.1 Verschiedene Ansätze zur quantenstatistischen Beschreibung 

thermodynamischer Systeme 

Sowohl in der klassischen Statistischen Physik als auch in der Quantenstatistik betrachtet 

man ein physikalisches System Σ({A i }) (mit i =1, 2, ...), dessen Zustand von einer Menge 

von außen einstellbarer Variablen {A i } abhängt. Diese makroskopischen Randbedingungen 

können beispielsweise Größen wie die Temperatur T , der Druck P , die Teilchenzahl 

N, aber auch Funktionen, die von solchen Größen abhängen, sein. 

Da man es in der Regel mit großen Teilchenzahlen zu tun hat und Wechselwirkungen nicht 

vernachlässigt werden können, ist es nicht möglich die Eigenschaften solcher Systeme direkt 

mit den Methoden der Quanten- oder klassischen Mechanik zu berechnen. Eine Möglichkeit 

dieses Problem zu umgehen ist die Ensemble-Methode von Gibbs, die es durch die 

Aufstellung von Postulaten ermöglicht, den zeitlichen Mittelwert einer Variable mit dem 

Ensemble-Mittel zu verbinden. 

Ein interessanter Ansatz, der zeigt unter welchen Bedingungen die Postulate gelten, wurde 

1998 in “Physical Review Letters” veröffentlicht [116]. 

Die Art des Ensembles, mit dem ein physikalisches system beschrieben wird, hängt von 

den Randbedingungen des Systems ab. An dieser Stelle sollen allerdings nur drei davon 

kurz vorgestellt werden, die zwar von unterschiedlichen Randbedingungen ausgehen, für 

große Teilchenzahlen N aber äquivalente quantenstatistische Relationen sind. In kleinen 

Systemen ergeben sich zum Teil sehr unterschiedliche Ergebnisse. 

Das mikrokanonische-, kanonische- und großkanonische Ensemble unterscheiden sich in 

erster Linie durch ihre Randbedingungen. Es sollte daher das jeweils günstigste Verfahren 

zur Beschreibung des betrachteten Systems ausgewählt werden. 

Die Einführung in diesem Kapitel erfolgt nur sehr kurz, da die Thematik in nahezu jedem 

Lehrbuch der Statistischen Physik (siehe etwa [44,66,69,82,95,109]) ausführlich behandelt 

wird. 

2.1.1 Mikrokanonische Gesamtheit 

Systeme, die der mikrokanonischen Gesamtheit gehorchen, besitzen eine feste Teilchenzahl 

N, einfestes Volumen V und eine Energie zwischen E und E +∆, mit ∆ ≪ E. Die 

5

6 Kapitel 2. Einführung in die Bose-Einstein-Kondensation (BEC) 

mikrokanonische Gesamtheit besetzt das Phasenvolumen 

( E

2.1 Großkanonische Gesamtheit 7 

dessen Proportionalitätskonstante durch die Normierungsbedingung Sp ˆρ =1festgelegt 

wird. Man erhält also mit dem Hamiltonoperator Ĥ des Systems S 1 den Quotienten 

e−βĤ 

ˆρ = . (2.8) 

Sp e−βĤ Der Nenner dieses Bruches wird als die kanonische Zustandssumme definiert: 

Z N (β,V )=Spe −βĤ = ∑ n 

e −βEn (2.9) 

Damit erhält man als thermodynamisches Potential die Helmholtz freie Energie 

F (β,V,N)=− 1 β ln Z N(β,V )=U − S β 

(2.10) 

und wiederum lassen sich die innere Energie und die Entropie angeben: 

U = −∂ N,V 

β 

S = −β 2 ∂ N,V 

β 

1 

ln Z N (β,V )=− 

Z N (β,V ) ∂N,V β 

Z N (β,V ) (2.11) 

( 1 

β ln Z N(β,V )) 

. (2.12) 

Eine weitere wichtige Größe, die in späteren Kapiteln von Bedeutung sein wird, ist die 

spezifische Wärmekapazität: 

( 

C V = −β 2 ∂ N,V 

β 

U = β 2 ∂ N,V 

β 

∂ N,V 

β 

) 

ln Z N (β,V ) . (2.13) 

2.1.3 Großkanonische Gesamtheit 

Um Systeme zu beschreiben, die sich sowohl in einem Wärmebad befinden als auch Teilchen 

mit der Umgebung austauschen können, bedient man sich der großkanonischen Gesamtheit. 

Die Temperatur T ist daher wie das Volumen V eine gegebene makroskopische 

Randbedingung, die Energie fluktuiert dabei um einen Mittelwert, und der Austausch von 

Teilchen mit einem externen Reservoir bewirkt eine fluktuierende Teilchenzahl N. Ein 

definiertes chemisches Potential µ beschreibt den Energiebeitrag, der nötig ist, um ein 

weiteres Teilchen in das System zu bringen. 

Analog zu Abschnitt 2.1.2 kann der statistische Operator der großkanonischen Gesamtheit, 

ˆρ = 

ˆN) 

e−β(Ĥ−µ 

, (2.14) 

Sp e−β(Ĥ−µ ˆN) 

aufgestellt werden ( ˆN ist der Teilchenzahloperator). Die großkanonische Zustandssumme 

ist damit 

Ξ µ (β,V )=Spe −β(Ĥ−µ ˆN) 

(2.15) 

∞∑ ∑ 

= e −β(En(N)−µN) . (2.16) 

N=0 

n


Führt man die Fugazität 

z = e βµ (2.17) 

ein, so läßt sich die großkanonische Zustandssumme als Polynom in z schreiben: 

Ξ z (β,V )= 

∞∑ 

z N Z N (β,V ) (2.18) 

N=0 

Man erhält mit dem Erwartungswert der Teilchenzahl 

〈 

ˆN〉 

= 1 β ∂β,V µ ln Ξ µ (β,V )=z∂ β,V 

z ln Ξ(β,V ) (2.19) 

die innere Energie 

〈〉 

U = −∂ µ,V 

β 

ln Ξ µ (β,V )+µ ˆN = −∂ z,V 

β 

ln Ξ z (β,V ). (2.20) 

Im großkanonischen Ensemble übernimmt das dazugehörige großkanonische Potential J 

die Bedeutung, die die freie Energie im kanonischen und die Entropie in der mikrokanonischen 

Gesamtheit haben: 

J(β,V,µ)=− 1 β ln Ξ µ(β,V )=−pV, (2.21) 

wobei p den Druck bezeichnet. Die großkanonische Zustandssumme läßt sich dadurch auch 

anders schreiben: 

Ξ µ (β,V )=e −βJ(β,V,µ) . (2.22) 

Betrachtet man den Spezialfall eines dünnen Gases aus nicht wechselwirkenden Bosonen, 

ist die Gesamtenergie 

E(N) = ∑ i 

ɛ i η i (2.23) 

aus den Energien ɛ i der Einteilchenzustände und ihren Besetzungszahlen η i zusammengesetzt. 

Weiterhin müssen die Besetzungszahlen der Bedingung ∑ i η i = N folgen. Dadurch 

wird die großkanonische Zustandssumme für das ideale Bose-Gas zu 

Ξ µ (β,V )= 

= 

∞∑ 

N=0 

∞∑ 

N=0 

∑ 

P{η i } 

ηi =N 

∑ 

P{η i } 

ηi =N 

z N e −βP i ɛ iη i 

(2.24) 

∏ ( 

ze 

−βɛ i 

) ηi 

, (2.25) 

i

2.2 Die Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen Ensemble 9 

wobei die Doppelsumme eine unabhängige Summation über alle η i darstellt. In der großkanonischen 

Zustandssumme lassen sich die Summationen besonders einfach durchführen 

und dadurch beispielsweise die Besetzungszahlen berechnen (siehe unten). Das ist der 

Grund dafür, warum diese Näherung in den meisten Lehrbüchern zur Beschreibung der 

Bose-Einstein-Kondensation benutzt wird. Die Auswertung der kanonischen Zustandssumme 

ist dagegen wegen der Teilchenzahlbeschränkung weitaus komplizierter und nur mit 

relativ aufwendigen Verfahren, wie den in Abschnitt 3 beschriebenen Rekursionsformeln, 

möglich. Somit erhalten wir nach [69] 

Ξ µ (β,V )= ∏ ( ) 

∑ ( 

ze 

−βɛ i 

) ηi 

(2.26) 

i η i 

= ∏ i 

1 

1 − ze −βɛ i . (2.27) 

Die mittlere Anzahl Teilchen mit der Energie ɛ i ist dann die Bose-Einstein- 

Verteilungsfunktion: 

〈η i 〉 = − 1 β ∂ ɛ i 

ln Ξ µ (β,V ) (2.28) 

= ze−βɛ i 

1 − ze −βɛ i 

= 

1 

e β(ɛ i−µ) 

− 1 

(2.29) 

2.2 Die Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen 

Ensemble 

In der großkanonischen Beschreibung ergibt sich die Zustandsgleichung eines idealen 

Bose-Gases aus N Teilchen der Masse m in einem Volumen V zu [69] 

N 

V = 1 λ 3 g 3/2(z)+ 1 V 

1 

1 − z . (2.30) 

Dabei ist 

√ 

2π~ 

2 

λ = 

(2.31) 

mT 

die thermische De-Broglie-Wellenlänge, und für die weitere Beschreibung wird das spezifische 

Volumen v = V/N eingeführt. Die Funktion g 3/2 (z) ist ein Spezialfall der allgemeinen 

Klasse von Funktionen, die durch 

∞∑ z l 

g n (z) = 

(2.32) 

l n 

definiert ist. Damit g 3/2 (z) die Zustandsgleichung erfüllt, muß die Fugazität z zwischen 0 

und 1 liegen, so daß g 3/2 (z) eine beschränkte, positive, monoton wachsende Funktion ist. 

Nach Definition 2.32 erhält man 

g 3/2 (z) =z + z2 

2 

l=1 

3/2 

+ 

z3 

+ ..., (2.33) 

33/2


deren Ableitung für z =1zwar divergiert, jedoch einen endlichen Wert besitzt: 

∞∑ 

( ) 

1 3 

g 3/2 (1) = 

l = ζ =2, 612 (2.34) 

3/2 2 

l=1 

Bei ζ(n) handelt es sich um die Riemansche Zetafunktion, die nach [66] für alle n mit g n 

wie 

verknüpft ist. Für den beschränkten Bereich von z gilt weiterhin 

g n (1) = ζ(n) (2.35) 

g 3/2 ≤ 2, 612. (2.36) 

Abbildung 2.1 zeigt eine graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z). 

2,612 

g 3/2 (z) 

Abbildung 2.1: Graphische Darstellung der Funktion g 3/2 (z). 

1 

z 

Formt man (2.30) mit dem Erwartungswert der Grundzustandsbesetzungszahl 

〈η 0 〉 = z 

1 − z 

um zu 

so folgt, daß 

〈η 0 〉 

V 

(2.37) 

= 

λ3 

v − g 3/2(z), (2.38) 

〈η 0 〉 

V > 0 (2.39) 

ist, wenn für die Temperatur und das spezifische Volumen 

λ 3 

v >g 3/2(1) (2.40) 

gilt. Das bedeutet, daß eine makroskopische Zahl der Teilchen das Grundzustandsniveau 

besetzt, und diese Bedingung definiert einen Unterraum des thermodynamischen (P ,V ,β)- 

Raumes für das ideale Bose-Gas, der dem Übergangsgebiet zum Bose-Einstein-Kondensat 

entspricht.

2.2 Die Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen Ensemble 11 

Vom übrigen Teil des (P ,V ,β)-Raumes ist das Kondensationsgebiet durch die zweidimensionale 

Fläche 

λ 3 

v = g 3/2(1) (2.41) 

getrennt. Legt man also das spezifische Volumen v fest und löst diese Gleichung nach λ 3 

auf, ergibt sich eine kritische Temperatur 

T c = 1 β c 

= 

2π~ 2 

m ( vg 3/2 (1) ) 2/3 . (2.42) 

Diese Temperatur entspricht dem Punkt, an dem die thermische De-Broglie-Wellenlänge λ 

von der gleichen Größenordnung wie der mittlere Teilchenabstand ist. Ist die Temperatur 

fest und gegeben, so erhält man ein kritisches Volumen 

v c = 

λ3 

g 3/2 (1) . (2.43) 

Vollzieht man den Grenzübergang zu einem unendlichen Volumen, ergibt sich nach [69] 

für die Fugazität 

⎧ 

Lösung von g ⎪⎨ 

3/2 (z) = λ3 λ 3 

falls 

v v ≤ g 3/2(1), 

z = 

(2.44) 

⎪⎩ 

λ 3 

1 falls 

v ≥ g 3/2(1) 

und mit (2.37) folgt für die Grundzustandsbesetzungszahl 

⎧⎪ 

0 falls 

〈η 0 〉 ⎨ 

N = ( ) 3/2 

⎪ T ⎩ 1 − = 1 − v falls 

T c 

Der Verlauf dieser Funktion ist in Abbildung 2.2 wiedergegeben. 

v c 

λ 3 

v ≤ g 3/2(1), 

λ 3 

v ≥ g 3/2(1). 

(2.45) 

Man sieht, daß oberhalb der kritischen Temperatur kein einziger Zustand von einer endlichen 

Anzahl Teilchen besetzt ist. Unterhalb von T c findet sich jedoch ein makroskopischer 

Anteil der Teilchen im Grundzustand, während die übrigen Bosonen ebenfalls über alle 

weiteren Zustände verteilt sind. Bei T =0befinden sich alle Teilchen im untersten Niveau. 

Oftmals wird die Bose-Einstein-Kondensation als Kondensation im Impulsraum beschrieben. 

Betrachtet man allerdings die Zustandsgleichung, so erkennt man nach Huang keinen 

Unterschied zwischen diesem Effekt und der Kondensation eines Gases zu einer Flüssigkeit, 

also eines Phasenübergangs erster Ordnung. Befindet sich das Gas in einem externen 

Potential, so findet nach Huangs Definition ein Phasenübergang zweiter Ordnung statt [69].


〈η 0 〉 /N 

1 

Abbildung 2.2: Die mittlere Besetzungszahl des Grundzustandes. 

T c 

T 

Der Begriff “Kondensation im Impulsraum” dient nur der Betonung, daß es sich bei der 

Bose-Einstein-Kondensation um eine vollständige Symmetrisierung der Wellenfunktionen 

und nicht um das Ergebnis intermolekularer Wechselwirkungen handelt. 

Aufgrund von (2.44) unterscheiden sich für alle thermodynamischen Variablen die Beschreibung 

unterhalb und oberhalb der kritischen Temperatur. Nach [95] und [69] erhält 

man für den Druck des idealen Bose-Gases 

⎧ 

1 

⎪⎨ λ g 5/2(z) falls v>v 3 c , 

βP = 

(2.46) 

⎪⎩ 

1 

λ g 5/2(1) falls vv c , 

2 Pv = ⎪ 

3 v ⎩ 

2 λ 3 β g 5/2(1) falls vv 3 c , 

⎪ ⎩ 

5 v 

2 λ g 5/2(1) falls vv 3 c , 

4 g 1/2 (z) 

V 

N = ⎪ ⎩ 

15 v 

4 λ g 5/2(1) falls v

2.3 Thermodynamische Eigenschaften von flüssigem Helium 13 

2.3 Thermodynamische Eigenschaften von flüssigem 

Helium 

Bis vor einigen Jahren war Helium die einzige bekannte Flüssigkeit, die bei sehr niedrigen 

Temperaturen existiert. Man ging davon aus, daß 4 He der einzige Stoff ist, der Einsteins 

Postulat eines Kondensats nahekommt. Der entscheidende Unterschied zwischen einem 

idealen Gas und einem realen System sind interatomare Wechselwirkungen, für deren Beschreibung 

zumindest für den Fall 4 He schon lange Theorien existieren. 

Extrapoliert man die für Helium experimentell erhaltene Dampfdruckkurve bis zum absoluten 

Nullpunkt, so zeigt sich, daß die Steigung dP/dT >0 ist, was bedeutet, daß selbst 

dort eine Flüssigkeit existiert. Eine feste Phase kann nur bei einem äußeren Druck von etwa 

25bar entstehen [70]. 

Warum aber bleibt Helium bei niedrigen Temperaturen flüssig ? Zum einen sind die Wechselwirkungen 

zwischen den Atomen bei Edelgasen schwach. Weiterhin hat es unter den 

Edelgasen die kleinste Masse. Daher ist die Nullpunktsbewegung der Atome vergleichsweise 

groß, so daß ihnen keine wohldefinierten Gitterpunkte zugeordnet werden können. 

Betrachtet man Heliumatome ohne äußeren Druck am absoluten Nullpunkt, bestimmt sich 

die wahrscheinlichste Konfiguration durch die Wellenfunktion des Grundzustandes. Diese 

muß so sein, daß die Gesamtenergie des Systems minimal wird. Man geht weiterhin davon 

aus, daß ein Atom einen durch die Dichte ρ bestimmten Bereich ∆x =(N/ρ) 1/3 einnehmen 

muß, der viel kleiner als die Reichweite des Potentials ist. ∆x ist ungefähr 0,5·10 −10 m, 

und nach der Unschärferelation ergibt sich eine Unschärfe in der Energie, die nach [70] in 

Einheiten von k B in der Größenordnung von 

∆E = 1 

2m 

( ~ 

∆x 

) 2 

∼ 10K (2.50) 

liegt. Da das mit der Tiefe des Potentialtopfes vergleichbar ist, ist es nicht möglich, die 

Teilchen zu lokalisieren. Andere Edelgase bleiben dagegen bei tiefen Temperaturen nicht 

flüssig, weil ihre Massen größer sind. Das leichtere H 2 besitzt so starke molekulare Wechselwirkungen, 

daß es bei endlicher Temperatur in den festen Zustand übergeht. Im Gegensatz 

zum Wasserstoff besitzt Helium keine gebundenen Zwei-Teilchen-Zustände. 

In der Natur tritt Helium in Form von zwei Isotopen, 3 He und 4 He, auf, die unter Normaldruck 

bei 3,2K und 4,2K flüssig werden. 3 He tritt jedoch in der Natur weitaus seltener 

auf und ist außerdem nur mit großem Aufwand herstellbar. Aufgrund der Zusammensetzung 

aus sechs Fermionen ist der Gesamtspin von 4 He ganzzahlig und es gehorcht der 

Bose-Statistik. 3 He dagegen besitzt einen halbzahligen Gesamtspin und läßt sich daher als 

Fermion ansehen. 

2.3.1 4 He 

Heike Kammerlingh Onnes aus Leiden in den Niederlanden erhielt 1913 den Nobelpreis, 

weil es ihm 1908 als erstem gelungen war, Helium zu verflüssigen. 1 Schon damals bemerk- 

1 Tatsächlich machte Kammerlingh Onnes’ Assistent G. Holst, der später die Philips Forschungslabore 

gründete, diese Entdeckungen. Es ist allerdings klar, daß die Experimente von Kammerlingh Onnes geplant


te er, daß in 4 He bei etwa 2 Kelvin etwas außergewöhnliches geschieht. 

Es dauerte allerdings bis zum Ende der dreißiger Jahre, bis Pjotr Kapitza das Phänomen 

experimentell studierte. 

4 He zeigt bei der Temperatur T λ =2, 18K einen sogenannten λ-Übergang 2 , das heißt an 

diesem Punkt wird die spezifische Wärme logarithmisch unendlich. Der λ-Übergang teilt 

die flüssige Phase in zwei weitere, die He I und He II genannt werden. Abbildung 2.3 zeigt 

das P ,T -Phasendiagramm von 4 He. 

P 

fest 

λ-Übergang 

25 bar 

He I 

He II 

kritischer Punkt 

Gas 

T λ =2,18K T 

Abbildung 2.3: P ,T -Phasendiagramm von 4 He. 

Lange Zeit war man der Meinung, daß ein solcher Übergang bei 3 He nicht existiert. Da 3 He 

der Fermi-Statistik gehorcht und 4 He mit der Bose-Statistik beschrieben werden kann, lag 

die Vermutung nahe, daß es sich bei diesem Vorgang um die durch molekulare Wechselwirkungen 

verfälschte Bose-Einstein-Kondensation handelt. Fritz London veröffentlichte 

diese Idee bereits 1938 [84–86]. Weitere Arbeiten zu diesem Thema wurden beispielsweise 

von Oliver Penrose und Lars Onsager vorgelegt [102]. 

Die in dieser Arbeit vorgestellten Betrachtungen gehen von einem idealen 4 He Gas aus. Die 

Masse der Teilchen beträgt m4 He =6, 6455168 · 10 −27 kg, und die Dichte von flüssigem 

Helium ist ρ4 He = 125 kg . Das Volumen V , in dem sich die Teilchen befinden, wird als 

m 3 

konstant angesehen und aus Masse, Dichte und Teilchenzahl N berechnet. Setzt man diese 

Werte in die Gleichung 

( 

T c = 2π~2 N 

mk B Vg 3/2 (1) 

) 2 

3 

(2.51) 

ein, ergibt sich die kritische Temperatur T c = 3, 14K. Der Unterschied zwischen dem 

λ-Übergang und dem Wert des idealen Bose-Gases ist, daß es sich nicht um einen Phasenübergang 

erster Ordnung handelt. Zwar spielt die Bose-Statistik die größte Rolle beim 

Übergang in flüssigem 4 He, es existiert jedoch bisher keine exakte Theorie, die die intermolekularen 

Kräfte vollständig einbezieht. Obwohl die potentielle Energie zwischen 4 He 

Atomen bekannt ist, läßt sich die Zustandssumme nur formal aufschreiben und ist bisher 

und vorgeschlagen worden sind [23]. 

2 Der griechische Buchstabe λ wurde für die Bezeichnung dieses Übergangs gewählt, weil die Form des 

Temperaturverlaufs der spezifischen Wärme C V in der Nähe von T λ diesem Zeichen ähnlich sieht. Ähnlichkeiten 

bestehen auch zu den Übergängen von Ferromagneten in der Nähe des Curie-Punktes und binären 

Legierungen in der Nähe des Ordnungs-Unordnungs-Überganges.

2.3 4 He 15 

nicht explizit berechnet worden. Aus diesem Grund ist der Zusammenhang zwischen dem 

λ-Übergang und der Bose-Einstein-Kondensation zur Zeit nur eine sinnvoll erscheinende 

Vermutung. 

Könnte Helium sich oberhalb von T λ verfestigen, so würden die Wellenfunktionen der 

einzelnen Atome nicht überlappen und die Symmetrie der Gesamtwellenfunktion keine 

entscheidenden Folgen zeigen, das heißt die Bose-Einstein-Kondensation wäre nicht beobachtbar. 

Eine gute Beschreibung von 4 He für Temperaturen unterhalb der Übergangstemperatur T λ 

ist die sogenannte Zwei-Phasen-Theorie von Laszlo Tisza, die die Koexistenz einer suprafluiden 

und einer normalen Phase annimmt [118]. 3 Die Atome im Grundzustand, also 

das Bose-Einstein-Kondensat, entsprechen hier der suprafluiden Phase, und die angeregten 

Atome befinden sich in der normalen Phase. Tisza nimmt an, daß sich die normale Flüssigkeit 

wie eine gewöhnliche, klassisch bekannte Flüssigkeit verhält und der suprafluide Teil 

einige außergewöhnliche Eigenschaften besitzt: Ihre Entropie ist Null und sie kann ohne 

Widerstand durch Kanäle von extrem kleinen Durchmessern fließen. 4 Eine sehr kleine Öffnung 

in einem Gefäß mit He II filtert die suprafluide Komponente, weil die andere Phase 

das Loch nicht passieren kann. Verbindet man zwei Gefäße mit einem dünnen Rohr und 

bringt einen Teil der suprafluiden Komponente durch ein Druckgefälle dazu, in das andere 

Gefäß zu fließen, steigt die Entropie pro Masseneinheit im ersten Gefäß an und nimmt im 

zweiten ab. Aus diesem Grund erwärmt sich das erste Gefäß und das zweite kühlt sich ab 

(mechanokalorischer Effekt). Der umgekehrte Effekt, also die Erzeugung eines Druckgefälles 

durch Erwärmung, heißt Springbrunnen-Effekt. Weiterhin ist suprafluides Helium in 

der Lage, an Wänden hochzufließen und ein ausgezeichneter Wärmeisolator. 

Die beschriebenen Effekte lassen sich mit dem Zwei-Flüssigkeits-Modell erklären, es fehlt 

jedoch eine vollständige hydrodynamische Beschreibung von flüssigem 4 He, sowie seiner 

molekularen Natur. 5 Landau und Feynman versuchen die molekulare Natur mit Hilfe des 

Zwei-Flüssigkeits-Modells in der Nähe des absoluten Nullpunktes zu erklären. 

Wie in einem Phononengas ist die experimentelle spezifische Wärme bei Temperaturen in 

der Nähe des Nullpunktes proportional zu T 3 . Landau beschreibt daher die Zustände in der 

Nähe des Grundzustandes als ein Gas aus nicht miteinander wechselwirkenden Elementar- 

3 Auch für Bose-Einstein Kondensate aus Alkaliatomen existieren Ansätze dieser Art. Siehe beispielsweise 

[36]. 

4 Die Fähigkeit durch extrem kleine Durchmesser fließen zu können, macht man sich in der Praxis zum 

Beispiel bei modernen supraleitenden Magneten zu nutze. Möchte man sehr starke Felder erzeugen, so sind 

zum einen Spulen mit vielen Wicklungen und zum anderen hohe Ströme nötig. Damit die Spulen, die in der 

Regel aus Niob hergestellt werden, möglichst gut gekühlt werden, benutzt man nicht nur flüssiges, sondern 

suprafluides Helium. Dieses ist in der Lage, zwischen den Niobwicklungen hindurchzufließen und dadurch 

eine gleichmäßige Kühlung zu gewährleisten. Eine Anwendung finden solche Magnete mit Feldern von etwa 

10 Tesla beispielsweise in zukünftigen Beschleunigern [57]. 

5 Bisher sind nur Neutronenstreuexperimente in der Lage, den Anteil der kondensierten Phase zu messen. 

Allerdings sind die Ergebnisse schwer zu interpretieren, und es wird nicht damit gerechnet, daß der kondensierte 

Teil in den nächsten Jahren direkt mit solchen Verfahren beobachtet werden kann [114]. Neuere 

Ansätze arbeiten mit niederenergetischen Heliumstrahlen, die auf eine suprafluide Schicht gelenkt werden. 

Ein Atom, das auf das Target trifft, besitzt eine Wahrscheinlichkeit mit den kondensierten Atomen zu wechselwirken 

und sofort auf der anderen Seite des Targets wieder auszutreten (Quantum Evaporation). Durch 

Time-of-Flight Messungen kann der kondensierte Anteil bestimmt werden [122].


anregungen, deren Energieniveaus 

E n = E 0 + ∑ k 

~ω k n k (2.52) 

sind [70, 83]. 6 ~ω k ist die Energie einer Elementaranregung mit dem Wellenvektor k und 

n k =0, 1, 2... die jeweilige Besetzungszahl. Diese Energie muß in der Nähe des Nullpunktes 

die richtige spezifische Wärme liefern. Da die Temperatur proportional zu T 3 ist, 

folgt für k → 0 die Beziehung ω k → ~ck (k ist hier der Betrag von k). Die Schallgeschwindigkeit 

c in flüssigem Helium berechnet sich nach der statischen Definition der 

Festkörpertheorie: 

c = √ ∂ ρ P. (2.53) 

(Gleichung 2.53 gilt nur, wenn c viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist !) Für endliche 

Temperaturen erhält die spezifische Wärme C V einen zusätzlichen Term exp(−∆/k B T ). 

Bei ∆ handelt es sich um eine aus dem Experiment zu bestimmende Konstante. Weitere 

Konstanten dieser Art sind k 0 und σ, sodaß gilt: 

{ ~ck (k ≪ k0 ) 

~ω = 

∆+ ~2 (k−k 0 ) 2 

(k ∼ k 

2σ 0 ) 

(2.54) 

Diese Funktion ist in Abbildung 2.4 dargestellt. Der Teil für kleine k verläuft linear und 

~ω k 

Rotonenanteil 

Phononenanteil 

~ck 

Abbildung 2.4: Energiespektrum aus Phononen- und Rotonenanteil. 

wird Phononenanteil genannt, der Teil um k 0 dagegen Rotonenanteil. Landau dachte, daß es 

sich bei den Rotonen um von den Phononen verschiedene Anregungen mit Spin ~ handelt 

und gab ihnen daher den zusätzlichen Namen. Tatsächlich sind allerdings beide Teilstücke 

der in Abbildung 2.4 dargestellten Kurve Teil einer einzigen Funktion. 

Bei tiefen Temperaturen und geringer Dichte kann man die Quasiteilchen als unabhängig, 

also als ideales Bose-Gas, betrachten. In großkanonischer Näherung ist die mittlere Teilchenzahl 

〈n k 〉 = 

k 0 

∆ 

k 

1 

e ~βω k − 1 

, (2.55) 

6 Landau soll einmal folgendes gesagt haben: “Die Theorie der Suprafluidität ist meine beste Theorie, weil 

sie bis jetzt niemand richtig versteht.”

2.3 3 He 17 

und die innere Energie im Volumen V wird 

U = E 0 + ∑ k 

~ω k 〈n k 〉 = E 0 + V ∫ ∞ 

dk 

k2 ~ω k 

. (2.56) 

2π 2 e β~ω k − 1 

0 

Dann ist die spezifische Wärme für N Teilchen 

C V = ∂ T U. (2.57) 

Da bei niedrigen Temperaturen nur der Photonen- und Rotonenanteil zum Integral in der 

Gleichung für die innere Energie beitragen, kann die spezifische Wärme näherungsweise 

aus diesen beiden Anteilen zusammengesetzt werden, indem man für ~ω den entsprechenden 

Teil aus (2.54) in (2.56) einsetzt und jeweils partiell nach der Temperatur T differenziert. 

Während Landau das Problem auf phänomenologische Weise löst, indem er sein Energiespektrum 

über experimentell zu bestimmende Konstanten anpaßt, bedient Feynman 

[41–44, 88] sich der Quantenmechanik. 

Er beschreibt die Wellenfunktion des Zustandes, in dem eine Elementaranregung vorhanden 

ist, näherungsweise durch 

ψ k ∼ 

N∑ 

e ikr j 

ψ 0 , (2.58) 

j=1 

wobei ~k der Impuls der Elementaranregung und ψ 0 die Grundzustandswellenfunktion 

sind [70]. Laut Feynman beschreibt ψ k für k → 0 eine Dichteschwankung in der Flüssigkeit, 

also eine Schallwelle. Das bedeutet, daß es sich bei den Phononen um quantisierte 

Schallwellen handelt. Ist k endlich, sind die durch ψ k beschriebenen Bewegungen komplizierter 

und wenn k ungefähr k 0 entspricht, ist ψ k näherungsweise noch im Roton-Gebiet 

gültig. 

Die Beschreibung durch ψ k funktioniert bei sehr niedrigen Energien gut, andere Anregungstypen 

müssen jedoch vom Grundzustand durch eine endliche Energielücke getrennt 

sein. 

2.3.2 3 He 

Wie bereits erwähnt, tritt 3 He in der Natur extrem seltener auf als 4 He und wird auch für 

die Betrachtungen in späteren Kapiteln dieser Arbeit nicht benutzt. Allerdings sorgte dieses 

Isotop in den letzten Jahren für große Aufmerksamkeit und soll daher an dieser Stelle kurz 

behandelt werden. 

Aufgrund seines halbzahligen Spins folgen 3 He Atome der Fermi-Dirac-Statistik und sollten 

daher nicht im Grundzustand kondensieren. 

1971 gelang es den Amerikanern David M. Lee, Douglas D. Osheroff und Robert C. Richardson 

von der Cornell-Universität zwei suprafluide Phasen von 3 He zu finden [97]. Zur


Zeit dieser Entdeckung war ihnen aber nicht klar, was wirklich vorging. Daher nahmen 

sie an, daß sie es geschafft hätten, zwei verschiedene magnetische Phasen von festem 3 He 

bei Temperaturen von 1,8mK und 2,7mK zu finden. Einige Monate später klärten sie diesen 

Irrtum in einem zweiten Artikel auf [96] und erhielten 1996 für ihre Entdeckung den 

Nobelpreis [98]. 

Kurze Zeit nach diesen Entdeckungen wurde eine dritte suprafluide Phase entdeckt. Erst 

durch Anlegen eines Magnetfeldes werden jedoch alle Phasen stabil. Ohne Feld sind nur 

die beiden ersten Phasen, die A und B genannt werden, stabil. Genauer gesagt existiert A in 

einem endlichen Temperaturbereich über einem kritischen Druck von 21 Bar (siehe Abbildung 

2.5). Phase B beansprucht einen großen Teil des Phasendiagramms und existiert bis 

zu den tiefsten bisher erreichten Temperaturen. Durch Anlegen eines Magnetfeldes wird A 

bis zum absoluten Nullpunkt stabil, und die dritte Phase, genannt A 1 , belegt einen schmalen 

Streifen zwischen A und B, der so schmal ist, daß er in Abbildung 2.5 nicht mehr aufgelöst 

werden kann. 

33bar 

P 

fest 

A-Phase 

B- 

Phase 

normal-flüssig 

Gas 

10 −3 K 

log T 

Abbildung 2.5: P ,T -Phasendiagramm von 3 He. Die A 1 -Phase ist nicht eingezeichnet, da sie nur 

einen sehr kleinen Streifen zwischen A und B einnimmt, der in diesem Diagramm nicht zu erkennen 

wäre. Zur Hervorhebung der tiefen Temperaturen ist die Temperatur im Gegensatz zu Abbildung 

2.3 logarithmisch aufgetragen. 

Theorien zur Beschreibung dieses Phänomens lehnen sich an der BCS-Theorie zur Beschreibung 

von Supraleitung in Metallen an. Bardeen, Cooper und Schrieffer zeigten 1957, 

daß Fermionen unter bestimmten Bedingungen sogenannte Cooper-Paare bilden können, 

die sich dann wie Bosonen verhalten. Diese Paare können in den Grundzustand kondensieren 

[21]. 

Die Eigenschaften der Paare sind allerdings in Supraleitern sehr unterschiedlich zu den 

3 He-Paaren. Während in supraleitenden Metallen das positiv geladene Ionengitter die Paarung 

zweier Elektronen mit entgegengesetztem Drehimpuls und Spin zu einem Cooper- 

Paar mit Gesamtspin und Gesamtdrehimpuls Null (L = S =0) ermöglicht (Spin-Singlet 

s-Wellen-Paarung), ist dieses in einer Flüssigkeit wie 3 He nicht möglich [120]. Dort entsteht 

die Paarung durch magnetische Wechselwirkungen, und die beiden Atome rotieren 

umeinander. Dadurch ergibt sich ein Drehimpuls von L =1. Weiterhin stellen sich die 

Spins in allen drei Phasen parallel und ergeben S = 1 (Spin-Triplet p-wave Paarung). 

Eine Triplet Konfiguration hat drei mögliche Zustände mit verschiedenen Projektionen in

2.4 Wechselwirkende Quantengase in harmonischen Fallen 19 

z-Richtung: 

S z =1 =⇒ ψ =|↑↑〉 

S z =0 =⇒ ψ = 1 √ 

2 

(|↑↓〉+ |↓↑〉) 

S z = −1 =⇒ ψ =|↓↓〉 

Die Wellenfunktion des Paares ist dann eine Überlagerung der drei Zustände 

ψ(p) =ψ 1,1 (p) |↑↑〉 + ψ 1,0 (p)(|↑↓〉+ |↓↑〉)+ψ 1,−1 (p) |↓↓〉, (2.59) 

wobei ψ 1,1 (p), ψ 1,0 (p) und ψ 1,−1 (p) die einzelnen Amplituden sind. 

Die oben angegebene Entartung der Spins von 3 He gilt natürlich auch für den Drehimpuls 

L. Damit würden sich 2(2L + 1)(2S +1)=18Komponenten im Gegensatz zu den zwei 

Komponenten bei Supraleitern ergeben. Obwohl einige von ihnen gekoppelt sind, ist die 

Wellenfunktion kompliziert, wodurch erheblich mehr Freiheitsgrade entstehen. 

Die Kopplung der einzelnen Cooper-Paare in einem Kondensat bewirkt, daß eine bestimmte 

Energie nötig ist, um den kondensierten Zustand zu zerstören. Eine weitere Konsequenz 

ist eine kritische Rotationsgeschwindigkeit der Flüssigkeit. Oberhalb dieser ist keine freie 

Rotation möglich und es bilden sich Wirbel mit quantisierter Drehfrequenz (Vortizes). Aus 

der Supraleitung bekannte Josephson-Effekte, also ringförmige Wirbel, die bei Anlegen 

eines externen magnetischen Feldes entstehen, treten ebenfalls auf. 

2.4 Wechselwirkende Quantengase in harmonischen 

Fallen 

Als Albert Einstein 1924 den heute als Bose-Einstein-Kondensation bekannten Effekt vorhersagte 

[39], glaubte niemand an eine mögliche experimentelle Realisierung dieses Phänomens, 

da die Theorie für ein ideales Gas aufgestellt wurde. Bei realen Gasen allerdings 

dürfen interatomare Wechselwirkungen, die zu einer Verschiebung der Übergangstemperatur 

in die Nähe des absoluten Nullpunktes führen, nicht vernachlässigt werden. Die dadurch 

benötigten sehr niedrigen Temperaturen waren damals weit entfernt von den experimentellen 

Möglichkeiten. 

Um die Wechselwirkungen möglichst klein zu halten, benutzen die in Abschnitt 4.7 beschriebenen 

Experimente sehr geringe Teilchendichten. Wie gut die Näherung als ideales 

Teilchengas ist, soll in Abschnitt 5 überprüft werden. 

Wechselwirkungen können sowohl abstoßend als auch anziehend sein. Während in Gasen 

aus 87 Rb- oder 23 Na- Atomen hauptsächlich Zwei-Teilchen-Stöße für eine abstoßende Kraft 

sorgen,ziehensich 7 Li- Atome an. Ein Theorem von Bogoliubov besagt, daß in einem 

freien, sich anziehenden Gas keine Bose-Einstein-Kondensation stattfinden kann [13], und 

lange ging man davon aus, daß diese Beschränkung auch für gefangene Atome gilt. Die 

Experimente der Gruppe um Randal L. Hulet widerlegten diese These eindeutig [18], denn 

Bogoliubov zog nur Zwei-Teilchen-Wechselwirkungen in Betracht. Eine Einschränkung


gegenüber anderen Atomen gibt es dennoch, denn durch die anziehende Wechselwirkung 

ist die maximale Anzahl von Teilchen in einer Falle auf etwa 1400 begrenzt [17,35,83,90]. 

Sehr wichtig bei der Betrachtung der Wechselwirkungen in einer Atomwolke ist die Tatsache, 

daß es sich um inhomogene Systeme endlicher Größe handelt. Die Zahl der Atome 

in den Fallen, deren Potential sich in der Regel gut durch ein anisotropes harmonisches 

Oszillatorpotential, 

V ext (x, y, z) = m 2 

( 

ω 

2 

x x 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2) , (2.60) 

annähern läßt, variiert typischerweise von einigen Tausenden bis zu mehreren Millionen. 

Vernachlässigt man die Wechselwirkungen, ist der Viel-Teilchen-Hamilton-Operator die 

Summe der Ein-Teilchen-Operatoren, und die Eigenwerte haben die in Anhang A.1 angegebene 

Form. In einem Kondensat befinden sich nahezu alle Teilchen im Grundzustand, 

dessen Wellenfunktion dann durch 

( mωho 

) 3/4 ( 

ψ 0 (x, y, z) = 

exp − m ( 

ωx x 2 + ω y y 2 + ω z z 2)) (2.61) 

π~ 

2~ 

gegeben ist. In dieser Gleichung wird das geometrische Mittel der Oszillatorfrequenzen 

ω ho =(ω x ω y ω z ) 1/3 (2.62) 

eingeführt, das in den meisten Artikeln verwendet wird. Die Dichteverteilung ist folglich 

(mit r =(x, y, z)) 

ρ(r) =N|ψ 0 (r)| 2 (2.63) 

und schwankt, wenn die Wechselwirkungen einbezogen werden, innerhalb der Wolken in 

der räumlichen Größenordnung des harmonischen Potentials 

a ho = 

√ 

~ 

mω ho 

, (2.64) 

die einigen Mikrometern entspricht. Da Rubidium- und Natrium-Atome sich abstoßen, 

wird dieser Effekt sogar noch vergrößert. Die Größe a ho bestimmt ebenfalls den Durchmesser 

der kondensierten Wolke und ist unabhängig von der Teilchenzahl. In der Praxis 

befinden sich allerdings immer einige Teilchen in höher angeregten Zuständen und verursachen 

damit eine Vergrößerung der Ortsverteilung. 

Aufgrund der geringen Dichte der Gase sind Zwei-Körper-Stöße die einzigen nennenswerten 

Stoßprozesse. Diese können allerdings die Anzahl der Teilchen, die sich unterhalb der 

kritischen Temperatur im Zentrum der Falle befinden, um bis zu zwei Größenordnungen 

verringern [30]. 

Der am häufigsten verwendete Ansatz zur Beschreibung eines schwach wechselwirkenden 

Bosonengases ist die Gross-Pitaevskii Theorie [53, 54, 106], die im folgenden Abschnitt 

eingeführt werden soll. Oberhalb der kritischen Temperatur kann ein reales Bose-Gas gut 

durch die in den vorherigen Kapiteln angegebenen quantenstatistischen Ensembles genähert 

werden [9,59], da die Dichte im Zentrum der Falle erst bei der Kondensation ansteigt.

2.4 Die Gross-Pitaevskii-Theorie 21 

2.4.1 Die Gross-Pitaevskii-Theorie 

1947 formulierte Bogoliubov als erster eine Theorie zur Beschreibung dünner Bose-Gase 

[13], deren Grundidee hier dargelegt werden soll. 

Der Viel-Teilchen-Hamilton-Operator für N wechselwirkende Bosonen lautet 

∫ ( 

Ĥ = dr ˆΨ + (r) − ~ 

) 

2m ∆+V ext(r) ˆΨ(r) 

+ 1 ∫ 

dr dr ′ 

2 

ˆΨ+ (r) ˆΨ + (r ′ ) V (r − r ′ ) ˆΨ(r ′ ) ˆΨ(r). (2.65) 

Bei ˆΨ + (r) und ˆΨ(r) handelt es sich um Boson-Feldoperatoren, die ein Teilchen am Ort r 

erzeugen oder vernichten, und V (r − r ′ ) beschreibt das Zwei-Teilchen-Potential. Mit den 

Ein-Teilchen-Wellenfunktionen ψ α (r) und den dazugehörigen Vernichtungsoperatoren â α 

kann der Feldoperator als Summe ausgedrückt werden: 

ˆΨ(r) = ∑ α 

ψ α (r)â α (2.66) 

Die Ein-Teilchen Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren sind mit den Eigenwerten n α 

des Teilchenzahl-Operators ˆN α =â + α âα durch die Relationen 

und 

gegeben. 

â + α | n 0 ,n 1 , ..., n α , ...〉 = √ n α +1| n 0 ,n 1 , ..., n α +1, ...〉 (2.67) 

â α | n 0 ,n 1 , ..., n α , ...〉 = √ n α | n 0 ,n 1 , ..., n α − 1, ...〉 (2.68) 

Eine Bose-Einstein-Kondensation findet statt, wenn die Anzahl Atome n 0 in einem bestimmten 

Ein-Teilchen-Zustand sehr groß wird. Dann gilt n 0 = 〈η 0 〉, und es ergibt sich 

â 0 =â + 0 = √ 〈η 0 〉. (2.69) 

Bei einem gleichmäßigen Gas mit Volumen V, in dem die Kondensation im Ein-Teilchen- 

Zustand ψ 0 =1/ √ V stattfindet, kann der Feldoperator durch 

ˆΨ(r) = √ 〈η 0 〉 /V + ˆΨ ′ (r) (2.70) 

ausgedrückt werden, wenn man eine kleine Störung ˆΨ ′ (r) einführt. 

Bogoliubovs Beschreibung läßt sich dann auf ungleichmäßige und zeitabhängige Konfigurationen 

verallgemeinern: 

ˆΨ(r,t)=φ(r,t)+ ˆΨ ′ (r,t), (2.71)


wobei φ(r,t) der Erwartungswert des Feldoperators ist und die Bedeutung eines Ordnungsparameters 

trägt. Die Funktion wird oft auch als Wellenfunktion des Kondensats, die einem 

klassischen Feld mit gegebener Amplitude und Phase entspricht, bezeichnet. 

Soll eine Gleichung für diese Wellenfunktion gefunden werden, muß mit Hilfe des 

Hamilton-Operators (2.65) die Zeitentwicklung des Feldoperators 

i~ ∂ t ˆΨ(r,t)= 

〈 

[ ˆΨ(r,t), Ĥ] 〉 

= 

(− ~2 

2m ∆+V ext(r)+ 

∫ 

) 

dr ′ ˆΨ+ (r ′ ,t) V (r ′ − r) ˆΨ(r ′ ,t) ˆΨ(r,t) (2.72) 

ermittelt werden. Nimmt man weiterhin an, daß es sich bei den Atomen um klassische 

Feldquellen handelt (Born-Näherung), darf der Feldoperator ˆΨ(r,t) durch das klassische 

Feld φ(r,t) ersetzt und die Kopplungskonstante 

∫ 

g = dr V (r) (2.73) 

eingeführt werden. Diese wird dann durch die s-Wellen-Streulänge a ausgedrückt, so daß 

man 

g = 4π~2 a 

(2.74) 

m 

erhält. Die s-Wellen-Streulänge ist für abstoßende Teilchen positiv und für anziehende 

Kräfte negativ. Nimmt man weiter an, daß die Änderung der Wellenfunktion in der Größenordnung 

der Reichweite des Potentials liegt, erhält man folgende Gleichung: 

) 

i~ ∂ t φ(r,t)= 

(− ~2 

2m ∆+V ext(r)+g|φ(r,t)| 2 φ(r,t). (2.75) 

Da es möglich ist, die Kopplungskonstante g durch die s-Wellen-Streulänge auszudrücken, 

gilt Gleichung (2.75) auch außerhalb der Born-Näherung. Der Grund dafür ist, daß die 

durchschnittliche Streulänge in einem dünnen Gas viel kleiner als der mittlere Abstand der 

Atome ist. Somit können alle Wechselwirkungsprozesse, unabhängig von der Form des 

Zwei-Teilchen Potentials, mit Hilfe von a beschrieben werden. E.P. Gross und L.P. Pitaevskii 

entwickelten die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (2.75), die daher heute unter dem 

Namen Gross-Pitaevskii-Gleichung bekannt ist, unabhängig voneinander [53, 54, 106]. 

Aufgrund der Annahme, daß die Störung ˆΨ ′ (r,t) verschwindet, gilt die hier aufgezeigte 

Beschreibung streng genommen nur für den Fall T = 0, wenn sich also alle Teilchen 

im Grundzustand befinden. Da allerdings unterhalb der kritischen Temperatur T c nahezu 

alle Teilchen kondensiert sind, bietet die Gross-Pitaevskii-Gleichung eine gut geeignete 

Näherung eines realen Systems und liefert Ergebnisse, die gut mit den experimentellen 

Daten übereinstimmen. 

Numerische Lösungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung können relativ leicht gefunden werden, 

so daß es nicht verwundert, daß bereits verschiedene Veröffentlichungen mit unterschiedlichen 

Ansätzen existieren [31, 38, 68]. Die Ergebnisse dieser Arbeiten stimmen 

ebenfalls mit Monte-Carlo-Simulationen, die von dem oben angegebenen Viel-Teilchen- 

Hamilton-Operator (2.65) ausgehen, überein [80].

2.4 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften 23 

Bei anziehenden Wechselwirkungen oder hohen Dichten in der Atomwolke können Viel- 

Körper-Stöße oder Rekombinationsprozesse unter Umständen nicht mehr vernachlässigt 

werden. Es existieren verschiedene Ideen, dieses Problem in die Gross-Pitaevskii-Theorie 

zu integrieren, wobei eine Möglichkeit darin besteht, eine modifizierte Gleichung, die zusätzliche 

Wechselwirkungsterme enthält, einzuführen [3]. 

2.4.2 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften 

Mit der großkanonischen Näherung erhält man für die Übergangstemperatur eines idealen 

Bose-Gases in einer harmonischen Falle die Gleichung (in Einheiten von k B ) 

( ) N 1/3 

T c = ~ω ho . (2.76) 

ζ(3) 

Dabei stellt ζ(3) = 1, 202 die Riemansche Zetafunktion dar. Die Anwesenheit abstoßender 

Kräfte bewirkt eine Vergrößerung der Wolke und damit eine geringere Dichte, wodurch die 

Übergangstemperatur nach unten verschoben wird. 

Mit Hilfe der Hartree-Fock Näherung ist es möglich, die Verschiebung der kritischen Temperatur 

abzuschätzen. Dazu nimmt man an, daß die Atome sich wie nicht wechselwirkende 

Teilchen in einem effektiven Potential V eff (r) verhalten. Dieses Potential setzt sich aus dem 

externen Potential V ext (r) und einem Wechselwirkungsterm zusammen, der die Dichte ρ(r) 

und die Kopplungskonstante g enthält. Für den effektiven Hamilton-Operator ergibt sich also 

Ĥ HF = − ~2 

2m ∆+V ext(r)+2gρ(r). (2.77) 

Diese Methode wurde erstmals 1981 von Goldman, Silvera und Leggett angewandt [49] 

und später auf die aktuellen Experimente erweitert [48, 113]. 

Nach [48] verschiebt sich die kritische Temperatur linear mit der s-Wellen-Streulänge 

δT c 

T c 

= −1.3 a 

a ho 

N 1/6 , (2.78) 

und für eine typische Konfiguration liegt diese Verschiebung bei etwa vier Prozent. 

Für die Grundzustandsbesetzungszahl gilt in einem idealen Gas nach [69] 

( ) 3 

〈η 0 〉 T 

N =1− , (2.79) 

T c 

und führt man auch hier die Wechselwirkung ein, ergibt sich nach [30] mit dem chemischen 

Potential µ 

〈η 0 〉 

N 

( ) 3 T =1− − µ ζ(2) 

T c ζ(3) 

T 2 

Tc 

3 

( ( ) ) 3 2/5 

T 

1 − . (2.80) 

T c 

Die Herleitung dieser Formel soll an dieser Stelle nicht angegeben werden, allerdings ist 

der zu Gleichung (2.79) zusätzliche Term von großer Bedeutung, denn für abstoßende Teilchen 

kann er dazu führen, daß sich die Anzahl der Atome im Grundzustand um ein fünftel 

verringert.

3 

Rekursionsformeln 

zur Berechnung 

der Zustandssumme 

Sowohl in den meisten Lehrbüchern als auch in Abschnitt 2.2 wird das Phänomen der Bose- 

Einstein-Kondensation mit dem großkanonischen Ensemble beschrieben (siehe 2.1.3). Wie 

bereits erklärt, unterscheidet sich die experimentelle Situation in vielerlei Hinsicht von den 

Voraussetzungen eines mit der großkanonischen Gesamtheit beschriebenen idealen Gases, 

da die Anzahl der Teilchen in der Atomwolke endlich und konstant ist. 

Weiterhin beeinflussen die Fallenpotentiale die Eigenschaften der Kondensate. Obwohl die 

Gaswolken sehr dünn sind, muß überprüft werden, ob die Beschreibung als ideales Gas 

richtig ist. 

Aus diesen Gründen bietet sich eine mikrokanonische oder kanonische Beschreibung an. 

Eine der wichtigen Fragen, die eine Theorie zur Beschreibung eines idealen Bose-Gases 

zu beantworten hat, ist die nach dem Verhalten der Fluktuation der Besetzungszahl des 

Grundzustandes δη 0 (N,β), da diese Fluktuationen eine große Rolle in den aktuellen Experimenten, 

das heißt bei endlichen Temperaturen, spielen. In der großkanonischen Beschreibung, 

also wenn das System in der Lage ist, Energie und Teilchen mit einem Reservoir 

auszutauschen, ergibt sich für die durchschnittlich erwartete Grundzustandsfluktuation 

δη 0 = √ η 0 (η 0 +1), (3.1) 

die allerdings gegen N strebt, wenn die Temperatur gegen Null geht. Offensichtlich kann 

ein reales Bose-Einstein-Kondensat in einer Falle aber keine Energie oder Teilchen mit 

einem Reservoir austauschen, so daß die Fluktuationen in der Nähe von T = 0 in der mikrokanonischen 

oder kanonischen Beschreibung verschwinden müssen. 

Es existieren bereits Ansätze einer mikrokanonischen Erklärung für isotrope harmonische 

Fallen von Gajda [47] und Grossmann [55], die dieses Verhalten bestätigen. In diesem 

Kapitel soll gezeigt werden, daß äquivalente Ergebnisse auch mit Hilfe der kanonischen 

Gesamtheit erreicht werden können. 

3.1 Ein älterer Ansatz 

Sämtliche thermodynamischen Eigenschaften eines Bose-Gases aus N Teilchen sind nach 

[14] durch die Zustandssumme 

Z N (β) = 1 N 

N∑ 

Q k (β) Z N−k (β) (3.2) 

k=1 

25

26 Kapitel 3. Rekursionsformeln zur Berechnung der kanonischen Zustandssumme 

(mit Z 0 (β) =1) gegeben, wobei 

Q k (β) = ∑ i 

e −kβɛ i 

(3.3) 

die Ein-Teilchen-Zustandssumme bei der Temperatur kβ ist. Bei den ɛ i handelt es sich um 

die Ein-Teilchen-Energien. Durch Berechnung der inversen Laplace-Transformation von 

(3.2) erhält man das mikrokanonische Phasenvolumen 

Γ N (E) = 1 N 

= 1 N 

N∑ 1 

2πi 

k=1 

∫ E 

N∑ 

k=1 

0 

∫ c+i∞ 

c−i∞ 

dβe βE Q k (β)Z N−k (β) (3.4) 

dE ′ Γ k 1 (E′ )Γ N−k (E − E ′ ), (3.5) 

wobei Γ k 1(E) die inverse Laplace-Transformation von Q k (β) und Γ 0 (E) =δ(E) ist. 

Die Rekursionsformel wird beispielsweise in [12] erfolgreich angewendet, hat aber den 

Nachteil, daß der Rechenaufwand mit N 2 steigt. Um nämlich thermodynamische Größen 

mit ihr zu berechnen, tritt jedesmal der Normalisierungsfaktor Z N (β) auf und muß explizit 

ermittelt werden. Weiterhin steigt Z N (β) exponentiell mit der Teilchenzahl, so daß mit 

einer hohen Rechengenauigkeit gearbeitet werden muß. Bei numerischen Rechnungen ist 

daher die maximale Anzahl Teilchen auf etwa 2000 beschränkt. 

3.2 Die neue Rekursionsformel 

Ein neuerer Ansatz verwendet (3.2), um eine Rekursion zu erhalten, deren Rechenaufwand 

nur mit N steigt und ist in [15] beschrieben. Die Herleitung der Rekursionsformel soll an 

dieser Stelle skizziert werden, da sie in späteren Kapiteln benutzt wird und einige Rechnungen 

aus dieser Arbeit verwendet werden, um die Nützlichkeit des Verfahrens in [15] zu 

veranschaulichen. 

Zur Vereinfachung wird Z N (β) mit der sogenannten Z-Transformation neu geschrieben: 

∞∑ Z k (β) 

Z(Z) =F (x) = 

(3.6) 

x k 

Z(Q) =G(x) = 

(mit Q 0 (β) =0). Gleichung 3.2 wird damit zu 

k=0 

∞∑ 

k=0 

Q k (β) 

x k (3.7) 

und es ergibt sich 

−x d F (x) =F (x) G(x), (3.8) 

dx 

( 

∑ ∞ 

F (x) =exp 

k=1 

) 

Q k (β) 

x −k . (3.9) 

k

3.2 Die neue Rekursionsformel 27 

Wendet man die inverse Z-Transformation an und definiert C := {x ∈ C :| x |= r}, so 

läßt sich die Zustandssumme schreiben als 

Z N (β) = 1 ∫ 

F (x)x N−1 dx , (3.10) 

2πi 

wobei r die Beziehung | Z N (β) |≤ exp(rN) erfüllen muß. Alternativ kann man 

C 

d N 

Z N (β) = 1 ∣ 

∣∣∣x=0 

N! dx F (1/x) (3.11) 

N 

angeben. Damit wird die Zahl der Teilchen mit Energie ɛ i berechenbar: 

η i (N,β) =− 1 β ∂ɛ i ln Z N (β) (3.12) 

( ( 

= − 1 1 d N 

∞ 

∣ 

βZ N (β) N! dx ∂ ∑ x l ∑ ∣∣∣∣x=0 N ɛ i 

exp 

e j)) −βlɛ (3.13) 

l 

l=1 j 

[( 

= − 1 1 d N ∞ 

)( ( 

∑ 

∞ 

))] 

∑ 

(−β)x l e −βlɛ Q 

βZ N (β) N! dx N j 

l (β) 

exp 

x l . 

l 

l=1 

l=1 

x=0 

(3.14) 

Mit der Produktregel für N-fache Ableitungen 

d N 

( N 

dx (uv) = N 0 

und 

) 

u dN 

dx N v + ( N 

1 

( 

d k ∑ ∞ 

dx k l=1 

) d 

dx u dN−1 

dx N−1 v + ... + v ( N 

N 

) d 

N 

dx N u (3.15) 

(−β)x l e −βlɛ i) ∣ ∣∣∣∣x=0 

=(−β)k! e −βkɛ i 

(3.16) 

folgt 

η i (N,β) = 1 1 

∞∑ 

( ) ( 

N d 

k ∞ 

) 

∣ 

∑ 

x l e −βlɛ d N−k ∣∣∣∣x=0 

Z N (β) N! k dx k i 

dx F (1/x) (3.17) 

N−k 

k=0 

l=1 

∣ 

x=0 

= 1 ∞∑ 1 d N−k ∣∣∣∣x=0 

Z N (β) (N − k)! dx F (1/x) e −βɛ i 

(3.18) 

N−k 

k=1 

= 1 N∑ 

e −βkɛ i 

Z N−k (β) (3.19) 

Z N (β) 

η i (N +1,β)= 

k=1 

N+1 

1 ∑ 

e −βkɛ i 

Z N+1−k (β) (3.20) 

Z N+1 (β) 

k=1 

= Z N(β) 

Z N+1 (β) e−βɛ i 

(η i (N,β)+1) (3.21)


Da N im kanonischen Ensemble fest ist, erhält man den Normalisierungsfaktor direkt durch 

die Beziehung 

Z N (β) 

Z N+1 (β) = N +1 

∑ ∞ 

i=0 e−βɛ i (ηi (N,β)+1) . (3.22) 

In Fermi-Systemen ändert sich nur der letzte Faktor zu (1 − η i (N,β)). 

In der Praxis muß nur eine begrenzte Zahl von Energien betrachtet werden, da die Besetzungswahrscheinlichkeit 

für größere Eigenwerte schnell abnimmt. Berechnet man sie mit 

diesem Verfahren, so folgt für den Erwartungswert der Energie 

E(N,β) = 

∞∑ 

ɛ i η i (N,β). (3.23) 

i=0 

Die Fluktuation der Besetzungswahrscheinlichkeiten δη i (N,β) ist etwas komplizierter und 

enthält eine weitere Rekursion: 

(δη i (N +1,β)) 2 = 1 β 2 ∂2 ɛ i 

ln Z N+1 (β) (3.24) 

= − 1 β ∂ ɛ i 

η i (N +1,β) (3.25) 

= Z ( 

N(β) 

Z N+1 (β) e−βɛ i 

δ 2 η i (N,β) 

+ ( η i (N +1,β)+1 )( η i (N,β) − η i (N +1,β)+1 )) (3.26) 

3.2.1 Andere Ansätze 

Seit der Erzeugung des ersten Bose-Einstein-Kondensates ist von vielen Forschungsgruppen 

Arbeit in die theoretische Beschreibung der Kondensate investiert worden. Daher 

ist es nicht verwunderlich, daß auch andere Gruppen Rekursionsformeln hervorbrachten. 

K.C. Chase et al. entwickelten beispielsweise aufgrund von älteren Arbeiten zur Kernphysik 

eine zu Gleichung (3.2) analoge Rekursionsformel für die Zustandssumme des kanonischen 

Ensembles, indem sie sie aus der großkanonischen Gesamtheit ableiteten [24]. 

Ein Quantenstatistisches Ensemble, welches nur Teilchenaustausch, aber eine konstante 

Energie voraussetzt, stammt von Patrick Navez et al. und wurde 1997 veröffentlicht [93]. 

Das sogenannte “Maxwell’s Dämon Ensemble” 1 erlaubt einen Teilchenaustausch nur zwischen 

dem als Reservoir dienenden Grundzustand und den angeregten Zuständen. Diese 

Methode ist bereits mehrmals angewendet worden, um Atome in Fallen zu beschreiben 

(siehe beispielsweise [56]). 

1 Der Name dieses Ensembles kommt aus der Geschichte über Maxwells Dämon, einem hypothetischen 

genialen Geist, der in der Lage sein sollte, langsame Teilchen von schnellen zu trennen ohne Energie auszutauschen.

3.3 Anwendung auf Helium 29 

3.3 Anwendung auf Helium 

Die bisher erzeugten Bose-Einstein-Kondensate entstanden in magneto-optischen Fallen, 

den sogenannten MOTs (siehe Abschnitt 4.7). Wie bereits erwähnt, lassen sie sich gut mit 

einem dreidimensionalen, anisotropen harmonischen Oszillatorpotential nähern, da sich 

die Teilchen in der Regel in einem Magnetfeld befinden, dessen Feldstärke im Zentrum 

sehr klein ist und nach außen hin quadratisch anwächst. Es ist aber auch denkbar, daß eine 

Atomfalle eine andere Form hat, die feste Randbedingungen voraussetzt. 

In diesem Kapitel soll das in Abschnitt 3 eingeführte Rekursionsprinzip für das kanonische 

Ensemble benutzt werden, um thermodynamische Eigenschaften von idealen Bose-Gasen 

in verschiedenen Fallenpotentialen zu berechnen. Dazu werden die Energieeigenwerte in 

den einzelnen Potentialen berechnet und dann daraus mit Hilfe der Rekursion (3.21) für die 

Besetzungszahl η i (N,β) der Erwartungswert der Energie (3.23) bei verschiedenen Temperaturen 

bestimmt. Die Ableitung der Energie nach der Temperatur liefert dann die spezifische 

Wärme C V , deren Maximum die kritische Temperatur T c angibt, bei der die Kondensation 

des Systems in den Grundzustand beginnt. Da sich das als ideal angenommene 4 He 

Gas in einem Potential befindet, strebt die spezifische Wärme am Phasenübergangspunkt 

nicht gegen unendlich, sondern hat lediglich ein Maximum. 

Im Anschluß soll dann eine Betrachtung der Grundzustandsfluktuationen δη 0 (N,β) folgen, 

um genauer auf die Unterschiede der einzelnen Fallen einzugehen. 

Bei den betrachteten Potentialen handelt es sich um verschiedene harte Kugeln, Boxen und 

Zylinder, wobei die Herleitung der zugehörigen Energieeigenwerte in Anhang A nachvollzogen 

werden kann. Das Potential, in dem sich ein Teilchen mit der Masse m bewegt, 

verschwindet jeweils innerhalb des Körpers und ist außerhalb unendlich. 

In den hypothetischen Fallen befindet sich flüssiges 4 He mit einer Masse von m = 4u und 

der Dichte ρ = 0,0216Å −3 . Das Volumen V eines hier berechneten Körpers ist durch die 

Dichte und die Teilchenzahl N festgelegt, so daß daraus in Abhängigkeit von der Form der 

Potentiale die Durchmesser d, Höhen L oder Kantenlängen a bestimmt werden können. 

Für die Box und die Zylinder werden die Rechnungen jeweils für verschiedene geometrische 

Verhältnisse durchgeführt. Bei der Box wird grundsätzlich von einer quadratischen 

Grundfläche mit Kantenlänge L x = L y = a und Höhe L z = L ausgegangen. Ähnliches gilt 

für den Zylinder, dem statt einer Kantenlänge ein Durchmesser d zugewiesen wird. Die 

Hohlkugel und der Hohlzylinder erhalten den zusätzlichen Parameter λ, der das Verhältnis 

aus Außen- und Innenradius angibt. 

Berechnet werden also die thermodynamischen Eigenschaften eines idealen Bose-Gases 

in einer Kugel, einem Würfel, einem Quader mit einem Verhältnis der Kantenlänge a zur 

Höhe L von 1:4 und 4:1 und Zylindern mit entsprechenden Verhältnissen für Durchmesser 

d und Höhe L. Weiterhin werden drei Zylinder mit periodischen Randbedingungen 

und zu den anderen Zylindern identischen Abmessungen betrachtet. Periodische Randbedingungen 

bedeuten, daß die Wellenfunktionen an den Enden des Zylinders ineinander 

übergehen, und es muß überprüft werden, ob beispielsweise eine torusförmige Falle oder 

eine Falle mit “Optical Plug” (siehe Kapitel 4) besser durch ein solches Potential als durch 

einen Hohlkörper genähert werden kann. Weiterhin werden Hohlkugeln und Hohlzylinder 

mit Verhältnissen von Innen- zu Außenradius λ von 0,75 und 0,9 angenommen. Zur Ver-


anschaulichung dieser Körper dient Abbildung 3.1, die die verschiedenen Potentiale mit 

ihren Längenbezeichnungen zeigt. 

L 

L 

r 

a 

a 

d 

r 2 

d 2 

Abbildung 3.1: Zu den betrachteten Potentialen gehören Kugeln, Boxen und Zylinder und für die 

zugehörigen Hohlkörper gilt λ = r/r 2 (Kugel) und λ = d/d 2 (Zylinder). 

Die jeweils fünf niedrigsten Energieniveaus, sowie deren Entartung σ n für verschiedene 

Teilchenzahlen und Größenverhältnisse sind in den Tabellen in Anhang A angegeben und 

sollen daher an dieser Stelle nicht wiederholt werden. 

Bei der Berechnung der Energieeigenwerte ist zu beachten, daß für exakte Ergebnisse der 

anschließend anzuwendenden Rekursion alle, das bedeutet unendlich viele Werte einbezogen 

werden müssen. Dieses ist natürlich aufgrund endlicher Rechnerleistung unmöglich. 

Es genügt allerdings, eine sehr große Zahl Niveaus zu beachten, da sehr hohe Zustände 

bei den interessanten, niedrigen Temperaturen kaum besetzt sind. Trotzdem darf die Ermittlung 

der Eigenwerte nicht zu früh abgebrochen werden, da das eine Verfälschung der 

Ergebnisse zur Folge hätte. 

Die einfachste Lösung dieses Problems besteht darin, die in Bezug auf Speicher- und Zeitaufwand 

größte vertretbare Anzahl Zustände einzubeziehen. Nachteilig ist allerdings, daß 

die im vorigen Abschnitt eingeführte Rekursion die Berechnung der Besetzungszahl für jeden 

dieser Zustände erfordert und deren Rechenaufwand linear mit der Teilchenzahl steigt. 

Einen guten Kompromiß ermöglicht folgender Weg: Das Energiespektrum wird in eine 

begrenzte Zahl α gleich großer Bereiche aufgeteilt. Fällt nun ein Energieeigenwert E n in 

einen dieser Bereiche mit der mittleren Energie E α , wird die Entartung dieses Niveaus 

σ α um den Wert Eins erhöht. Sehr dicht beieinander liegende Eigenenergien werden also 

zusammengefaßt zu einem Wert mit entsprechend großer Entartung. Die Rekursion muß 

dann nur noch für diesen einen Wert durchgeführt werden, und die ermittelte Besetzungszahl 

wird anschließend mit der Entartung multipliziert. Natürlich ist eine einzelne Multiplikation 

wesentlich weniger zeitaufwendig als ein vielfaches Lösen der Gleichung 3.21. 

Am Beispiel der Eigenwerte des Zylinders mit 10000 Teilchen ist dies in Abbildung 3.2 

gezeigt. Dort ist die Entartung eines Zustandes über die Energie aufgetragen. Man sieht 

deutlich, daß σ für hohe Energien Werte von über eintausend annimmt und entsprechend 

groß sind somit auch die Einsparungen in der Rechenzeit. 

Bei geschickter Wahl der Energiebereiche ist es möglich, die Zahl der in die Berechnungen 

einfließenden Eigenwerte zwar stark zu verringern, die Ergebnisse aber nur unwesentlich

3.3 Anwendung auf Helium 31 

1000 

σ 

500 

0 

0 50 100 

E 

Abbildung 3.2: Die Entartung σ der Energieeigenwerte eines Zylinders mit 10000 Teilchen. 

zu verfälschen. Im Gegensatz zu einer Begrenzung der Energie auf einen Bereich unterhalb 

einer festen oberen Grenze ist es mit diesem Verfahren möglich, weitaus genauere Resultate 

mit viel geringerem Rechenaufwand zu gewinnen. Wichtig ist nur, daß die einzelnen 

Energiebereiche so klein sind, daß die untersten Niveaus noch getrennt werden können. 

Eine klare Unterscheidbarkeit der untersten Zustände bedeutet, daß zwischen den einzelnen 

Energien einige Energiebereiche E α unbesetzt sein müssen, denn für die Berechnungen 

wird jeweils der Mittelwert eines Bereichs verwendet. Liegt also der Zustand ɛ ijk beispielsweise 

am unteren Ende eines Bereichs, wird er in den Berechnungen zu (E α − E α−1 )/2 

verschoben. Da die untersten Zustände vergleichsweise weit auseinander liegen, verursachen 

Energiebereiche in der Größenordnung dieses Abstands eine nicht vernachlässigbare 

Verfälschung der Ergebnisse. 

Eine Einschränkung auf Energien unterhalb eines festgelegten Wertes kann durch dieses 

Verfahren zwar immer noch nicht verhindert, jedoch kann diese Grenze weit nach oben 

verschoben werden, so daß eventuell vergleichsweise stark besetzte hohe Niveaus einen 

Einfluß ausüben können. 

Für alle in dieser Arbeit vorgestellten Berechnungen der Energieeigenwerte hat sich gezeigt, 

daß für bis zu 100000 Teilchen in einem dreidimensionalen anisotropen Potential 

die ersten 500 Werte für jede Quantenzahl, insgesamt also 500 3 = 1,25·10 8 Energien, berechnet 

werden müssen. Teilt man diese große Zahl in α ges = 20000 Energiebereiche mit 

entsprechender Entartung auf, sind die untersten Niveaus noch gut zu unterscheiden und 

die Rechenzeit sinkt etwa um einen Faktor 6000. Für kleinere Teilchenzahlen könnten die 

Eigenwerte für weniger Quantenzahlen ermittelt werden, allerdings ist die zu erwartende 

Einsparung von Rechenzeit aufgrund der hohen bereits erreichten Geschwindigkeit gering. 

Im Anschluß an die Bestimmung der Energieeigenwerte erfolgt die Berechnung der Energien, 

Besetzungszahlen η i (N,β) sowie ihrer Fluktuationen für feste Teilchenzahlen N und 

einen Temperaturbereich von null bis zehn Kelvin mit Hilfe der Rekursionsformel. 

Bei der Umsetzung der Rekursionsformel in ein Programm treten ebenfalls Schwierigkeiten 

auf, wenn zu niedrige Temperaturen oder sehr große Teilchenzahlen verwendet werden. 

Während große Teilchenzahlen hauptsächlich zu langen Rechenzeiten führen, verursachen


kleine Temperaturen numerische Ungenauigkeiten, da sie zusammen mit den Energieeigenwerten 

im Exponenten von Gleichung 3.21 stehen. Die numerische Genauigkeit eines 

Compilers reicht dann ohne Zuhilfenahme eines “Multiple Precision Packages” nicht mehr 

aus, wodurch jedoch die Rechenzeit stark ansteigt. 

Die an dieser Stelle angewendete Formel hat allerdings große Vorteile gegenüber dem älteren 

Ansatz (siehe Abschnitt 3.1), da sowohl viel größere Teilchenzahlen als auch niedrigere 

Temperaturen erreicht werden können. Eine Simulation einer realen Atomfalle, wie sie zur 

Herstellung eines Bose-Einstein-Kondensates aus Alkali-Atomen benutzt wird, ist also mit 

der alten Formel nahezu unmöglich, weil dort mit Temperaturen im Bereich einiger Nanokelvin 

gearbeitet wird. Hinzu kommt, daß Fallen der neuen Generation mit um zwei bis 

drei Größenordnungen höheren Teilchenzahlen (10 5 bis 10 6 ) arbeiten. 

In den folgenden Abschnitten werden die Ergebnisse der Simulationen eines idealen 4 He- 

Gases in harten Potentialen dargestellt und ausgewertet. 

3.3.1 Die spezifische Wärme C V (T ) 

Durch Differenzieren der inneren Energie nach der Temperatur T erhält man die spezifische 

Wärme C V , die in den folgenden Grafiken für verschiedene Kombinationen aus 

Teilchenzahlen und Potentialen dargestellt ist. Abbildung 3.3 zeigt drei Diagramme für 

unterschiedliche Teilchenzahlen. 

N =100 

N =1000 

N =10000 

CV 

N [k B] 

2 

1 

Box a:L=1:1 

Zyl. d:L=1:1 

Kugel 

Box a:L=1:4 

Box a:L=4:1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 

T [K] 

T [K] 

T [K] 

Abbildung 3.3: Die spezifische Wärme pro Teilchen für verschiedene Körper und N=100, 1000 

und 10000 Teilchen. 

Man sieht deutlich, daß die Kurven für größer werdende N immer ähnlicher werden, und 

das Maximum, das die kritische Temperatur angibt, tritt immer schärfer hervor. Während 

sich die Werte für die deformierten Boxen mit einem Längenverhältnis von a:L=1:4 und 4:1 

im ersten Graphen noch stark von den Ergebnissen der anderen Potentiale unterscheiden, 

sind die Kurven für N=10000 Teilchen kaum noch zu trennen. 

Dieses Ergebnis zeigt, daß die Randbedingungen für große Systeme erwartungsgemäß immer 

mehr den Einfluß auf das ideale Gas verlieren.

3.3 Die spezifische Wärme C V (T ) 33 

Führt man allerdings andere Potentiale wie beispielsweise einen Hohlkörper oder einen 

Zylinder mit periodischen Randbedingungen ein, so fällt das Resultat anders aus. Bei gleichem 

Volumen und identischer Teilchenzahl sind die Maxima der Kurven nicht identisch, 

wie Abbildung 3.4 für 10000 4 He Atome zeigt. 

CV 

N [k B] 

2 

1 

Zylinder d:L=1:1 

Periodischer Zylinder d:L=1:1 

Hohlzylinder λ=0,75, d:L=1:1 


Hohlkugel λ=0,75 


0 

0 2 4 6 8 10 

T [K] 

Abbildung 3.4: Die spezifische Wärme für verschiedene Zylinder, Hohlzylinder und Hohlkugeln 

mit N=10000 Teilchen. 

Für den periodischen Zylinder ist die kritische Temperatur um etwa ein Kelvin nach oben 

verschoben, und weitere Rechnungen, deren Ergebnisse hier nicht dargestellt sind, haben 

gezeigt, daß das Verhalten eines Gases in einem solchen Potential sehr viel Ähnlichkeit mit 

dem Verhalten in herkömmlichen Zylindern aufweist. Den einzigen Unterschied stellt die 

Verschiebung zu einer höheren Temperatur dar. 

In Abbildung 3.4 sind zusätzlich die Ergebnisse zweier weiterer Potentiale, dem Hohlzylinder 

und der Hohlkugel, dargestellt. Man sieht deutlich, daß diese Kurven flacher verlaufen 

als die oben beschriebenen. Beide Hohlkörper besitzen einen Parameter λ, der das Verhältnis 

aus Innen- und Außenradius angibt. Diesem Wert wird hier entweder 0,75 oder 0,9 

zugewiesen. Es handelt sich also um Körper, deren Wände so dicht beieinander liegen, daß 

ihr Einfluß auch in vergleichsweise großen Systemen nicht zu vernachlässigen ist. 

Während die Form des Behälters, also ob es sich um eine Hohlkugel oder einen Hohlzylinder 

handelt, nur eine untergeordnete Rolle spielt, verändert der Parameter λ den Verlauf der 

spezifischen Wärme erheblich. Für λ=0,9 verschwindet das Maximum der Kurven bereits 

aus dem betrachteten Temperaturbereich. 

Der Einfluß der Deformation eines Hohlzylinders wird in Abbildung 3.5 gezeigt. Für 10000 

Teilchen ist das Maximum noch nicht so gut ausgeprägt wie beispielsweise bei der Box 

oder der Kugel. Weiterhin sieht man deutlich, daß sich dieser Effekt vergrößert, je höher 

der betrachtete Hohlzylinder ist, das heißt je kleiner das Verhältnis aus dem Durchmesser 

d und der Höhe L ist. 2 

2 Ein anderer Ansatz zur Beschreibung idealer Bose-Gase in harten Potentialen erfolgt beispielsweise 

in [64]. Hier werden thermodynamische Größen oberhalb der kritischen Temperatur berechnet. Vorausset-


2 




CV 

N [k B] 

1 

0 

0 2 4 6 8 10 

T [K] 

Abbildung 3.5: Die spezifische Wärme für unterschiedlich deformierte Hohlzylinder und N=10000 

Teilchen. 

3.3.2 Grundzustandsfluktuationen 

Die Fluktuation der Besetzungszahl des Grundzustands δη 0 (N,β) berechnet sich nach 

Gleichung (3.26), und die in diesem Abschnitt gezeigten Grafiken entsprechen den oben 

behandelten Systemen, wobei allerdings das Verhalten der Fluktuationen grundsätzlich anders 

ist als das der spezifischen Wärme. 

δη0 

N 

0.20 

0.15 

0.10 

N =100 

N =1000 

N =10000 

Box a:L=1:1 

Zyl. d:L=1:1 

Kugel 

Box a:L=1:4 

Box a:L=4:1 

0.05 

0.00 

0 2 4 6 0 2 4 6 0 2 4 6 

T [K] 

T [K] 

T [K] 

Abbildung 3.6: Grundzustandsfluktuation pro Teilchen für verschiedene Körper und N=100, 1000 

und 10000 Teilchen. 

Abbildung 3.6 zeigt die Grundzustandsfluktuation pro Teilchenzahl δη 0 (N,β)/N für die 

bereits im vorigen Abschnitt gewählten N und Temperaturbereiche. Während die Fluktuationen 

für den Zylinder mit identischem Durchmesser und Höhe, den Würfel und die 

zungen für den dort gegebenen großkanonischen Ansatz sind allerdings eine große Teilchenzahl N und eine 

geringe Besetzungszahldichte.

3.3 Grundzustandsfluktuationen 35 

Kugel schon für N=100 sehr dicht beieinander liegen, ist das Ergebnis für gestreckte oder 

gestauchte Körper anders. Unterhalb der kritischen Temperatur weisen sie eine größere 

Fluktuation auf. 

δη0 

N 

0.20 

0.15 

0.10 

Zylinder d:L=1:1 

Periodischer Zylinder d:L=1:1 





0.05 

0.00 

0 2 4 6 8 10 

T [K] 

Abbildung 3.7: Grundzustandsfluktuation für verschiedene Zylinder, Hohlzylinder und Hohlkugeln 

mit N=10000 Teilchen. 

Weiterhin ändert sich diese Differenz zwischen den einzelnen Potentialen nur gering 

mit wachsender Teilchenzahl. Eine Approximation ergibt jedoch, daß die Fluktuation 

δη 0 (N,β)/N proportional zu N −1/3 ist und somit erwartungsgemäß bei einem Übergang 

zu unendlichen Teilchenzahlen verschwindet. 

0.20 

0.15 




δη0 

N 

0.10 

0.05 

0.00 

0 2 4 6 8 10 

T [K] 

Abbildung 3.8: Grundzustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Hohlzylinder und 

N=10000 Teilchen. 

In Abbildung 3.7 bietet der Graph für den symmetrischen Zylinder (d:L = 1:1) einen guten 

Vergleich mit den Ergebnissen des vorherigen Diagramms, da er die bei weitem kleinste 

Fluktuation aufweist und somit zeigt, daß auch für die Hohlkörper gilt, was bereits


zu erwarten war: Ihre Grundzustandsfluktuation wächst mit steigendem Parameter λ. Die 

Kurven für einen Zylinder mit periodischen Randbedingungen entsprechen wie bei der spezifischen 

Wärme einem herkömmlichen Zylinder, dessen kritische Temperatur nach oben 

verschoben ist. 

Die Berechnungen für den Hohlzylinder (Abbildung 3.8) bestätigen die aus den vorherigen 

Betrachtungen abgeleitete Erwartung, daß die Fluktuationen in gestauchten Fallen größer 

sind als in gestreckten. 

Eine gute Möglichkeit des Vergleichs mit den bereits von Gajda [47] und Grossmann [55] 

veröffentlichten Ergebnissen bietet die oben angewandte Art der Darstellung der Grundzustandsfluktuation. 

Allerdings verschwindet die hier dargestellte Größe δη 0 (N,β)/N für 

große Teilchenzahlen. Daher ist sie kein guter Indikator für Phasenübergänge, und Abbildung 

3.9 zeigt eine mögliche Alternative, denn hier ist die relative Fluktuation der Grundzustandsbesetzungszahl 

δη 0 (N,β)/η 0 (N,β) für verschiedene Quader aufgetragen. 

1.5 

1.0 

Box a:L=1:1, N =1000 

Box a:L=1:4, N =1000 

Box a:L=1:1, N =10000 

Box a:L=1:4, N =10000 

δη0 

η0 

0.5 

0.0 

0 2 4 6 8 10 

T [K] 

Abbildung 3.9: Relative Grundzustandsfluktuationen für unterschiedlich deformierte Quader und 

N=1000, beziehungsweise N=10000 Teilchen. 

Diese Grafik zeigt einen Effekt, der von anderen Systemen bereits bekannt ist: Der Phasenübergang 

findet nicht bei einer wohldefinierten Temperatur, sondern in einem kritischen 

Gebiet statt, das durch einen starken Anstieg der Kurve für δη 0 (N,β)/η 0 (N,β) gekennzeichnet 

ist. Selbst für 10000 Teilchen in einem Würfel überspannt es noch einen Bereich 

von etwa einem halben Kelvin, und für deformierte Körper ist das kritische Gebiet entsprechend 

größer. Der Grund dafür ist, daß finite Systeme keine scharfen Phasenübergänge 

aufweisen sondern höchstens den Ansatz eines Übergangs. 

Die Begründung für das in diesem Abschnitt gezeigte Verhalten liegt in den unterschiedlichen 

Differenzen zwischen den Energien des Grundzustandes und des ersten angeregten 

Zustandes in einem Potential, sowie der Entartung der einzelnen Niveaus. Ob die Auswirkungen 

der Differenz der Eigenwerte oder der Entartung stärker sind, sollte in einer 

zukünftigen Arbeit studiert werden. 

Da in den Tabellen in Anhang A nicht nur die jeweiligen Energieeigenwerte, sondern auch

3.3 Grundzustandsfluktuationen 37 

die Differenzen zum jeweils vorherigen Wert angegeben sind, können deren Auswirkungen 

dort überprüft werden. In Tabelle 3.1 sind noch einmal die Differenzen ∆E = E 1 −E 0 nach 

Größe sortiert, stellvertretend für einige ausgewählte Potentiale zusammengefaßt, wobei 

die Teilchenzahl hier auf N=10000 festgesetzt ist. 

Potential ∆E [eV] Potential ∆E [eV] 

Kugel 0,027211 Box a:L=1:1 0,030041 

Box a:L=4:1 0,011922 

Box a:L=1:4 0,004731 

Zylinder d:L=1:1 0,025573 Hohlzylinder λ=0,75, d:L=1:1 0,004549 



Tabelle 3.1: Differenzen zwischen der Grundzustandsenergie und der Energie des ersten angeregten 

Zustandes für verschiedene Potentiale. 

Die Energiedifferenzen sind für die symmetrischen Zylinder und Quader größer als für die 

deformierten Körper, wobei die gestreckten die kleinste Differenz aufweisen. Anders ist 

es bei den Hohlzylindern, da dort das Verhältnis aus Innen- und Außenradius eine Rolle 

spielt. 

Unter experimentellen Bedingungen ergibt sich, daß ein kondensiertes ideales Bose-Gas in 

einer anisotropen Falle weniger stabil sein wird als in einer isotropen.

4 

Kühlung 

von atomaren Gasen und 

Fallen für neutrale Teilchen 

4.1 Doppler - Kühlung 

Wahrscheinlich war Johannes Kepler 1619 der erste, der den Vorschlag vorbrachte, daß 

Licht eine mechanische Kraft ausüben könnte. Damit versuchte er zu erklären, warum der 

Schweif eines Kometen immer entgegengesetzt zur Sonne ausgerichtet ist. Er glaubte, das 

Phänomen sei durch einen Druck beschreibbar, der vom Licht der Sonne hervorgerufen 

wird. Genauere Studien zu diesem Thema kamen beispielsweise 1873 von James C. Maxwell, 

der seine Gleichungen dazu verwendete, einen Druck herzuleiten, der von einer elektromagnetischen 

Welle herrührt. Seine Ergebnisse wurden zur Jahrhundertwende von Lebedev, 

Nicols und Hull experimentell verifiziert [2]. 

Albert Einstein veröffentlichte 1917 einen Artikel, in dem er zeigte, daß ein molekulares 

Gas, das der Maxwell-Boltzmann Statistik gehorcht, in einem thermischen Lichtfeld (weißes 

Licht) dessen Temperatur annimmt. Der Grund dafür ist, daß die einzelnen Photonen 

mit der Wellenlänge λ beim Auftreffen auf ein Molekül nicht nur Energie E = hν, sondern 

auch einen Impuls p = h/λ übertragen und durch diesen Strahlungsdruck die Geschwindigkeit 

des Kollisionspartners ändern. Der Photonenimpuls in Ausbreitungsrichtung des 

Lichts wird mit dem Wellenvektor k zu p = ~k. 1 Thermisches Licht ist allerdings aufgrund 

seiner hohen Temperatur von einigen tausend Kelvin unbrauchbar zum Kühlen. Erst 

mit der Erfindung des Lasers änderte sich die Situation. Es ist jedoch möglich, auch mit 

anderen Lichtquellen einen Atomstrahl sichtbar abzulenken, was bereits 1933 von Frisch 

demonstriert wurde, der einen Natriumstrahl mit dem Licht einer Natriumlampe von seiner 

Bahn abzubringen vermochte. Nach der Erfindung des Lasers mit variabler Wellenlänge 

und hoher Intensität entwickelten Arthur L. Schawlow von der Universität Stanford (Nobelpreis 

1981) und Theodor W. Hänsch (heute Universität München und MPI für Quantenoptik 

[67]) 1975 ein äußerst wirksames Kühlverfahren für neutrale Atome. Die sogenannte 

Laser- oder Doppler-Kühlung soll deshalb in diesem Kapitel erläutert werden. 

Seit Mitte der 80er Jahre hat die Laserkühlung eine explosionsartige Entwicklung erfahren. 

Das Ergebnis ist, daß heute hocheffektive Fallen zur Verfügung stehen, in denen man kalte 

Atome mit einer Dichte von bis zu 10 14 Atomen pro Kubikzentimeter einfangen und auf 

Temperaturen im Nanokelvinbereich herunterkühlen kann [62]. Dieser Wert liegt um mehrere 

Größenordnungen unterhalb der in der Festkörperphysik durch magnetisches Kühlen 

erzeugten Temperaturen. 

1 Die erste Demonstration der Energie- und Impulserhaltung bei Stößen von Photonen und Elektronen war 

der Compton-Effekt. Die Wellenlänge der gestreuten Röntgenstrahlung vergrößert sich um die Compton- 

Wellenlänge λ c = h/m e c, wobei m e die Masse des Elektrons und c die Lichtgeschwindigkeit sind. Die 

entsprechende Energie wird auf das rückstoßende Elektron übertragen. 

39

40 Kapitel 4. Kühlung von atomaren Gasen und Fallen für neutrale Teilchen 

Laserkühlung ist die Verringerung der atomaren Geschwindigkeitsverteilung durch Strahlungskräfte, 

die dazu geschwindigkeitsabhängig sein müssen. Bei Doppler-Kühlung ist diese 

Abhängigkeit dadurch gegeben, daß die Verstimmung der Frequenz des Lasers gegenüber 

der Resonanzfrequenz eines sich bewegenden Atoms durch den Doppler-Effekt verändert 

wird. Bewegt sich das Atom in entgegengesetzter Richtung des Laserstrahls, erscheint 

die Frequenz des Lichts größer als die tatsächliche und kommt dadurch der Resonanzfrequenz 

des Atoms näher. Die Photonenabsorptionsrate wird somit vergrößert und die 

Energie der Photonen versetzt das Atom in einen angeregten Zustand. Da die Richtung des 

Impulses des absorbierten Photons dem des Atoms entgegengesetzt ist, verringert sich die 

Geschwindigkeit des Atoms um ~k/m. Anschließend kehrt es in den Grundzustand zurück 

und gibt durch spontane Emission ein Photon ab. Die Impulserhaltung bewirkt einen 

weiteren Rückstoß in entgegengesetzter Richtung des emittierten Photons. Allerdings ist 

die Richtung, in die sich das emittierte Photon bewegt, zufällig, das heißt die übertragenen 

Impulse heben sich nach Mittellung über viele Absorptions- und Emissionsprozesse 

gegenseitig auf. Dieser Vorgang ist für ein Atom mit zwei Zuständen in Abbildung 4.1 

dargestellt. 

p = ~k 

v 0 

v = v 0 − ~k/m 

v = v 0 − ~k/m 

Abbildung 4.1: Die Absorption eines Photons mit dem Impuls p = ~k (oben) regt ein Atom mit 

der Geschwindigkeit v 0 an und bewirkt eine Abbremsung um ~k/m auf v = v 0 − ~k/m (rechts). 

Durch den Übergang in den Grundzustand wird die aufgenommene Energie in Form eines spontan 

emittierten Photons abgegeben (links). 

Im Vergleich zu unbewegten Atomen muß die Laserfrequenz um den Faktor δ Dop = kv 

vergrößert werden, damit sie die Resonanzfrequenz eines Atoms mit der Geschwindigkeit 

v und dem Wellenvektor k trifft. 

Mit der Laserfrequenz ω L und der Absorptionsfrequenz ω A für ein unbewegtes Atom gilt 

für die Verstimmung der Frequenzen δ = ω A − ω L , und durch die Doppler-Verschiebung 

ergibt sich für die effektive Verstimmung δ eff = δ − kv. Auf ein Atom mit zwei möglichen 

Zuständen, das mit einer ebenen Welle bestrahlt wird, wirkt nach [105] die Kraft 

F = ~k Γ I/I 0 

2 1+I/I 0 + [ 2δ eff 

] 2 

(4.1) 

Γ 

in Richtung der Beschleunigung. Dabei sind Γ die natürliche Linienbreite, I die Laserintensität 

und I 0 die Sättigungsintensität. Der Faktor I/I 0 wird als normalisierte Intensität

4.1 Doppler - Kühlung 41 

bezeichnet. Die Kraft F ist das Produkt aus dem Impuls des Photons ~k und der Streurate 

für die Photonen, also die Zahl der Photonenabsorptionen gefolgt von spontaner Emission. 

Da die spontane Emission räumlich symmetrisch verteilt ist, wird pro Absorptionsund 

Emissionsvorgang durchschnittlich der Impuls eines Photons an das Atom übergeben. 

Stimulierte Absorptions- und Emissionsprozesse tragen nicht zu dieser Kraft bei, da die 

stimulierte Emission in dieselbe Richtung verläuft wie das Laserlicht. Daher trägt F oft 

den Namen “spontane Kraft”, die die Doppler-Kühlung durch ihren Geschwindigkeitsanteil 

möglich macht. Für hohe Intensitäten ist die Zahl der maximal möglichen spontanen 

Emissionen erreicht und F geht gegen ~kΓ/2. Die Beschleunigung eines Atoms mit Masse 

M durch den gesättigten Strahlungsdruck ist 

a max = ~k Γ 

2M . (4.2) 

Für Natrium bedeutet dieses a max =10 6 m/s 2 , was dem 10 5 -fachen der Beschleunigung 

durch die Gravitation entspricht. Für Wasserstoff ergibt sich sogar 10 9 m/s 2 . 

Für das Verständnis der Verfahren zur Kühlung von Atomen ist es sinnvoll, zu erklären, 

wie Atomstrahlen mit einem Laser abgelenkt werden können. Dazu werden die Atome 

senkrecht zu ihrer Flugrichtung mit dem Laser bestrahlt. Die Verstimmung δ soll in diesem 

Fall Null sein. Durch die einfallenden Photonen werden die Atome abgelenkt und 

erfahren eine Beschleunigung, wodurch sich die relative Geschwindigkeit der Teilchen zu 

den Photonen ändert bis kv zu groß wird, das bedeutet die Verstimmung δ wird groß und 

die Photonenabsorptionswahrscheinlichkeit sinkt rapide. Die Ablenkung eines Atomstrahls 

mit Licht fester Wellenlänge ist also nur begrenzt möglich. Atome mit verschiedenen Geschwindigkeiten 

werden allerdings auch verschieden stark abgelenkt. Nehmen wir an, die 

Geschwindigkeitskomponente eines Atoms zeigt etwas mehr in Richtung des Lasers als 

die durchschnittliche Geschwindigkeit aller Atome (kv < 0). Dann wird es so lange beschleunigt, 

bis die Resonanzfrequenz mit der Frequenz des Lasers übereinstimmt (kv =0). 

Eine weitere Beschleunigung (kv > 0) geht soweit, bis keine Absorption mehr stattfinden 

kann. Atome, deren relative Anfangsgeschwindigkeit bereits zu groß ist (kv > 0), können 

dementsprechend weniger Photonen absorbieren und werden weniger beschleunigt oder 

abgelenkt. 

Abbildung 4.2: Ablenkung eines Atomstrahls mit Laserlicht. 

Durch diesen Effekt verlassen alle Atome die Wechselwirkungszone des Lasers mit fast 

gleicher Geschwindigkeit v. Diese Angleichung der Geschwindigkeiten wird “transversale 

Doppler-Kühlung” oder “Kollimierung” genannt und in Abbildung 4.2 veranschaulicht.


Ein Atom kann weiter von seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt werden, wenn der Winkel, 

in dem der Laserstrahl zur Bahn des Atoms steht, konstant gehalten wird. Es können 

also beispielsweise mehrere Laser nebeneinander angeordnet werden, die jeweils um einen 

bestimmten Winkel gedreht sind. Eine weitere Möglichkeit ist die Benutzung eines konvergenten 

Strahls (siehe Abbildung 4.3). Dadurch wird die Richtungsänderung der Geschwindigkeit 

kompensiert. 

Abbildung 4.3: Ablenkung eines Atomstrahls mit konvergentem Laserlicht. 

Nehmen wir an, wir hätten einen Atomstrahl, der einer ebenen Laserwelle entgegenläuft. 

Die Geschwindigkeiten der einzelnen Atome seien auf beliebige Weise um die Geschwindigkeit 

V ′ herum verteilt. Die Verstimmung des Lasers sei so gewählt, daß sie in der Nähe 

der durch V ′ bestimmten Resonanzfrequenz der Atome liegt. Ein Atom mit der Geschwindigkeit 

V ′ wird so lange abgebremst bis die Verstimmung δ zu groß wird. Andere Atome, 

deren Geschwindigkeit in der Nähe von V ′ liegt, werden ebenfalls abgebremst, also die 

mit größerer Geschwindigkeit erst in den Resonanzbereich, dann zu geringeren Geschwindigkeiten, 

bis die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung mit den Photonen sehr gering 

wird. Langsamere Atome werden ebenfalls noch zu etwas geringeren Geschwindigkeiten 

gebremst. Durch diese Vorgänge werden die Atome sich bei einer etwas geringeren Geschwindigkeit 

als V ′ anhäufen (siehe Abbildung 4.4). 

Anzahl Atome 

V’ 

v 

Abbildung 4.4: Geschwindigkeitsverteilung eines Atomstrahls vor und nach der Wechselwirkung 

mit Laserlicht einer festen Frequenz. 

Leider läßt sich mit diesem Verfahren nur eine geringe Zahl der Atome um einen kleinen 

Betrag abbremsen. Eine Möglichkeit, dieses Problem zu überwinden, ist, die Frequenz

4.2 “Optischer Sirup” 43 

des Lasers kontinuierlich zu verändern. Dann werden Atome mit höheren Geschwindigkeiten 

abgebremst, und da die Frequenz des Lasers ebenfalls verringert wird, verlassen 

sie den Resonanzbereich nicht, sondern können weiterhin Photonen absorbieren und dadurch 

abgebremst werden. Atome, die zu Beginn zu langsam waren, um mit dem Laser in 

Wechselwirkung zu treten, können bei niedrigeren Frequenzen ebenfalls abgebremst werden, 

wodurch sich eine Geschwindigkeitsverteilung wie in Abbildung 4.5 ergibt. Ändert 

Anzahl Atome 

V’ 

v 

Abbildung 4.5: Geschwindigkeitsverteilung eines Atomstrahls vor und nach der Wechselwirkung 

mit Laserlicht einer kontinuierlich kleiner werdenden Frequenz. 

sich die Intensität des Lasers, findet weiterhin eine Abbremsung statt, allerdings fällt die 

effektive Verstimmung δ eff dann geringer aus. 

4.2 “Optischer Sirup” 

Die Gruppe von Steven Chu an den Bell-Laboratorien in New Jersey entwickelte in der 

Zeit um 1985 eine sehr wirkungsvolle Methode, um atomare Gase zu kühlen [26]. 1997 

erhielt Chu zusammen mit Claude Cohen-Tannoudji von der “École Normale Supérieure” 

in Paris und William D. Phillips vom “National Institute of Standards and Technology” den 

Nobelpreis für diese Entwicklung [25]. 

Abbildung 4.6: Anordnung der Laser zur Erzeugung eines “optischen Sirups”: Sechs Laser werden 

aus verschiedenen Richtungen auf eine Wolke aus Atomen gerichtet. 

Der Begriff “optischer Sirup” wird benutzt, wenn ein Gas aus Atomen aus allen drei Raumrichtungen 

mit Laserlicht bestrahlt und jedem Laser ein weiterer entgegengerichtet wird,


was in Abbildung 4.6 dargestellt ist. Die Atome bewegen sich in der Wechselwirkungsregion 

wie in einem viskosen Medium, wodurch der Name dieses Verfahrens entstand. 

Würde man ein atomares Gas nur aus einer Richtung mit Laserlicht bestrahlen, würden 

auch nur die Atome abgebremst, die in die entsprechende Richtung fliegen. Daher bestrahlt 

man das Gas auch aus den anderen Richtungen, um die Atome in einen stationären Zustand 

zu bringen. Die Kraft, die dann auf jedes einzelne Atom wirkt, setzt sich dann aus den durch 

(4.1) gegebenen Komponenten für jeden einzelnen Laser zusammen. In einer Dimension, 

das heißt mit zwei gegenüberliegenden Lasern, ergibt sich also 

F = ~k Γ I/I 0 

[ ] 

2 

2 

1+I/I 0 + 2(δ−kv) 

− ~k Γ I/I 0 

2 

1+I/I 0 + 

Γ 

[ 

2(δ+kv) 

Γ 

] 2 

. (4.3) 

In Abbildung 4.7 sind die einzelnen Kräfte und die daraus resultierende geplottet. Man 

sieht deutlich, daß der Betrag von F für v =0minimal wird. 

F/(~kΓ) 

-1 

1 

kv/Γ 

Abbildung 4.7: Zwei gegeneinander ausgerichtete Laser üben eine geschwindigkeitsabhängige 

Kraft auf ein sich mit der Geschwindigkeit v bewegendes Teilchen aus. Die dicke Kurve zeigt die 

resultierende Kraft aus den von jedem einzelnen Laser ausgeübten Kräften (dünn). 

Bisher wurde nur der durchschnittliche Energieübertrag betrachtet. Natürlich können die 

Atome aber nur gequantelt Energie absorbieren, weswegen auch der übertragene Impuls als 

eine Zusammensetzung aus vielen einzelnen Impulsen angesehen werden muß. Es ist nicht 

vorhersagbar, zu welchem Zeitpunkt ein Impulsübertrag stattfindet, da spontane Emission 

und Absorption zufällig stattfinden. 

Selbst wenn sich diese Effekte im Mittel aufheben, ist die resultierende Kraft nach Bildung 

eines zeitlichen Mittelwertes nicht Null, sondern fluktuiert um einen Durchschnittswert. 

Man erhält eine Brownsche Bewegung im Phasenraum, es führen also die Rückstöße 

der Photonenabsorptionen zu einer Verbreiterung der Geschwindigkeitsverteilung. Dies ist 

gleichbedeutend mit einer Erhöhung der kinetischen Energie. Die tiefste erreichbare Temperatur 

entspricht einem Gleichgewicht aus diesem Heizeffekt und der Doppler-Kühlung. 

In einem eindimensionalen System führt dies nach [2, 105] zu 

k B T Dop = ~Γ 2 . (4.4)

4.3 Sisyphuskühlung 45 

Dabei sind T Dop die minimale erreichbare Temperatur und Γ wieder die natürliche Linienbreite, 

die auch als Lebenszeit des angeregten Zustandes bezeichnet werden kann. 

Die mit diesem Verfahren erreichbare Minimaltemperatur liegt bei einigen hundert Mikrokelvin, 

was Teilchengeschwindigkeiten von etwa einem Kilometer pro Stunde entspricht. 

Für Natrium gilt beispielsweise eine Minimaltemperatur von 240µK. 

Die ersten Experimente mit neutralen Atomen schienen dieses Limit zu bestätigen, obwohl 

die Ergebnisse noch nicht verstanden und die Fehler bei der Temperaturmessung sehr groß 

waren. Zusätzlich kam hinzu, daß die Abhängigkeit der Temperatur von der Laserintensität 

nicht den Erwartungen entsprach. Dennoch war man der Meinung, daß das Doppler-Limit 

die niedrigste mit diesem Verfahren erreichbare Temperatur sei. Diese Auffassung änderte 

sich erst mit Entwicklung der Sisyphuskühlung, auf die im folgenden eingegangen wird. 

4.3 Sisyphuskühlung 

W.D. Phillips und seine Mitarbeiter entwickelten 1987 genauere Methoden zur Bestimmung 

der Temperatur eines gekühlten Gases. Zur allgemeinen Überraschung maßen sie 

Werte, die weit unter der Doppler-Grenze lagen und die Theoretiker begannen sofort damit, 

den unerwarteten Befund zu erklären. Ein Jahr später veröffentlichten Jean Dalibard 2 , 

Claude Cohen-Tannoudji und Steven Chu unabhängig voneinander eine mögliche Lösung 

des Problems [25, 27, 62, 75, 94]. Der Begründung des Doppler-Limits liegt ein vereinfachtes 

Atommodell zugrunde, das die Entartung des elektronischen Grundzustandes der 

verwendeten Alkaliatome vernachlässigt. 

Die griechische Mythologie stand der Namensgebung für dieses Verfahren zur Seite, denn 

Cohen-Tannoudji und seine Mitarbeiter benannten es nach dem griechischen Helden Sisyphus. 

3 

Die einzelnen Energieniveaus werden bei Wechselwirkung mit Licht unterschiedlich stark 

verschoben. Dabei sind die Verschiebung und die Besetzungszahl abhängig von der Polarisation. 

Das einfachste Niveauschema besteht aus einem Grundzustand mit zwei und 

einem angeregten Zustand mit vier entarteten Niveaus. Diese unterscheiden sich in ihrer 

magnetischen Quantenzahl m F (Zeeman-Komponenten). Durch die Auswahlregeln regt 

linkszirkular polarisiertes Licht nur entlang der nach links gerichteten Pfeile in Abbildung 

4.8a an. Rechtszirkular polarisiertes Licht wirkt entsprechend nur in Richtung der rechts 

gerichteten Pfeile. 

Jede Anregung bewirkt eine sogenannte Lichtverschiebung der Niveaus, deren Größe von 

der Polarisationsrichtung abhängt und proportional zur Anregungswahrscheinlichkeit sowie 

zur Amplitude des elektrischen Feldes ist, das heißt für rechtszirkulare Polarisation ist 

das Niveau mit m F =1/2 stärker verschoben als das linke. 

2 Jean Dalibard ist wie Claude Cohen-Tannoudji Mitglied der École Normale Supérieure in Paris. 

3 Sisyphus, Sohn des thessalonischen Königs Ailos, gilt als Gründer und König der Stadt Korinth. Er 

erblickte zufällig Zeus bei der Entführung der Jungfrau Aigina und erzählte seinem Vater von diesem Vorfall. 

Zornig über Sisyphus Verrat, verbannte ihn Zeus nach seinem Tod in den Tartarus, der tiefsten Region der 

Unterwelt. Dort wurde er gezwungen, unablässig einen Felsblock einen Hügel hinaufzuwälzen. Bevor er 

jedoch den Gipfel erreichte, rollte der Felsen den Berg wieder hinunter und die Arbeit begann erneut.


Durch spontane Emission eines Photons nach einem Absorptionsprozeß kann ein Atom das 

Grundzustandsniveau wechseln. Nach einigen Zyklen ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich 

ein mit rechtszirkular polarisiertem Licht bestrahltes Atom im rechten Grundzustandsniveau 

(m F =1/2) befindet, groß. Von dort kann es dann durch keinen Absorptionsprozeß 

mehr entkommen. Dieses Verfahren wird “optisches Pumpen” genannt und ist in Abbildung 

4.8b veranschaulicht. 

a) b) 

-3/2 

-1/2 

1/2 

3/2 

-3/2 

-1/2 

1/2 

3/2 

-1/2 1/2 

Abbildung 4.8: Einfachstes mögliches Niveauschema für Sisyphus-Kühlung (a). Die Dicke der 

Pfeile gibt die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs an. Durch Absorptions- und Emissionsvorgänge 

ist der Wechsel in ein anderes Grundzustandsniveau möglich (b). 

Durch die beschriebenen Vorgänge gelangen die Atome für jeden Polarisationstyp in das jeweils 

energetisch günstigste Zeeman-Niveau. Verständlich wird dieser Kühlmechanismus, 

wenn man eine stehende Lichtwelle betrachtet, deren Polarisation zwischen rechts- und 

linkszirkular wechselt. Man erhält eine solche Welle, indem man zwei linear polarisierte 

Wellen mit um π/2 verdrehter Polarisationsebene gegeneinander richtet. Hieraus entsteht 

eine sinusförmige Variation der Verschiebung der Grundzustandsniveaus längs der stehenden 

Welle. Die Kurven der beiden Zeeman-Komponenten haben eine Phasenverschiebung 

von π. 

Ein Atom, das sich zum Beispiel im rechten Zeeman-Niveau (m F =1/2) befindet und nach 

links bewegt, muß sich gegen ein Potential bewegen und verliert dabei an Geschwindigkeit. 

Je höher es den Potentialberg “erklimmt”, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, daß es 

in das andere Grundzustandsniveau (m F = −1/2) gelangt. Dabei wird die aufgenommene 

potentielle Energie an das Lichtfeld abgegeben, da die Frequenz des emittierten Photons 

größer ist als die des absorbierten. Bewegt sich das Atom weiter, läuft es gegen das nächste 

Potential an und der Vorgang beginnt erneut. Nach einiger Zeit hat das Atom soviel Energie 

verloren, daß es das nächste Maximum des Potentials nicht mehr erreichen kann und in 

einem Minimum bleibt. Dieser Prozeß ist in Abbildung 4.9 dargestellt. 

Auch wenn ein Atom nicht mehr genügend Energie besitzt, um einen Potentialberg zu 

überwinden, kann es Photonen absorbieren und emittieren. Daher behält es eine mittlere 

Geschwindigkeit, die dem Rückstoß eines solchen Prozesses entspricht und als “Rückstoßlimit” 

bezeichnet wird. 

Bestimmte Niveauschemata besitzen sogenannte “Dunkelzustände”. Das sind Grundzustandsniveaus, 

in denen ein Atom keine Photonen absorbieren kann. Sie existieren für 

jede Lichtpolarisation, und es zeigt sich, daß in Lichtfeldern mit sich räumlich ändernder 

Polarisation nur die langsamsten Atome in solche Zustände gelangen können. Durch 

-1/2 

1/2

4.4 Optische Fallen 47 

Überführung von Atomen in Dunkelzustände lassen sich Temperaturen weit unter dem 

Rückstoßlimit erreichen. 

Gesamtenergie des Atoms 

1/2 

Abbildung 4.9: Durch die Verschiebung der Grundzustandsniveaus sinkt die potentielle Energie 

der Atome durch Absorptions- und Emissionsprozesse, da die Energie des emittierten Photons 

größer ist als die des absorbierten. 

-1/2 

4.4 Optische Fallen 

Für das Einfangen neutraler Atome ist eine ortsabhängige Kraft nötig, für die Kühlung wird 

hingegen ein geschwindigkeitsabhängiger Druck benutzt. 

Mit den oben beschriebenen Methoden lassen sich daher zwar Atome kühlen, aber nicht 

fangen. Der Einfluß der Gravitation läßt die Teilchen innerhalb etwa einer Sekunde aus dem 

optischen Sirup entweichen, weshalb zusätzliche Mechanismen nötig sind, damit weitere 

Experimente mit den kühlen Gasen durchgeführt werden können. 

Die auf die Teilchen wirkende Kraft soll an einem bestimmten Punkt im Raum minimal 

werden und an allen anderen Orten die Teilchen zum Minimum zurückdrängen. 

Das Einfangen von Ionen mit elektromagnetischen Kräften wird seit längerem erfolgreich 

durchgeführt (z.B. Penning-Falle, siehe Abschnitt 4.7.1). Neutrale Atome sind schwerer 

zu handhaben, da auf sie keine Lorentz-Kraft wirkt, sie also unempfindlich gegen Einwirkungen 

von Ladungen sind. Daher müssen die wirkenden Kräfte auf anderen Wechselwirkungen 

beruhen. In der Regel handelt es sich dabei um Dipolmomente, die sehr schwach 

sind, denn sie entstehen nur durch Fluktuaktion der Ladungsverteilung im Atom. Trotzdem 

wurden auch verschiedene Fallentypen realisiert, die auf optischen, magnetischen und 

elektrischen Feldern, sowohl in statischen, als auch dynamischen Konfigurationen bestanden. 

Bereits in den fünfziger Jahren schlug Wolfgang Paul vor, neutrale Teilchen in einem inhomogenen 

Magnetfeld einzufangen. Die erste Atomfalle wurde aber erst 1985 von Phillips


konstruiert, denn die Realisierung war mit den damaligen Mitteln noch nicht möglich. Phillips 

fing mit seiner Falle gekühlte Natriumatome ein. 

Wie bereits erklärt, werden für eine funktionierende Falle ortsabhängige Kräfte benötigt. 

Man kann solche beispielsweise erzeugen, indem man die Intensität eines Laserstrahls ortsabhängig 

variiert. Eine mögliche eindimensionale Anordnung besteht aus zwei gegenüberliegenden 

divergenten Lasern, wie in Abbildung 4.10 dargestellt. Die Foci der beiden blauverstimmten 

Laser fallen nicht zusammen, liegen einander aber sehr nahe. Im Zentrum 

wirkt auf ein Teilchen eine Kraft, die von beiden Seiten gleich groß ist. Bewegt es sich aber 

weiter nach rechts oder links, steigt der Strahlungsdruck aus dieser Richtung an und der 

Gegendruck aus der gegenüberliegenden Richtung wird aufgrund der geringeren Intensität 

kleiner. Das Teilchen wird also ins Zentrum der Falle gedrückt. Der Vorschlag für diesen 

Fallentyp kam 1970 von Ashkin [5]. 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

00 11 

Abbildung 4.10: Eindimensionale Strahlungsdruckfalle aus zwei gegenüberliegenden divergenten 

Lasern. 

Diese eindimensionale Falle kann auch als Linse für einen Atomstrahl benutzt werden, indem 

man die Atome nicht in Richtung der Laser, sondern senkrecht dazu fliegen läßt. Dann 

halten sie sich nur für kurze Zeit im beleuchteten Gebiet auf und erhalten eine Geschwindigkeitskomponente 

in Richtung des Fallenzentrums. Da der Strahlungsdruck nur in der 

Mitte der Wechselwirkungszone von beiden Seiten gleich ist, werden die äußeren Atome 

des Strahls stärker abgelenkt als die inneren. 

Da die eindimensionale Falle auch als Linse benutzt werden kann, ist klar, daß sie nicht in 

alle Richtungen wirken kann. Auf Teilchen, die sich abseits von der optischen Achse befinden, 

wirkt sogar eine abstoßende Kraft. Eine dreidimensionale Falle läßt sich realisieren, 

indem die Anordnung aus Abbildung 4.10 auch für die anderen beiden Raumrichtungen 

benutzt wird. Die Laser werden also wie in Abbildung 4.6 angeordnet, wobei die Zentren 

am selben Ort sind. Aus allen Richtungen wirkt so die betragsmäßig gleiche Kraft auf ein 

Teilchen, daß sich im Zentrum der Falle befindet. 

Bei einer solchen Falle treten einige Probleme auf, und für eine hohe Effektivität müssen 

die Laserintensitäten relativ groß sein, wodurch es zu einer Erwärmung und Diffusion 

senkrecht zum Laserstrahl kommt. 

Das “optische Earnshaw Theorem” [105] ist ein Analogon zu einem Theorem der Elektrodynamik, 

das einen stabilen Zustand für ein gefangenes geladenes Teilchen verbietet. Es

4.4 Optische Fallen 49 

besagt, daß eine dreidimensionale optische Falle wie die oben beschriebene nicht funktionieren 

kann. Da die Divergenz eines elektrischen Feldes im Vakuum Null ist (Maxwellgleichungen), 

also 

div E = ρ ε 0 

=0, (4.5) 

gibt es kein Volumenelement, in das alle Feldlinien hineinzeigen. Ashkin und Gordon zeigten 

1983 die Gültigkeit dieses Theorems für optische Fallen [6]. Weiterhin ist es nicht möglich, 

eine stabile dreidimensionale Falle zu bauen, in der die Kraft auf die Atome linear zur 

Intensität des Laserlichts und das optische Feld statisch ist. Dieses Problem kann unter anderem 

durch die Benutzung zeitabhängiger optischer Felder oder externer zeitabhängiger 

Felder gelöst werden. Ein weiteres Problem ist die Doppler-Kühlung, denn durch die geringer 

werdende Bewegung der Atome wird auch ihr Dipolmoment kleiner und damit die 

Möglichkeit eine stabile Konfiguration zu erhalten. 

Das optische Earnshaw Theorem gilt allerdings nur für den Strahlungsdruck und nicht für 

Dipolkräfte. Daher ist es möglich, sogenannte Dipolfallen zu bauen. Ein Atom erhält darin 

ein Dipolmoment, sobald es in die Nähe der Resonanz mit einem Lichtfeld kommt. Dieses 

vom Lichtfeld induzierte Dipolmoment bewirkt eine negative Verschiebung der Energie 

des Atoms um 

∆U = − ~ (√ ) 

ωR 2 2 

+ δ2 − δ . (4.6) 

Es handelt sich bei ω R = E ·d/~ um die Rabi-Frequenz, die sich aus der elektrischen Feldstärke 

des Lichtfeldes E und dem elektrischen Dipolmoment des Atoms d zusammensetzt. 

Das Potential, in dem sich die Teilchen bewegen, kann nach [27] durch 

( 

) 

U = ~δ 

2 log 1+ I/I 0 

1+ ( ) 

2δ 2 

. (4.7) 

Γ 

beschrieben werden. Ob die Teilchen zu höheren Intensitäten streben oder zu geringeren, 

ist dabei abhängig vom Vorzeichen der Verstimmung δ. Fürδ0 (Blauverstimmung) zu 

Gebieten geringerer Intensität. Eine Falle erhält man etwa mit einem fokussierten rotverstimmten 

Laser, wobei die Teilchen in Richtung des Brennpunktes gezogen werden. 

Die Anwendung eines fokussierten Lasers zum Einfangen von Atomen bewirkt allerdings 

auch einen Strahlungsdruck, der der einfangenden Kraft entgegenwirkt. Weiterhin verursacht 

die spontane Emission eine starke, unerwünschte Aufheizung des Gases. Diesen Problemen 

tritt man mit einer starken Verstimmung des Lasers entgegen und das Ergebnis 

ist eine “seichte” Falle, die niedrige Temperaturen voraussetzt, um überhaupt wirken zu 

können. 

1968 schlug Letokhov zum ersten Mal eine Dipolfalle für neutrale Atome vor, aber es war 

wiederum Chu, der diese Idee 1986 realisieren konnte. Möglich geworden war eine solche 

Falle durch die in seiner Gruppe erstmals erreichten niedrigen Temperaturen.


4.5 Magnetische Fallen 

In magnetischen Fallen wird, wie in [78], [4], [119], [104] und [28] beschrieben, das magnetische 

Moment (antiparallel zum Spin) des Valenzelektrons des Alkaliatoms benutzt, 

um es in Magnetfeldern einzufangen. Das Verfahren ist äquivalent zum Stern-Gerlach- 

Effekt, denn es wird mit Hilfe eines Magnetfeldes eine Kraft auf einen magnetischen Dipol 

ausgeübt. Ein Atom mit magnetischem Moment µ hat in einem Magnetfeld B die potentielle 

Energie U = µB. In einem inhomogenen Magnetfeld wirkt eine Kraft F = µ∇B auf 

das Atom. Da µ antiparallel zum Spin ist, wirkt F in Richtung des Feldminimums, wenn B 

parallel zum Spin ist. Dadurch ist es möglich, die Atome in einer “Falle” festzuhalten. In 

der Regel werden mit Hilfe von Laserpulsen alle Atome in denselben Spinzustand gebracht, 

damit möglichst viele für das Experiment zur Verfügung stehen. 

Es werden Felder angeordnet, deren Stärke abhängig vom Abstand zum Zentrum der Falle 

ist, das heißt die Feldstärke ist im Zentrum minimal. Wenn das Feld an diesem Ort verschwindet, 

kann es zu einem Verlust der Atome durch Spinumklappen kommen (Majorana- 

Flops). Dieser ungewollte Vorgang muß vermieden werden, indem entweder eine Konfiguration 

der Felder benutzt wird, die dafür sorgt, daß die Felder nicht verschwinden oder 

andere Maßnahmen ergriffen werden (Zum Beispiel “Optical Plugs”, siehe Abschnitt 4.7). 

4.6 Verdampfungskühlung 

Verdampfungskühlung in einer magnetischen Falle wurde zum erstmals 1995 realisiert [1] 

und stellt einen wichtigen Schritt zur Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensates dar. 

Die Verdampfungskühlung findet in einer magnetischen Falle (siehe vorherigen Abschnitt) 

statt: Dazu wird das Magnetfeld eingeschaltet, sodaß sich die Atome im Potential des umgebenden 

Feldes befinden. Die höherenergetischen Atome werden sich weniger häufig im 

Minimum des Potentials sammeln als die niederenergetischen. Mit einem Radiofrequenz- 

Feld (RF-Feld) werden nun die Spins der Atome mit höherer Energie umgeklappt, sodaß 

sie nicht mehr durch die Magnetfelder gehalten werden und die Falle verlassen. Das Verfahren 

ist energieabhängig, da die Resonanzfrequenz proportional zum Magnetfeld und 

damit auch proportional zur potentiellen Energie des Atoms ist. Bei Übergängen zwischen 

magnetischen Zuständen m F ist die Resonanzbedingung für die magnetische Feldstärke B 

gµ B B = ~ω rf . (4.8) 

Hierbei sind g der g-Faktor, µ B das Bohrsche Kernmagneton und ω rf die Frequenz des 

RF-Feldes [78]. Da das Potential eines Teilchens in einem externen Magnetfeld durch 

V = m F gµ B (B(r) − B(0)) (4.9) 

gegeben ist, werden also nur Atome die Falle verlassen können, für deren Gesamtenergie 

E>~m F (ω rf − ω 0 ) (4.10)

4.7 Magneto-optische Fallen (MOT) 51 

gilt. ω 0 ist die Frequenz, die benötigt wird, um die Spins am Minimum des Potentials 

umzuklappen. 

Da die entfernten Atome den größten Teil der im Gas vorhandenen Energie tragen, ist 

der entstehende Temperaturverlust um eine Größenordnung höher als die Zahl der entfernten 

Teilchen. Weiterhin ist eine Dichteerhöhung nur durch eine um eine Größenordnung 

stärkere Temperaturverringerung möglich. Eine Temperaturveränderung um zwei Größenordnungen 

bedeutet also eine Änderung der Phasenraumdichte um vier Größenordnungen. 

Durch Stöße werden die höherenergetischen Zustände wieder besetzt und es können weitere 

Atome mit diesem Verfahren entfernt werden. Verringert man langsam die Frequenz, so 

werden immer weniger Atome in der Falle gehalten und das übrige Gas kühlt ab. Auf diese 

Weise lassen sich Temperaturen von einigen Nanokelvin erreichen. Mit keinem anderen 

Verfahren ist es bis heute gelungen, zu noch niedrigeren Temperaturen zu gelangen. 

4.7 Magneto-optische Fallen (MOT) 

In den letzten Jahren wurden große Fortschritte auf dem Gebiet der Atomfallen erzielt. Zum 

besseren Verständnis der Bose-Einstein-Kondensate war es nötig, immer dichtere Atomwolken 

mit einer immer größeren Teilchenzahl und Lebensdauer zu erzeugen. Die Früchte 

dieser Entwicklungsarbeit kommen auch anderen Gebieten, beispielsweise der hochauflösenden 

Spektroskopie, zugute. 

Die bekannten Experimente (siehe z.B. [4, 18, 28, 33, 78, 79, 90]) verlaufen nach ähnlichen 

Schemata und verwenden nahezu gleiche Versuchsaufbauten. 

Ein Atomstrahl, dessen Temperatur in der Größenordnung einiger hundert Kelvin liegt, 

wird in eine magneto-optische Falle geleitet. Fallen dieses Typs wurden zum ersten Mal 

1987 von Jean Dalibard vorgeschlagen und kurze Zeit später von David Pritchard unter 

Mithilfe von Steven Chu am MIT realisiert. Bevor die Atome allerdings gefangen werden 

können, werden sie durch den Strahlungsdruck eines entgegenlaufenden Lasers auf etwa 

ein Kelvin abgekühlt (Zeeman-Slower). Dabei ist es problematisch, daß sich die Absorptionsfrequenz 

mit geringer werdender Geschwindigkeit durch den Doppler-Effekt ändert. 

Abhilfe liefert der Zeeman-Effekt: Ein inhomogenes Magnetfeld verschiebt die Hyperfeinniveaus 

der Atome und hält sie damit in Resonanz mit dem Laserlicht. 

Nun sind sie kalt genug, um in die Falle geladen zu werden, wo sie zuerst mit Laserkühlung 

auf etwa ein Millikelvin abgekühlt werden. Anschließend werden die Laser abgeschaltet, 

und mit Hilfe der Verdampfungskühlung wird das Gas - nur von einem Magnetfeld gehalten 

- weiter abgekühlt. Am Ende kann man Atomwolken von etwa zwei Millimeter 

Durchmesser erhalten, die Temperaturen von einigen Nanokelvin und Dichten von mehr 

als 10 14 cm −3 erreichen. 

Eine magneto-optische Falle beruht auf Strahlungsdruck und muß daher das optische 

Earnshaw Theorem umgehen. Dies wird durch Nutzung eines inhomogenen Magnetfeldes 

möglich, da das Theorem nur gilt, wenn die auf ein Atom wirkende Kraft proportional 

zur Laserintensität ist. 

Eine eindimensionale MOT besteht aus zwei zirkular polarisierten Laserstrahlen mit gleicher 

Intensität, die aus entgegengesetzten Richtungen auf das Atom gerichtet sind. Der


eine Laser ist rechtszirkular- (σ − ) und der andere linkszirkular polarisiert (σ + ). Ein Atom 

im Grundzustand hat einen Gesamtdrehimpuls J =0, ist also nicht entartet. Der erste angeregte 

Zustand hat J =1und ist damit dreifach entartet (m F = −1, 0, +1). Dadurch 

regt der rechtspolarisierte Strahl nur in den Zustand m F =1im oberen Triplett-Zustand 

an. Entsprechend regt der andere Laserstrahl Übergänge nach m F = −1 an. Das Magnetfeld 

ist nützlich, da die Zeemann-Verschiebung für die beiden Zustände unterschiedlich ist. 

Daher heben sich im Nullpunkt des Feldes die von beiden Seiten ausgeübten Kräfte auf, 

und in weiter äußeren Bereichen ist der Strahlungsdruck des jeweils entgegenkommenden 

Lasers durch die Rotverschiebung und die unterschiedliche Zeemann-Verschiebung größer. 

Es wirkt also immer eine ortsabhängige Kraft in Richtung des Feldminimums. Weiterhin 

bewirken die beiden entgegengesetzten verstimmten Laser Doppler-Kühlung. 

In drei Dimensionen wird für die Erzeugung des Feldes in vielen Fällen eine sogenannte 

Anti-Helmholtz-Konfiguration verwendet, das heißt zwei Spulen mit entgegengesetzter 

Stromrichtung. Die Laser werden wie in Abbildung 4.6 mit abwechselnder Polarisation 

angeordnet. 

Pritchard konnte bereits beim ersten Versuch erfolgreich Atome mit einer MOT einfangen. 

Fallen dieser Art haben sich als robust und leicht bedienbar erwiesen. Weiterhin lassen sich 

mit ihnen hohe Atomdichten erreichen. Selbst Atome mit hoher Anfangsgeschwindigkeit 

können eingefangen werden, sodaß es prinzipiell möglich ist, auf den Zeemann-Slower zu 

verzichten. Allerdings ist der Wirkungsgrad der Falle dann geringer [75]. 

Zwar ist das Prinzip immer ähnlich, in ihren Details unterscheiden sich die einzelnen MOTs 

allerdings sehr. Mittlerweile hat fast jede Gruppe, die sich experimentell mit der Bose- 

Einstein-Kondensation beschäftigt, einen eigenen Fallentyp entwickelt. Daher sollen einige 

im folgenden kurz beschreiben werden. 

4.7.1 Exkurs: Penning- und Paul-Trap 

Im Gegensatz zu den in den nachfolgenden Abschnitten beschriebenen Fallen ist die Paul- 

Falle für geladene Teilchen entwickelt worden. Auch wenn dieser Fallentyp für Experimente 

zur Bose-Einstein-Kondensation nicht benutzt werden kann, soll an dieser Stelle eine 

kurze Beschreibung erfolgen, da er einen großen Einfluß auf die Entwicklung der Fallen 

für neutrale Teilchen hatte. 

Der Entwicklung der heute benutzten Fallen ging die Isolierung eines einzelnen Elektrons 

in einer Penning-Falle voraus. Hans Dehmelt, der 1989 zusammen mit Wolfgang Paul den 

Nobelpreis erhielt, gelang es 1973, unter Mitarbeit von David J. Wineland und Philipp 

Ekstrom am “National Institute of Standards and Technology (NIST)” erstmals ein Elektron 

einzufangen. Sie vermochten es sogar, ein Elektron zehn Monate gefangen zu halten, 

bevor es versehentlich mit einer Wand der Falle kollidierte [8]. 

Die nach ihm benannte Falle entwickelte der holländische Physiker Frans Michel Penning, 

um elektrische Ströme für Radioröhren einzuschließen [101]. In ihr wird ein Elektron zwischen 

zwei negativ geladenen Platten gehalten. Ein umgebendes starkes Magnetfeld lenkt 

das Elektron auf eine Kreisbahn ab, damit es weder mit der Wand kollidieren noch an den 

Seiten entweichen kann.

4.7 Exkurs: Penning- und Paul-Trap 53 

Eine moderne Penning-Falle besteht aus zwei hyperbelförmigen Deckelelektroden und einer 

Ringelektrode [123]. Soll ein positives Ion eingeschlossen werden, legt man an die 

Deckelelektroden eine positive Spannung U 0 gegenüber der Ringelektrode an. Dadurch erfahren 

die Ionen eine Kraft in Richtung der x-y-Ebene und können sich in z-Richtung nur 

noch sehr eingeschränkt bewegen. Der radialen Kraft, die die Ionen zur Ringelektrode hin 

beschleunigt, wirkt ein parallel zur z-Richtung angelegtes Magnetfeld entgegen. Zusammen 

mit dem radialen elektrischen Feld bewirkt das axiale magnetische Feld eine Kreisbewegung 

des Ions um die z-Achse. Die übliche Elektrodenanordnung zeigt Abbildung 4.11. 

Deckelelektrode 

00000000000000000000000000000000000 

11111111111111111111111111111111111 

00000000000000000000000000000000000 

11111111111111111111111111111111111 

00000000000000000000000000000000000 

11111111111111111111111111111111111 

00000000000000000000000000000000000 

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00000000000000000000000000000000000 

11111111111111111111111111111111111 

00000000000000000000000000000000000 

11111111111111111111111111111111111 

- 

Ringelektrode 

00000 

11111 

00000 

11111 

00000 

11111 

00000 

11111 

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11111 

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11111 

00000 

11111 

z 

0 

00000 

11111 

00000 

11111 

00000 

11111 

00000 

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11111 

00000 

11111 

00000 

11111 

00000 

11111 

Deckelelektrode 

x y 

Abbildung 4.11: Schematische Darstellung der Penning-Falle (nach [123]). 

r 

0 

+ 

- 

B 

z 

Das elektrische Potential ist in kartesischen Koordinaten gegeben durch 

das heißt die elektrische Feldstärke ist in z-Richtung 

2z 2 − x 2 − y 2 

ϕ = U 0 , (4.11) 

r0 2 +2z0 

2 

E z = − dϕ 

dz = −U 4z 

0 , (4.12) 

r0 2 +2z0 

2 

und damit wirkt die resultierende Kraft stets in Richtung der x-y-Ebene und ist proportional 

zum Abstand davon. Daher bewegt sich das Ion auf einer harmonisch schwingenden Bahn 

in z-Richtung. Das Magnetfeld B bewirkt für Teilchen mit der Ladung q und der Masse M 

eine Kreisbewegung mit der Zyklotronfrequenz ν c = qB/(2πM), die senkrecht zur durch 

das elektrische Feld entstehenden Bewegung verläuft. Da das elektrische Feld senkrecht 

auf dem magnetischen steht, verschiebt sich das Zentrum der Zyklotron-Bahn senkrecht zu 

beiden Feldern, was bei zylindrischer Feldanordnung eine Kreisbewegung in z-Richtung 

(Magnetronbewegung) bedeutet. Die resultierende Gesamtbewegung eines Ions ist also eine 

Überlagerung aus der Rotation und der Magnetronbewegung. 4 

4 Ein Paket zur Berechnung und Darstellung der Teilchenbahnen sowie des effektiven Potentials mit Mathematica 

wird in [10] vorgestellt.


Die von Wolfgang Paul in den frühen fünfziger Jahren vorgeschlagene Falle, unterscheidet 

sich von der Penning-Falle durch die Verwendung von elektrischen Wechselfeldern 

zwischen den Deckelelektroden und der Ringelektrode. Dadurch kann auf das Magnetfeld 

verzichtet werden [100]. 

Für die Experimente nötige Laserstrahlen können durch die Spalte zwischen den Deckelund 

der Ringelektrode auf das Zentrum der Falle gerichtet werden. 

Penning- und Paul-Fallen werden heute bei vielen Experimenten eingesetzt. Ein Beispiel 

ist ISOLTRAP am CERN, wo eine Kombination aus zwei hintereinander geschalteten 

Penning-Fallen zur genauen Bestimmung der Massen instabiler Isotope genutzt wird [7]. 

Während die erste Falle nur zur Kühlung der von der Quelle kommenden Ionen dient, werden 

in der zweiten Zyklotron- und Magnetronfrequenz gemessen und daraus die Masse 

bestimmt. Die Ergebnisse sind weitaus präziser als es mit den meisten anderen Methoden 

möglich wäre. 

4.7.2 TOP Trap 

Die erste Gruppe, die ein Bose-Einstein-Kondensat erzeugen konnte, war die Gruppe um 

Eric A. Cornell am Joint Institute for Laboratory Astrophysics (JILA), dem National Institute 

for Standards and Technology (NIST) sowie der University of Colorado [4]. Dieser 

Schritt war durch eine Weiterentwicklung der bis dahin üblichen Quadrupolfallen möglich 

geworden, die durch ihr verschwindendes Feld im Zentrum und dadurch entstehende 

Majorana-Flops keine ausreichenden Teilchendichten ermöglichte. Die TOP-Falle (“timeaveraged, 

orbiting potential trap”) [104] besteht aus einem Quadrupolfeld, das mit Hilfe der 

bereits oben beschriebenen Anti-Helmholtz-Konfiguration erzeugt wird und einem schwachen 

Feld, das mit einer Frequenz von einigen Kilohertz um die Symmetrieachse rotiert. 

Würde dieses Feld konstant sein, wäre der Ort, an dem die Felder verschwinden, nur verschoben 

und die Atome (hier Rubidium 87) würden sich dort sammeln und könnten aus 

der Falle entkommen. In der TOP-Falle wird dagegen ein harmonisches Potential erzeugt. 

Die Rotationsfrequenz muß viel größer sein als die Frequenz mit der die Atome schwingen 

(einige hundert Hertz), da das entstehende effektive Potential erst dadurch für die gefangenen 

Teilchen konstant zu sein scheint. Der Ort, an dem die Atome die Falle verlassen 

könnten, wird also schneller bewegt als die Teilchen reagieren können. Durch das rotierende 

Feld werden die Spins ständig polarisiert, wodurch noch mehr Atome in der Falle 

gehalten werden. 

In einer Quadrupolfalle entweichen die Atome aus einem ellipsoidförmigen Bereich im 

Zentrum des Feldes. In der TOP-Falle müssen ebenfalls Verluste in Kauf genommen werden. 

Allerdings ist der hier interessante Bereich ein Ring um das Zentrum, da das Minimum 

rotiert. Dadurch werden hauptsächlich höherenergetische Atome entfernt - Verdampfungskühlung 

ist somit gewissermaßen bereits eingebaut. Verringert man weiterhin die Stärke 

des rotierenden Feldes, verschiebt sich das Minimum in Richtung des Zentrums und weitere 

Atome können entfernt werden. Die maximale Größe einer gefangenen Atomwolke ist 

bei der TOP-Trap durch den Radius der Trajektorie des Minimums um das Zentrum gegeben. 

Werden größere Atomwolken in die Falle geladen, so werden sie binnen kürzester Zeit 

auf diese Größe zusammenschrumpfen, so daß alle weiter außen liegenden Teilchen ent-

4.7 Permanent Magnet Trap 55 

weichen können. Ein weiterer Nachteil dieses Fallentyps sind die im Vergleich zu den im 

Folgenden beschriebenen Fallen beschränkteren Möglichkeiten, das Gas mit Laserstrahlen 

oder RF-Wellen zu erreichen. Die Anordnung der Spulen läßt weniger Freiraum zur Verfügung 

als zum Beispiel bei der Cloverleaf-Trap. Der Aufbau der TOP-Falle ist in Abbildung 

4.12 zu sehen. 

Abbildung 4.12: Schematische Darstellung der TOP-Falle (nach [4]). Die großen horizontal angebrachten 

Spulen erzeugen das Anti-Helmholtz-Feld und die kleinen vertikal installierten sind für 

das rotierende Feld verantwortlich. 

In Kapitel 5 soll das Verhalten einer Atomwolke in dieser Falle simuliert werden. Aus 

diesem Grund werden dort weitere Einzelheiten des Experiments und Eigenschaften dieses 

Fallentyps erklärt. 

4.7.3 Permanent Magnet Trap 

Die zweite Gruppe, die es geschafft hat, ein Bose-Einstein-Kondensat zu erzeugen, ist die 

um Randal G. Hulet an der Rice-University in Houston, Texas. Sie benutzen eine Falle 

mit Permanentmagneten in einer sogenannten Ioffe-Pritchard-Konfiguration [119], um 

Lithium-Atome einzufangen. 

Permanentmagnete haben den Vorteil, daß sie relativ leicht herstellbar sind und einen guten 

Zugang für die optischen Verfahren ermöglichen, weil die einzelnen Magneten im Vergleich 

zu supraleitenden weniger Platz benötigen. Nachteilig wirkt sich allerdings aus, daß 

die Felder nur schwer an andere Experimente angepaßt werden können, da die Permanentmagnete 

ein festes Feld besitzen. 

Die Falle besteht aus sechs symmetrisch angeordneten Magneten, von denen vier ein Quadrupolfeld 

in der x-y-Ebene erzeugen. Die in Richtung der z-Achse angeordneten Magneten 

produzieren ein Dipolfeld. Das effektive Potential hat dadurch ein Minimum im 

Zentrum der Falle (siehe Abbildung 4.13). In der benutzten Falle hat jeder Magnet eine 

Oberflächenmagnetisierung von 0,5 Tesla. Wollte man dieses Feld mit einer Spule erzeugen, 

würde sie die für diese Experimente nutzbaren Abmessungen übersteigen. Mit su-


praleitenden Spulen ist es leicht, noch größere Felder zu erhalten, allerdings sind diese 

Magnete größer, teurer und komplexer. Die Laser verlaufen jeweils diagonal zu den durch 

die Magnete definierten Würfelseiten. 

S 

S 

N 

N 

N 

S 

X 

Y 

Z 

Abbildung 4.13: Atomfalle mit Permanentmagneten in Ioffe-Pritchard-Konfiguration (aus [119]). 

4.7.4 Cloverleaf Trap 

Die Gruppe von Wolfgang Ketterle am MIT lag bis kurz vor dem Erreichen des Ziels vor 

den anderen Gruppen. Es gelang ihnen vier Monate nach Eric Cornells Gruppe, ein Bose- 

Einstein-Kondensat zu erzeugen [33]. Dazu benutzten sie Natrium-Atome in einer Falle 

mit einem Quadrupolfeld. Um Majorana Flops im Zentrum der Falle zu verhindern, bedienten 

sie sich eines sogenannten “Optical Plugs”, also eines blauverstimmten Lasers, 

durch den auf die Atome eine Kraft wirkt, die sie aus der Mitte der Falle herausdrückt 

und damit von dem Ort, an dem das magnetische Feld verschwindet, fernhält. Zur Vermeidung 

von Strahlungsdruck und spontaner Emission ist die Verstimmung gegenüber der 

Absorptionsfrequenz der Atome sehr stark - man benutzt grünes Licht (514nm) bei einer 

Resonanzfrequenz im gelben Bereich (589nm). Ketterles Methode ist aufwendiger als die 

TOP-Falle, ermöglicht aber eine tiefere Falle, in der größere Kondensatdichten erreicht 

werden können. 

Krümmungsspule 

Quadrupolspule 

Dipolspule 

Atomwolke 

Abbildung 4.14: Schematische Darstellung der Kleeblatt-Falle.

4.8 Dichtebestimmung in der Atomwolke 57 

Nach der Erzeugung der ersten Kondensate befaßte sich die Gruppe mit der Entwicklung 

einer neuen Anordnung der Magnetfelder [90]. Die Cloverleaf (“Kleeblatt”)-Falle ist in 

Abbildung 4.14 dargestellt. Sie stellt eine Verbesserung der bis dahin benutzten Fallen dar, 

denn sie ist flexibler als eine mit Permanentmagneten, erzeugt ein zeitunabhängiges Feld 

(im Gegensatz zur TOP Trap), benötigt keinen “Optical Plug” und auch keine Versorgung 

mit flüssigem Helium, um die Spulen supraleitend zu machen. Die Konfiguration der Felder 

entspricht – wie bei der Permanent Magnet Trap – dem Ioffe-Pritchard-Typ. In diesem Fall 

werden allerdings acht normalleitende Elektromagneten benutzt, um das Quadrupolfeld zu 

erzeugen. Dieses ist symmetrisch zur optischen Achse und die Anordnung der Magneten in 

Kleeblattform gibt der Falle ihren Namen. Die äußeren Spulen erzeugen wie bei der Permanent 

Magnet Trap ein Dipolfeld. Zusätzlich verfügt diese Falle über zwei weitere Spulen, 

die das effektive Feld im Zentrum der Falle verringern, um den radialen Feldgradienten zu 

vergrößern (Krümmungsspulen). Da die Spulen wie Helmholtz-Spulen angeordnet sind, ist 

die Atomwolke für die Laser und den RF-Sender gut erreichbar. 

4.8 Dichtebestimmung in der Atomwolke 

Zur Messung der Temperatur und der Dichteverteilung in einem gekühlten Gas benutzt 

man häufig eine Bestimmung der Fallzeit [4, 33]. Dazu wird das Magnetfeld abgeschaltet, 

und die Wolke kann sich ungehindert ausdehnen. Ein schwacher vertikaler Feldgradient 

wird angelegt, um der Gravitation entgegenzuwirken und nach weniger als 100ms wird das 

Gas mit einem Laser beleuchtet, dessen Wellenlänge einer Absorptionfrequenz der Atome 

entspricht. Der Strahldurchmesser ist dabei größer als die Abmessungen der Gaswolke, und 

mit Hilfe Absorption des Lichtes durch die Atome ensteht auf einem CCD-Detektor hinter 

dem Gas ein Schatten. Dieser liefert Aussagen über die Größe der Wolke nach der Expansion 

und erlaubt die Berechnung der ursprünglichen Geschwindigkeitsverteilung. Die 

Geschwindigkeitsverteilung wird mit einer zweidimensionalen “Time of Flight”-Messung 

bestimmt. An jedem Punkt des Bildes ist die optische Dichte proportional zur Dichte der 

Atome. Daher lassen sich aus einem einzigen Bild die Geschwindigkeit und die Phasenraumdichte 

und damit die Temperatur bestimmen. 

Für eine Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Expansion werden mehrere Aufnahmen 

von verschiedenen Kühlprozessen, bei denen die Verdampfungskühlung zu unterschiedlichen 

Zeitpunkten abgebrochen wird, gemacht. Man geht dabei davon aus, daß der Ablauf 

des Versuchs immer gleich ist. Reiht man die erhaltenen Bilder zeitlich hintereinander auf, 

erkennt man zuerst eine thermische Verteilung. Ab einem bestimmten Zeitpunkt aber beginnt 

sich ein starker Peak über der Verteilung zu bilden, und nach noch weiterer Kühlung 

sind nahezu alle Atome kondensiert. 

Die Gruppe um R.G. Hulet benutzte eine Falle mit Permanentmagneten (Abschnitt 4.7.3), 

die den Nachteil hat, daß die Felder nicht einfach abgeschaltet werden können. Daher ist 

es nicht möglich die oben beschriebene Fallzeitmethode zur Bestimmung der Temperatur 

zu verwenden. Die RICE-Gruppe beleuchtet ihre Atome daher mit einem Laser und bildet 

sie mit einem Linsensystem und einer CCD-Kamera ab [17, 110, 119]. Da das Kondensat 

nur etwa viermal so groß ist wie die Wellenlänge des benutzten Lasers, muß sehr darauf 

geachtet werden, daß auch tatsächlich die Atomwolke abgebildet wird. Man benutzt aus


diesem Grund möglichst gute Linsen und verstimmt den Abbildungslaser stark gegen die 

Absorptionsfrequenz der Atome. Dann wird die Wolke zwar für den Laser nahezu transparent, 

aber Beugungseffekte bewirken Phasenverschiebungen, die mit einer speziellen Abbildungstechnik 

sichtbar gemacht werden können (Phase-Contrast Imaging), das heißt die 

Streuung des Lichts durch die Atome bewirkt eine Änderung der Laserpolarisation. Läßt 

man dieses Licht mit dem ursprünglichen Strahl interferieren, erhält man ein Beugungsbild, 

welches eine eindeutige Abbildung der Verteilung der Atome zeigt. 

4.9 Neueste experimentelle Ergebnisse 

Nach den bisher genannten Gruppen haben es auch einige andere geschafft, Bose-Einstein 

Kondensate mit Alkalimetallen herzustellen und mittlerweile existieren weltweit fast zwanzig 

Labore, die dazu in der Lage sind. 

Quantenstatistisch gesehen sollte es mit molekularem Wasserstoff aufgrund der geringeren 

Masse allerdings bereits bei höheren Temperaturen möglich sein, die Kondensation zu 

erreichen. Eine Gruppe am MIT hatte bereits einige Jahre zuvor eine eigens entwickelte 

Methode der Verdampfungskühlung angewendet, war aber nicht zum Ziel gelangt. Es fehlten 

UV-Laser, deren Frequenzen für diese Atome geeignet sind. Eine Weiterentwicklung 

der Verdampfungskühlung ermöglichte Tom Greytak und Daniel Kleppner vom MIT im 

Juni 1998 die Erzeugung des ersten Bose-Einstein Kondensates aus Wasserstoff [46]. 

Für Moleküle sind die Probleme immer noch groß. Das liegt an der komplizierten Niveaustruktur, 

die schnelle Absorption und Emission von Photonen verhindert. John Doyle 

und Mitarbeitern von der Harvard Universität ist es erstmals 1998 gelungen, eine CaH- 

Wolke in einer Magnetfalle auf etwa 400mK abzukühlen [121]. Ihr Verfahren verwendet 

3 He als Puffergas, an das die CaH-Moleküle einen Teil ihrer Energie durch elastische Stöße 

abgeben. Das Helium thermalisiert wiederum mit der kryogenen Vakuumapparatur. Die 

gemessene Temperatur ist allerdings noch weit von der theoretischen Übergangstemperatur 

zum Bose-Einstein Kondensat entfernt. 

4.10 Anwendungen neben der Bose-Einstein-Kondensation 

Es hat sich gezeigt, daß die Laserkühlung nicht nur zur Erzeugung von Bose-Einstein- 

Kondensaten, sondern auch auf anderen Gebieten sehr nützlich sein kann. Im folgenden 

sollen einige ausgewählte Beispiele dargestellt werden [25,75,77,92]. Zu den nicht dargestellten, 

aber nicht weniger wichtigen Gebieten zählen sowohl Anwendungen in der Atomlithografie 

als auch in der Meterologie, Quantenoptik, Festkörperphysik, Biologie und Genetik. 

4.10.1 Atomoptik 

Die De-Broglie-Wellenlänge eines Atoms ist für geringe Geschwindigkeiten derart groß, 

daß die Welleneigenschaften der Atome in den Vordergrund treten. Dadurch können opti-

4.10 Hochauflösende Spektroskopie 59 

sche Phänomene mit Atomen studiert werden. 

Da neutrale Atome nach außen keine Ladung besitzen und sie im Gegensatz zu Neutronen 

Materie nicht durchdringen, mußten Komponenten wie Linsen, Spiegel oder Strahlteiler 

neu erfunden werden. 

Atomlinsen können zum Beispiel aus statischen elektrischen und magnetischen Feldern 

bestehen oder auf Strahlungsdruck (siehe Abschnitt 4.4) beruhen. Atomspiegel basieren 

meistens auf Effekten, die bei der Totalreflexion eines Lasers an einem Prisma entstehen. 

Die ersten atomaren Interferometer wurden 1991 gebaut [22, 76]. In ihnen wird ein Atom 

in zwei räumlich getrennte Wellenzüge aufgeteilt, deren Interferenz nach anschließender 

Zusammenführung beobachtet wird. Solche Interferometer können unter anderem benutzt 

werden, um sehr genaue Messungen der Gravitation zu ermöglichen [73]. 

4.10.2 Hochauflösende Spektroskopie 

Bei niedrigeren Temperaturen erhält man schmalere Spektrallinien und daher eine bessere 

Auflösung, denn unerwünschte Effekte, wie zum Beispiel Doppler-Verbreiterung, sind 

weniger stark. Dies war die ursprüngliche Motivation, ein Verfahren zur Laserkühlung zu 

entwickeln, denn dadurch kann eine höhere Genauigkeit bei der Spektroskopie erzielt werden. 

4.10.3 Atomuhren 

Die genauesten Atomuhren existieren derzeit bei der Physikalisch Technischen Bundesanstalt 

(PTB) in Braunschweig und dem NIST in Boulder. Uhren dieser Art werden hauptsächlich 

bei der Navigation von Satelliten und Raumsonden genutzt und bestehen aus einem 

thermischen Caesiumatomstrahl, der zwei Mikrowellenfelder passiert. Diese sind resonant 

zur Hyperfeinaufspaltung des Grundzustandes. 5 Die Genauigkeit solcher Uhren ist 

hauptsächlich durch die kurze Vorbeiflugzeit der Atome beschränkt, so daß mit um einige 

Größenordnungen langsamer fliegenden Atomen eine höhere Genauigkeit erreicht werden 

kann. Da Caesium zu den für die Laserkühlung effektivsten Atomen zählt, drängt sich dieses 

Verfahren förmlich auf [58]. 

Beschleunigt man eine Ansammlung lasergekühlter Atome langsam senkrecht nach oben, 

so werden sie nach einiger Zeit von der Gravitation soweit abgebremst, daß sie ihren Weg 

umkehren. Läßt man sie sowohl auf ihrem Weg nach oben, als auch auf dem Rückweg 

ein Mikrowellenfeld passieren, kann man die Dauer ihres Weges messen. Auf diese Weise 

bilden die Atome eine Art “Springbrunnen”. Sogenannte “Atomspringbrunnen” oder “Zachariasspringbrunnen” 

wurden bereits 1953 von Zacharias vorgeschlagen [126]. Er führte 

auch einige Versuche durch, war aber mit den damaligen Mitteln nicht in der Lage, seine 

Ideen zu verwirklichen. Steven Chu präsentierte 1989 einen solchen Brunnen und nutzte 

ihn später ebenfalls für die Realisierung eines atomaren Interferometers [74]. Die ersten 

Uhren dieser Art sind nun in der Entwicklung und werden voraussichtlich um zwei Größenordnungen 

genauer als die zur Zeit genutzten sein. 

5 Für weitere Informationen siehe “Ramseys Methode getrennter Felder” [108].


4.10.4 Ultrakalte Kollisionen 

Das Studium von Kollisionen kalter Atome ist wichtig, da solche Stöße die Lebensdauer 

gekühlter Gase in Fallen verkürzen und ihre Eigenschaften verändern. Weiterhin entstehen 

bei ultrakalten Kollisionen neue und unerklärte Effekte, die bisher noch nicht oder nur sehr 

schlecht verstanden sind. Diese Phänomene werden untersucht, indem man einige Atome 

in eine Falle einführt und dann beobachtet, wie sie durch Kollisionen wieder entweichen. 

Eine andere Methode geht von der Untersuchung von Kollisionspunkten aus, an denen 

dadurch zum Beispiel Ionen entstehen können. 

4.10.5 Optische Pinzetten 

Chu und Ashkin gelang es, 1989 neutrale Teilchen mit Größen von 0,02 bis 10 Mikrometern 

in einer Dipolfalle einzufangen [32]. Da solche Fallen nur aus einem stark fokussierten 

Laser bestehen, können eingefangene Teilchen dadurch leicht verschoben werden, indem 

die Richtung des Laserstrahls verändert wird. 

Solche “optische Pinzetten” sind sinnvoll mit optischen Mikroskopen kombinierbar, da dadurch 

beispielsweise lebende Bakterien gefangen und manipuliert werden können, ohne sie 

zu zerstören. Es ist sogar gelungen, Bestandteile innerhalb der Zellen zu bewegen, ohne die 

Zellwand zu zerstören. 

Diese Anwendungen sind besonders für die biologische Forschung interessant. Es wurden 

bereits die Flimmerhaare von Bakterien, Chromosomen in Zellen oder DNS-Moleküle manipuliert. 

Die Gruppe von Chu heftete mikroskopische Plastikkugeln an die Enden der DNS 

und hielt sie mit zwei Lasern fest. Es gelang ihnen, die elastischen Eigenschaften der DNS 

zu erforschen und ein Ende eines DNS-Moleküls an einem Objektträger festzuheften.

5 

Simulation 

eines Bose-Gases in der 

TOP-Falle 

Wie bereits erklärt ist es die Gruppe um Eric A. Cornell am Joint Institute for Laboratory 

Astrophysics (JILA), dem National Institute for Standards and Technology (NIST) sowie 

der University of Colorado gewesen, die das erste Bose-Einstein Kondensat erzeugen konnte 

[4]. 

In diesem Kapitel soll das Verhalten eines idealen Gases in der von ihnen benutzten TOP- 

Falle (siehe Abschnitt 4.7.2) simuliert werden. Dazu werden mit Hilfe der in Kapitel 3.2 

eingeführten Rekursionsformel (3.21) die Besetzungszahlen der einzelnen Zustände im Potential 

der Falle berechnet und daraus die orts- und temperaturabhängige Teilchendichte 

bestimmt. 

Die experimentelle Dichtebestimmung findet statt, indem das Fallenpotential nahezu abgeschaltet 

wird und sich die Wolke frei ausbreiten kann. Nach einer festgelegten Zeit von 

einigen Millisekunden wird mit Hilfe einer Absorptionsmessung die neue Dichte ermittelt 

und es können Rückschlüsse auf die ursprüngliche Form der Wolke getroffen werden. 

Dieses Verfahren wird in Abschnitt 5.4 simuliert, indem die Zeitentwicklung der Wellenfunktion 

für freie Teilchen durchgeführt und wiederum die Dichte berechnet wird. 

Natürlich handelt es sich bei der Annahme eines idealen Gases nur um eine Näherung, da 

die Atome miteinander wechselwirken (siehe Abschnitt 2.4). Ziel dieses Kapitels ist eine 

Abschätzung des dadurch entstehenden Fehlers, indem mit den Ergebnissen des Experiments 

verglichen wird. 

5.1 Eigenschaften der Falle 

Die von der JILA-Gruppe benutzte sogenannte TOP- Falle, in der ein effektives Potential 

auf 87 Rb Atome mit der Masse m = 0,891·10 −26 eV s 2 /Å 2 wirkt, läßt sich gut durch einen 

anisotropen harmonischen Oszillator 

V (x, y, z) = 1 2 m ( ω 2 xx 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2) (5.1) 

nähern, dessen Energieeigenwerte und Wellenfunktionen in Abschnitt 2.4 und Anhang A.1 

angegeben sind. 

Das Potential in der TOP-Trap ist durch die Frequenzen der drei Raumrichtungen ω x , ω y 

und ω z bestimmt. Weiterhin bewirkt die Anordnung der Feldspulen in diesem Fallentyp 

eine Zylindersymmetrie, so daß 

ω y = ω z (5.2) 

61

62 Kapitel 5. Simulation eines Bose-Gases in der TOP-Falle 

gilt und aus experimentellen Beobachtungen ist bekannt, daß die x-Komponente zu 

ω x = √ 1 ω y (5.3) 

8 

skaliert. Während der ersten Messungen mit dieser Falle ging man von 

aus [104], doch dieser Wert wurde später durch 

ω x =2π · 120Hz (5.4) 

ω x =2π · 208Hz (5.5) 

korrigiert [11]. 1 Die hier dargestellten Simulationen verwenden bereits den korrigierten 

Wert. 

In den Experimenten kann unterhalb der Übergangstemperatur von etwa 170nK ein starkes 

Ansteigen der Dichte im Zentrum der Falle festgestellt werden, was gleichbedeutend ist 

mit dem Beginn der Kondensation. Verringert man die Temperatur weiter, steigt die Dichte 

solange an, bis alle Teilchen im Grundzustand sind. Weiteres Abkühlen der Atome bewirkt 

dann also keine zusätzliche Dichteerhöhung. 

Durch den Kühlprozeß ist die Teilchenzahl N nicht konstant, sondern sinkt von etwa 10 7 

auf 2000 Teilchen ab. Daher werden sämtliche Simulationen in diesem Kapitel für N=2000, 

10000, 20000 und 100000 durchgeführt. 

Es werden gerade diese Werte ausgewählt, da sich zu Beginn des Kühlprozesses zwar etwa 

10 7 Teilchen in der Falle befinden, der Rechenaufwand mit der Rekursionsformel aber 

linear zu N ansteigt und für mehr als 100000 Teilchen nicht mehr in einem akzeptablen 

Zeitrahmen durchführbar ist, denn es müßten auch entsprechend mehr Energieeigenwerte 

in die Berechnungen einbezogen werden. Über die auftretenden Probleme bei den numerischen 

Rechnungen mit der Rekursionsformel wurde bereits ausführlich in Kapitel 3 berichtet 

und somit soll darauf an dieser Stelle nicht weiter eingegangen werden. Es sei nur 

angemerkt, daß die erwähnten Schwierigkeiten hier sogar verstärkt auftreten, da es sich um 

ein anisotropes Potential handelt. Hier müssen nämlich die Eneergieeigenwerte E nxn yn z 

in Abhängigkeit von allen drei Quantenzahlen bestimmt werden, so daß bereits bei viel 

geringeren Energien eine größere Anzahl Werte existiert. Aus diesem Grund ermöglicht 

das Programm ho_levels_3d.bin.f wiederum die Ausnutzung der Vorteile der Methode der 

Energiebereiche E α des letzten Kapitels. 

Aufgrund starker Verluste durch den Kühlprozeß befinden sich nach vollständiger Kondensation 

nur noch 2000 Teilchen in der Atomwolke, so daß dieser Wert besonders gut 

mit dem Experiment verglichen werden kann, da hier die genauesten Daten existieren. Die 

Zwischenwerte N=10000 und N=20000 werden gewählt, da die meisten Teilchen bereits 

kurz nach dem Einfüllen aus der Falle entweichen und somit kleinere Teilchenzahlen besser 

den für die Experimente tatsächlich interessanten Bereich repräsentieren. Weiterhin 

war man nach den ersten Experimenten mit der TOP-Falle der Meinung, daß sich nach der 

Kondensation 20000 Teilchen in der Falle befänden [59]. 

Trotz des hohen Vakuums von 4·10 −14 bar, entspricht die Lebensdauer eines Kondensats nur 

ungefähr einer Minute, da Stöße mit Atomen der Luft stattfinden und die Wolke aufheizen. 

1 Zur Notation: In vielen Artikeln wird ω x = ω y und ω z =1/ √ 8 ω x definiert.

5.2 Bestimmung der kritischen Temperatur T c 63 

5.2 Bestimmung der kritischen Temperatur T c 

Analog zu den Rechnungen für harte Potentiale in Kapitel 3.2 wird hier mit den Energieeigenwerten 

des Potentials der TOP-Falle die spezifische Wärme C V (T )/N für verschiedene 

Teilchenzahlen berechnet. Die Ergebnisse für N=2000, 10000, 20000 und 100000 sind in 

Grafik 5.1 dargestellt. Wie bei den Berechnungen für Helium werden hier die Energie und 

damit die spezifische Wärme C V (T )/N in Einheiten der Boltzmannkonstante k B angegeben. 

12.0 

8.0 

N = 2000 

N = 10000 

N = 20000 

N = 100000 

CV 

[k N B] 

4.0 

0.0 

0.0e+00 1.0e−07 2.0e−07 3.0e−07 

T [K] 

Abbildung 5.1: Die spezifische Wärme in der TOP-Falle für 2000, 10000, 20000 und 100000 

Teilchen. 

Aus der Abbildung können die kritischen Temperaturen für die verschiedenen Teilchenzahlen 

abgelesen werden, also der Punkt, an dem die spezifische Wärme maximal ist. Durch 

die etwa zwanzigmal größere Masse des Rubidiums gegenüber Helium liegen diese Temperaturen 

näher am absoluten Nullpunkt, das heißt im Bereich von einigen 10 −8 bis 10 −7 

Kelvin. Tabelle 5.2 zeigt die entsprechenden Werte. 

Teilchenzahl 

Kritische Temperatur T c 

2000 5,74·10 −8 K 

10000 9,87·10 −8 K 

20000 1,24·10 −7 K 

100000 2,13·10 −7 K 

Tabelle 5.1: Kritische Temperaturen in der TOP-Trap für verschiedene Teilchenzahlen.


5.3 Berechnung der Dichteverteilung in der Falle 

Unterhalb der kritischen Temperatur T c sammeln sich die Atome im Grundzustand, wodurch 

die Dichte im Zentrum der Falle sehr stark ansteigt. Im folgenden soll die Dichte 

in Abhängigkeit des Ortes und der Temperatur mit Hilfe der Quantenmechanik ermittelt 

werden. Dazu geht man von der Wellenfunktion eines Teilchens im harmonischen Oszillatorpotential 

der TOP- Trap (5.1) 

ψ nxn yn z 

(x, y, z) =X nx (x)Y ny (y)Z nz (z) (5.6) 

(siehe (A.11)) aus, wobei 

X nx (x) = 

( mωx 

~π 

) 1/4 exp ( − mωx x2) (√ ) 

2~ mωx 

√ H 2 

n nx xnx ! 

~ x 

(5.7) 

ist und Y ny (y) und Z nz (z) analog folgen. Bei H nx ((mω x /~) 1/2 x) handelt es sich um die 

Hermite-Polynome. 

Die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens an einem bestimmten 

Ort für einen gegebenen Zustand ergibt sich durch Quadrierung des Betrages 

von (5.6). Durch Multiplikation mit der durch die Rekursionsformel (3.21) bestimmten 

Besetzungszahl eines Zustandes η(n x ,n y ,n z ) erhält man die Anzahl Atome, die sich an einem 

Ort im jeweiligen Zustand befinden. Nun muß nur noch über alle Zustände summiert 

werden, um zur absoluten Dichte am Ort (x,y,z) zu gelangen: 

ρ abs (x, y, z) = 

∑ 

η(n x ,n y ,n z ) |ψ nxn yn z 

(x, y, z)| 2 (5.8) 

n x,n y,n z 

Führt man die relative Besetzungszahl 

η rel (n x ,n y ,n z )=η(n x ,n y ,n z )/N (5.9) 

ein und setzt den konstanten Vorfaktor 

( mωx 

) 1/4 

(5.10) 

~π 

in Gleichung (5.7) auf den Wert Eins, so ergibt sich mit dem geometrischen Mittel der 

Oszillatorfrequenzen ω ho für die Dichte 

ρ(x, y, z) = 

∑ 

η rel (n x ,n y ,n z ) exp ( − mω ho 

(x 2 + y 2 + z 2 ) ) 

~ 

2 nx+ny+nz n 

n x ! n y ! n z ! 

x,n y,n z 

(√ ) (√ ) (√ ) 

·Hn 2 mωx 

x 

~ x Hn 2 mωy 

y 

~ y Hn 2 mωz 

z 

~ z , (5.11) 

und das Maximum ist ebenfalls auf eins normiert. Tatsächlich ermöglicht diese Umformung 

einen direkten Vergleich der Resultate in Abhängigkeit von der Teilchenzahl, wie es in 

dieser Arbeit geschehen soll. 

Auf diese Weise berechnet das Programm howave.f die Dichteverteilung für eine gegebene 

Temperatur T . Zur besseren Darstellung der Daten wird die z-Koordinate auf den Wert

5.3 Berechnung der Dichteverteilung in der Falle 65 

Null gesetzt, man erhält also einen Schnitt durch das Zentrum der Wolke. Dieses Verfahren 

ist sinnvoll, weil die Verteilung zylindersymmetrisch um die x-Achse ist und es bleibt die 

Gleichung 

ρ(x, y, 0) = 

∑ 

η rel (n x ,n y ,n z ) exp ( − mω ho 

(x 2 + y 2 ) ) 

~ 

2 nx+ny+nz n 

n x ! n y ! n z ! 

x,n y,n z 

(√ ) (√ ) 

·Hn 2 mωx 

x 

~ x Hn 2 mωy 

y 

~ y (5.12) 

zu berechnen. Die Hermite-Polynome H ni können mit der Vereinfachung 

ζ = 

(√ mωx 

~ x ) 

(5.13) 

durch Zuhilfenahme einer Rekursion bestimmt werden: 

H 1 (ζ) =1 

H 2 (ζ) =2ζ 

H n (ζ) =2ζ H n−1 (ζ) − 2(n − 1) H n−2 (ζ). (5.14) 

Bei großen Quantenzahlen tritt durch den Vorfaktor 

1 

2 nx+ny+nz n x ! n y ! n z ! 

(5.15) 

ein zusätzliches Problemauf, da dieser schon für relativ kleine Quantenzahlen sehr groß 

wird. Die maximale Anzahl der Zustände in einer Richtung ist dadurch hier auf 100 beschränkt. 

Da allerdings in die Berechnungen der Besetzungszahlen eine weitaus größere 

Anzahl Zustände einbezogen wurde und die hohen Niveaus im interessanten Temperaturbereich 

nur noch schwach besetzt sind, sollte diese Begrenzung zu keiner wesentlichen 

Verfälschung der Ergebnisse führen. 

Wie man sieht, werden für die Wellenfunktion und damit für die Dichte (5.12) alle drei 

Quantenzahlen benötigt. Zur Beschleunigung der Rekursion für die Besetzungszahlen wird 

dort aber nur in einer Dimension gerechnet, indem die Energieeigenwerte zwar für alle 

Quantenzahlen ermittelt, anschließend allerdings durch Anwendung der Methode der Energiebereiche 

auf eine lineare Energieskala mit entsprechender Entartung aufgeteilt werden. 

Diese Energien werden von dem Programm recur98occup.f verwendet, um jedem Bereich 

eine Besetzungszahl zuzuordnen, die daher wiederum nur in einer Dimension vorliegt und 

anschließend auf die drei Quantenzahlen n x , n y und n z aufgeteilt werden muß, was folgendermaßen 

geschieht: Bereits bei der Berechnung der Energieeigenwerte E nxn yn z 

werden 

die Quantenzahlen und der Index α des zugeordneten Energiebereichs E α in eine Datei 

geschrieben, die später eingelesen werden kann, um die Besetzungszahlen den entsprechenden 

Quantenzahlen zuzuordnen. 

Die numerische Instabilität der Rekursion zur Berechnung der Besetzungszahlen beschränkt 

die niedrigste mögliche Temperatur auf 2,5·10 −9 K, denn unterhalb dieser Temperatur 

treten Werte auf, die außerhalb des nutzbaren Zahlenbereichs liegen.


Der Ursprung wird in das Zentrum der Falle gelegt, und die Berechnungen der Dichte werden 

für einen Abstand von 5µminx- und y-Richtung durchgeführt. Für die oben angegebenen 

Teilchenzahlen sind die Ergebnisse in Abbildung 5.2 bis 5.5 zu sehen. Die Darstellung 

der Dichte erfolgt sowohl linear als auch logarithmisch, denn während die linearen Grafiken 

die Ausbildung eines Peaks im Zentrum besser zeigen, wird durch die logarithmischen 

Diagramme klar, daß das Integral über die Verteilungen immer gleich bleiben muß, da die 

Teilchenzahl N konstant ist. 

Aufgrund der Symmetrie um den Ursprung ist es ausreichend, die Dichte ρ(x, y, 0) nur für 

einen Quadranten zu ermitteln und die entsprechenden Werte in die übrigen Raumbereiche 

zu übertragen. Die berechneten Stützpunkte der Grafiken haben einen Abstand von jeweils 

0,025µm, so daß insgesamt 160000 Punkte pro Bild ermittelt werden. 

Leider können in der Papierversion dieser Arbeit bei weitem nicht alle Bilder, sondern 

nur eine begrenzte Auswahl gezeigt werden. Auf der beiliegenden CD-Rom befinden sich 

allerdings zum einen die übrigen Diagramme und zum anderen einige Animationen, die 

die Änderung der Dichte in Abhängigkeit von der Temperatur zeigen. Die große Zahl der 

auf der CD-Rom befindlichen Bilder ergibt sich aus der für die Erstellung dieser “Filme” 

nötigen Menge, um einen flüssigen Verlauf zu erhalten. 2 

Die Ergebnisse zeigen sehr deutlich, daß die Dichte innerhalb des harmonischen Potentials 

oberhalb der in Tabelle 5.2 angegebenen kritischen Temperaturen gleichförmig ist, 

also einer thermischen Verteilung entspricht. Für angeregte Zustände sind die Hermite- 

Polynome nicht konstant, sondern entwickeln an den Rändern des Potentials einen Peak 

und schwingen in der Nähe des Ursprungs nur mit geringer Amplitude. Die Maxima dieser 

Wellenfunktionen befinden sich für hohe Quantenzahlen weiter außen als für niedrige. Daher 

ergibt sich für Temperaturen oberhalb von T c eine gleichförmige räumliche Verteilung, 

denn auch höhere Zustände sind besetzt. 

Bei Eintritt der Kondensation bildet sich im Zentrum der Falle ein Peak in der Dichteverteilung 

aus, der die Form einer Gaußschen Glockenfunktion hat. Die Ursache dafür liegt in 

der Form der Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators, die eben 

genau dieser Funktion entspricht. Da dieser Zustand der einzige makroskopisch besetzte 

ist, heben sich die Auswirkungen dieses Niveaus von den anderen ab. 

Aufgrund der nötigen Beschränkung der Anzahl dargestellter Bilder werden die Dichteverteilungen 

nur für jeweils vier unterschiedliche Temperaturen pro Teilchenzahl abgedruckt. 

Jede Serie enthält ein Bild für eine Temperatur von 1,0·10 −8 K, um einen direkten Vergleich 

zu ermöglichen. Die linearen Darstellungen lassen sich kaum unterscheiden, denn 

es scheint als seien bereits alle Teilchen kondensiert. Anders sieht es aus, wenn man die 

logarithmischen Grafiken betrachtet. Hier ist deutlich zu erkennen, daß sich bei größeren 

Teilchenzahlen bereits ein höherer Anteil der Atome im Kondensat befindet als bei kleineren. 

Die Erklärung hierfür ist in der kritischen Temperatur zu finden, welche für größere 

Teilchenzahlen höher liegt und damit für ein früheres Einsetzen der Kondensation sorgt. 

Hieraus resultiert die Wahl der übrigen Bilder, denn es werden jeweils ein Wert aus der 

Nähe der kritischen Temperatur und unterschiedlich verteilte Zwischenwerte gewählt. 

Für 2000 Teilchen zeigt Abbildung 5.2 eine Grafik für eine Temperatur, die bereits am 

2 Siehe auch Anhang E.


Limit der numerischen Berechenbarkeit liegt. Bei 3,0·10 −9 K befinden sich tatsächlich nahezu 

alle Teilchen im Grundzustand. Dieses ist zu erkennen, weil die logarithmische Dichteverteilung 

besonders steil abfällt und nicht einmal mehr die ellipsenförmige Form der 

Rubidiumwolke zeigt. 

Abbildung 5.3 und 5.4 zeigen die Ergebnisse für 10000 und 20000 Teilchen. Die Temperaturen 

sind hier identisch gewählt, um einen Vergleich für zwei unterschiedliche Teilchenzahlen 

über den gesamten Temperaturbereich zu ermöglichen. Erwartungsgemäß ähneln 

sich die Bilder für 1,0·10 −8 K sehr, doch für anwachsende Temperaturen fällt die Dichte im 

Zentrum einer Falle mit 10000 Teilchen schneller ab. 

Durch die Einführung der in diesem Kapitel genutzten Normierung der Dichte muß hier 

noch einmal betont werden, daß die Anzahl der Teilchen, die sich tatsächlich im Zentrum 

der Falle befinden, natürlich von der Gesamtteilchenzahl abhängig ist.


Abbildung 5.2: Lineare und logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen bei 

T =3,0·10 −9 ,1,0·10 −8 ,4,0·10 −8 und 5,5·10 −8 Kelvin.


Abbildung 5.3: Lineare und logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 10000 Teilchen 

bei T =1,0·10 −8 ,4,0·10 −8 ,8,0·10 −8 und 1,0·10 −7 Kelvin.








5.4 Zeitliche Entwicklung eines Bose-Einstein Kondensats 

bei abgeschaltetem externen Potential 

Die Teilchendichte innerhalb der Falle wird gemessen, indem das Fallenpotential nach dem 

Kühlungsprozeß abgeschaltet wird. Dadurch kann sich die Atomwolke frei ausdehnen, das 

heißt, jedes Teilchen für sich kann, wenn man Wechselwirkungen ausschließt, als freies 

Teilchen betrachtet werden. Die Annahme eines freien Teilchens wird dadurch unterstützt, 

daß ein Feld von geringer Größe angelegt ist, daß der Gravitation entgegen wirkt, um eventuelle 

Störungen zu vermindern. Nach einer festgelegten Zeit wird mit einem Laserstrahl 

und einer hinter dem Kondensat angebrachten CCD-Kamera die Absorption der Wolke 

und damit die ortsabhängige Dichte bestimmt. Durch die hohe Energie, die dadurch auf die 

Atomwolke übertragen wird, wird das Bose-Einstein-Kondensat zerstört. Es kann also nur 

ein Bild pro Kühlungsprozeß aufgenommen werden. Um trotzdem eine Folge von Bildern 

zu erhalten, werden die Aufnahmen jeweils nach unterschiedlich langer Ausdehnungszeit 

aufgenommen. Das ist möglich, da die Anzahl Teilchen in der Falle und die genaue Größe 

des Potentials sehr gut reproduziert werden können. Weiterhin kann das Potential nach 

unterschiedlich weit fortgeschrittenem Kühlungsprozeß abgeschaltet werden. 

Genau dieses Verfahren soll im folgenden simuliert werden. Dazu wird die in der vorangegangenen 

Berechnung der Dichte benutzte Wellenfunktion (5.6) zeitentwickelt, wofür die 

ortsabhängige Wellenfunktion mit Hilfe einer Fouriertransformation in den Impulsraum 

überführt wird. Die Fouriertransformation ist mit r =(x, y, z) und p =(p x ,p y ,p z ) folgendermaßen 

definiert: 

∫ ∞ 

ψ nxn yn z 

(p) =(2π~) −3/2 dr ψ nxn yn z 

(r)e − ~ i pr (5.16) 

−∞ 

Mit dem Hamilton-Operator eines freien Teilchens, 

Ĥ = p2 

2m , (5.17) 

findet die Zeitentwicklung statt, und für die Wellenfunktion im Impulsraum zum Zeitpunkt 

t ergibt sich mit 

ψ nxn yn z 

(p, 0) = ψ nxn yn z 

(p), (5.18) 

ψ nxn yn z 

(p,t)=ψ nxn yn z 

(p, 0)e − i ~ Ĥt . (5.19) 

Anschließend wird ψ nxn yn z 

(p,t) mit Hilfe der inversen Fouriertransformation 

∫ ∞ 

ψ nxn yn z 

(r,t)=(2π~) −3/2 dp ψ nxn yn z 

(p,t)e ~ i pr (5.20) 

wieder in den Ortsraum transformiert. Daraus können dann analog zum vorherigen Abschnitt 

die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die Dichte berechnet werden, so daß die zu 

lösende Gleichung 

ρ(r,t)= 

∑ 

η rel (n x ,n y ,n z ) |ψ nxn yn z 

(r,t)| 2 (5.21) 

n x,n y,n z 

−∞

5.4 Zeitentwicklung eines Bose-Einstein Kondensats 73 

lautet. Dieses Verfahren kann in nahezu jedem Buch zur Quantenmechanik nachgelesen 

werden (siehe beispielsweise [51,89,111]), und man erhält ein quantenmechanisch auseinanderfließendes 

Wellenpaket. 

Auf die Eigenschaften der Fouriertransformation soll an dieser Stelle nicht eingegangen, 

sondern nur auf die dazugehörige Literatur verwiesen werden. Wie bereits erklärt wird die 

Wellenfunktion nur für eine begrenzte Anzahl von Funktionswerten berechnet. Es liegen 

also diskrete Daten vor. Das am weitesten verbreitete Verfahren zur Transformation solcher 

Werte ist die sogenannte “Fast Fourier Transformation” (FFT), die auch in dieser Arbeit 

angewendet wird. Der besonders schnelle Algorithmus setzt voraus, daß die Anzahl der 

Stützpunkte, an denen die Wellenfunktion berechnet werden soll, eine Zweierpotenz ist. In 

diesem Fall wird der Wert 8192 gewählt, der einen Kompromiß zwischen Genauigkeit und 

Rechenaufwand darstellt. 3 

Aufgrund der Begrenzung der Stützstellenzahl ist die Transformation nicht exakt und man 

erhält Störeffekte, die die zeitentwickelte Wellenfunktion und damit die Darstellung der 

Dichteverteilung verfälschen. Zu solchen Artefakten zählen bei den in Abbildung 5.6 und 

5.7 dargestellten Ergebnissen zum einen die “Ausfransung” der eigentlich glatten Plots und 

zum anderen die bei größeren Zeiten sehr stark werdenden Randeffekte. 

Verstärkend kommt hinzu, daß eine Transformation eigentlich nur dann durchgeführt werden 

kann, wenn die Funktion an den Rändern verschwindet. Da allerdings nur ein begrenzter 

Raumbereich berechnet werden kann, ist nicht gegeben, daß die Wellenfunktionen 

rechtzeitig gegen Null konvergieren, denn die Hermite-Polynome können am Rand des 

Oszillatorpotentials für höhere Zustände sehr groß werden. 

Eine begrenzte Verringerung dieser Effekte kann erzielt werden, indem ein weit größerer 

Raumbereich als der grafisch dargestellte fouriertransformiert wird. In dem hier vorgestellten 

Fall werden nur etwa 80% des berechneten Bereichs für die Auswertung übernommen. 

Das vorgestellte Verfahren zur Zeitentwicklung bedient sich einer weiteren Näherung, denn 

für eine exakte Rechnung muß die symmetrisierte Viel-Teilchen-Wellenfunktion propagiert 

werden. Für zwei Bosonen und zwei Zustände bedeutet das aber bereits, daß die Wellenfunktion 

zu 

Ψ(p 1 , p 2 )= 1 √ 

2 

(ψ 0 (p 1 ) ψ 1 (p 2 )+ψ 0 (p 2 ) ψ 1 (p 1 )) (5.22) 

wird und ebenfalls mit dem Hamilton-Operator für freie Teilchen zeitentwickelt werden 

muß. Da sich jedoch die Anfangswellenfunktion aus den Eigenfunktionen des harmonischen 

Oszillators zusammensetzt, ist diese Zeitentwicklung, insbesondere für viele Teilchen, 

äußerst zeitaufwendig und kompliziert. 

Tatsächlich zeigt sich, daß dieses exakte Verfahren nur für sehr kleine Teilchenzahlen 

durchführbar ist. Versuche dieser Art finden sich beispielsweise in einem Artikel von 

Papenbrock und Bertsch [99], die ebenfalls Simulationen für ein harmonisches Potential 

durchgeführt haben. In ihrem Ansatz ist die maximale Teilchenzahl N = 40, also weit unter 

dem tatsächlich in der TOP-Falle auftretenden Wert. 

3 Eine Einführung in die Programmierung und Funktionsweise der FFT kann [107] oder [61] entnommen 

werden. Genauer gehen jedoch Bücher über digitale Signalverarbeitung auf dieses Thema ein [40].


In Abbildung 5.6 und 5.7 ist die zeitliche Entwicklung eines freien Gases mit 2000 Teilchen 

bei 1,0·10 −8 und 4,0·10 −8 Kelvin dargestellt. Wie auch bei den vorherigen Bilderserien 

kann nur eine kleine Auswahl der tatsächlich erstellten Bilder abgedruckt werden, 

und für weitere Grafiken sei wiederum auf die CD-Rom, beziehungsweise die zugehörigen 

Animationen und den Anhang verwiesen. Die Zeit läuft von 1,0·10 −11 bis 1,0·10 −3 Sekunden, 

und die ausgewählten Bilder zeigen Momentaufnahmen bei t = 1,0·10 −11 , 2,0·10 −10 , 

9,0·10 −5 und 1,0·10 −3 Sekunden. 

Aufgrund der Annahme freier Teilchen und der Normierung der Dichte ist die zeitliche 

Entwicklung unabhängig von der Teilchenzahl, so daß die Ergebnisse für N=10000, 20000 

und 100000 äquivalent sind. Weiterhin unterscheiden sich die Serien für die beiden Temperaturen 

nur dadurch, daß sie durch die unterschiedlich hohen Startwerte für die Dichte im 

Zentrum auch entsprechend skalierte Zeitentwicklungen besitzen. Da die Höhe der Maxima 

allerdings nur von den Besetzungszahlen abhängt und die zeitentwickelten Wellenfunktionen 

identisch sind, muß sich auch die Zahl der Atome an einem bestimmten Ort gleichartig 

ändern. 

Die Grafiken zeigen deutlich, daß nach 1,0·10 −11 s noch keine Änderungen im Vergleich 

zu den Ergebnisse für t = 0 auszumachen sind. Erst ab etwa 1,0·10 −10 s beginnt der Peak 

abzusinken, und bereits nach 5,0·10 −10 s treten die ersten durch die Fouriertransformation 

verursachten Störungen in Form von Verfälschungen am Rand der betrachteten Ebene auf. 

Nach etwa 1,0·10 −5 s beginnt die “Ausfransung” der Funktionen stark zuzunehmen, und die 

Größe der Dichte im Zentrum kann nur noch qualitativ bestimmt werden. Eine Millisekunde 

nach dem Abschalten des Potentials ist die ursprüngliche Wolke nicht mehr erkennbar, 

denn die Grafiken zeigen nur noch numerisches Rauschen.

5.4 Zeitentwicklung eines Bose-Einstein Kondensats 75 

Abbildung 5.6: Lineare und logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung für 

2000 Teilchen bei T =1,0·10 −8 Kelvin und t=1,0·10 −11 ,2,0·10 −10 ,9,0·10 −5 und 1,0·10 −3 Sekunden.


Abbildung 5.7: Lineare und logarithmische Darstellung der zeitabhängigen Dichteverteilung für 

2000 Teilchen bei T =4,5·10 −8 Kelvin und t=1,0·10 −11 ,2,0·10 −10 ,9,0·10 −5 und 1,0·10 −3 Sekunden.

5.5 Vergleich mit dem Experiment 77 

5.5 Vergleich mit dem Experiment 

Nach Haugerud [59] und Balazs [9] läßt sich ein sehr dünnes Gas aus Alkaliatomen in einer 

harmonischen Falle oberhalb der kritischen Temperatur T c gut als ideales Gas nähern. 

Dementsprechend können die thermodynamischen Eigenschaften mit Hilfe einer quantenstatistischen 

Gesamtheit beschrieben werden. Die Simulation in diesem Kapitel zeigt in 

diesem Bereich eine zu erwartende gleichmäßige thermische Verteilung der Atome in der 

Falle, so daß die gute Vergleichsmöglichkeit mit dem Experiment bestätigt wird. 

Haugerud erklärt weiter, daß sich für die ursprünglich verwendete Frequenz des harmonischen 

Oszillatorpotentials von ω x = 2π · 120Hz nach Gleichung (2.76) eine Übergangstemperatur 

von 73,2nK ergibt, wenn man von 20000 Teilchen ausgeht. Für ω x = 2π · 208Hz 

steigt dieser Wert auf T c = 124,4nK, was zwar näher an der experimentell gemessenen 

Übergangstemperatur von 170nK liegt, allerdings immer noch einen großen Fehler aufweist. 

Bis heute existiert keine Theorie, die den experimentellen Wert genau vorhersagt. 

Für 20000 Teilchen entspricht das in Tabelle 5.2 angegebene Ergebnis der nach (2.76) 

vorhergesagten Temperatur. Der Versuch, die Differenz zwischen Theorie und Experiment 

durch eine Änderung der in die Berechnungen einbezogenen Teilchenzahl zu korrigieren, 

scheitert, da die nach Gleichung (2.76) nötige, tatsächliche Anzahl an Rubidiumatomen 

in der Falle bei etwa N = 50000 liegen müßte. Aufgrund der hochpräzisen Meßdaten, die 

von der TOP-Trap vorliegen, ist ein Fehler dieser Größenordnung jedoch nicht zu erwarten. 

Die Näherung eines idealen Gases ist also bereits an dieser Stelle nicht mehr gültig, da 

Wechselwirkungsprozesse zwischen den einzelnen Atomen eine Rolle zu spielen beginnen. 

Genaueres zur Beschreibung dieser Effekte kann Abschnitt 2.4 entnommen werden. 

Die Größe einer voll kondensierten Wolke wird durch die Reichweite des harmonischen 

Oszillatorpotentials (2.64) 

√ 

~ 

a ho = 

(5.23) 

mω ho 

bestimmt. Mit der Masse von 87 Rb und dem harmonischen Mittel der Frequenzen des Fallenpotentials 

ergibt sich ein Wert von 1,1µm, der unabhängig von der Teilchenzahl ist und 

gut mit der mittleren Breite der Dichtepeaks in den erstellten Bildern übereinstimmt. 

Tatsächlich ist eine experimentelle Wolke jedoch größer, da es immer zu Mehr-Körper- 

Stößen kommt und sich daher niemals alle Teilchen im Grundzustand befinden können. 

Weiterhin wirkt zwischen 87 Rb-Atomen eine abstoßende Kraft, die das Kondensat zusätzlich 

verbreitert. Diese Effekte können die Grundzustandsbesetzungszahl um ein Fünftel 

verringern und werden in den hier vorgestellten Simulationen nicht einbezogen (siehe Abschnitt 

2.4). 

Zusätzlich kommt hinzu, daß die Näherung eines 87 Rb-Atoms als ein aus Fermionen zusammengesetztes 

Boson nur für geringe Dichten gilt. Bei den hohen Dichten, die in einem 

Kondensat im Vergleich zu einer thermischen Verteilung eines dünnen Gases auftreten, 

muß diese Näherung überprüft werden. Sicher ist jedoch, daß die Viel-Teilchen- 

Wechselwirkungen hierdurch vergrößert werden. 

Eine Vergrößerung der Wolke bedeutet wiederum eine geringere Dichte im Zentrum der 

Falle und damit auch eine geringere kritische Temperatur T c . Die Dichte ρ kann nach [30]


um bis zu zwei Größenordnungen kleiner sein. Aufgrund der durch die Verdampfungskühlung 

ständig kleiner werdenden Teilchenzahl N bedeutet dies, daß sich zu Beginn der 

Kondensation weit mehr Teilchen in der Falle befinden als nach Beendigung des Kühlverfahrens, 

denn die gemessene kritische Temperatur liegt etwa 50nK über der für eine 

konstante Anzahl von Atomen berechneten. Um einen genauen Vergleich zwischen den 

berechneten und den gemessenen Werten anstellen zu können, muß also die Teilchenzahl 

für jede in die Rekursionsformel eingesetzte Temperatur entsprechend angepaßt werden. 

Aufgrund der Meßverfahren für die Teilchendichte existieren keine direkten Bilder eines 

Kondensats. Zwischen dem Abschalten des Magnetfeldes und der Absorptionsmessung 

mit dem Laserstrahl bleibt den Atomen eine bestimmte Zeit t,indersiesichfreiausbreiten 

können. Daher sind auch keine direkten Vergleiche der hier erstellten Diagramme für die 

Dichte im Zentrum einer Falle mit veröffentlichten Absorptionsbildern möglich. 

Diese Bilder zeigen eine Verteilung, die sich aus den ursprünglichen Geschwindigkeiten 

der einzelnen Atome ergibt. Ein sehr langsames Atom, daß sich vor dem Abschalten der 

Falle in deren Zentrum befindet, wird sich in einer festgelegten Zeit weniger weit von seinem 

ursprünglichen Ort entfernen als ein energiereiches, schnelles Teilchen. Aus diesem 

Grund werden die experimentellen Absorptionsbilder auch Geschwindigkeitsverteilung genannt. 

Ihre Äquivalenz zu Darstellungen der Dichte rührt daher, daß sich energiearme Teilchen 

im Vergleich zu energiereichen bevorzugt in der Mitte der Wolke aufhalten. Allerdings 

bedeutet eine höhere Dichte auch eine größere Wahrscheinlichkeit für Stöße mit anderen 

Atomen. Dadurch erhält eine bestimmte Zahl der Atome aus dem kondensierten Teil der 

Wolke die Energie anderer Teilchen, wodurch sich ihre Geschwindigkeit erhöht und sie 

nach genügend großer Zeit die äußeren, ursprünglich schnelleren Atome überholen. Das 

Kondensat muß durch diesen Effekt nicht zerstört werden, es bildet sich jedoch eine ringförmige 

Verteilung um das Zentrum der Falle [90]. 

Die Geschwindigkeit, die die Atome nach dem Abschalten des Potentials haben, hängt stark 

von der ursprünglichen Größe der Wolke ab. Nach [68] und [30] gilt, daß der Wolkendurchmesser 

umgekehrt proportional zur mittleren Initialgeschwindigkeit der freien Teilchen ist. 

Eine reale Wolke, die durch ihre interatomaren Wechselwirkungen vergrößert wird, fließt 

also langsamer auseinander als ein ideales Kondensat. 

Dieser Effekt zeigt sich auch bei der in diesem Kapitel durchgeführten Zeitentwicklung, 

denn sowohl die Position der Teilchen vor dem Abschalten des Potentials als auch die 

damit verbundene Energie bestimmt die zu zeitentwickelnde Wellenfunktion ψ nxn yn z 

(r,t). 

Sind nämlich die Besetzungszahlen für angeregte Zustände durch die oben beschriebenen 

Effekte größer, so haben die zu ihnen gehörenden Wellenfunktionen einen entsprechend 

höheren Einfluß auf die Dichteverteilung. Dadurch kommt es zu einer Vergrößerung der 

Atomwolke, und weiterhin ist der Einfluß der angeregten Zustände bei der Zeitentwicklung 

erhöht. 

Da dadurch die an den Rändern des Potentials liegenden Maxima der Hermite-Polynome 

höherer Ordnung keinen vernachlässigbar kleinen Effekt mehr ausüben, sind sie ebenfalls 

für die Dauer des vollständigen Auseinanderfließens des Gesamtwellenpakets interessant. 

Tatsächlich sinkt die Teilchendichte hierdurch um einige Größenordnungen langsamer als 

wenn nur das Grundzustandsniveau besetzt ist. 

Die bekannte Abbildung auf Seite 1 dieser Arbeit zeigt die Dichte in der TOP-Falle 200ms

5.5 Vergleich mit dem Experiment 79 

nach dem Abschalten des Magnetfeldes. Die räumliche Auflösung beträgt 200x270µm. 

Nach vollständiger Kondensation hat die Wolke hier noch einen Durchmesser in y- 

Richtung von etwas weniger als 100µm. Dieser Wert ist zwanzigmal größer als das in 

dieser Arbeit errechnete Ergebnis ohne Zeitentwicklung. 

Laut [68] entspricht die Breite 60ms nach der Abschaltung jedoch nur 15µm. Diese Zahl 

liegt bereits weitaus näher an den in dieser Arbeit simulierten Dichteverteilungen. Geht 

man weiterhin davon aus, daß die Ausdehnung der Wolke zu Beginn des Prozesses schneller 

ist als nach einer längeren Zeitspanne, zeigt sich, daß die in Abbildung 5.2 bis 5.5 gezeigten 

Bilder den experimentellen Ergebnissen ähnlicher sind als man bei einem direkten 

Vergleich der erstellten Bilder mit den aus den Experimenten bekannten Absorptionsaufnahmen 

erwarten könnte. 

Anders ist es bei der durchgeführten Zeitentwicklung. Ein deutliches Absinken der zentralen 

Dichte findet für den Zeitraum zwischen 1,0·10 −10 s und 1,0·10 −4 s statt, und nach einigen 

Millisekunden zeigen die Grafiken nur noch eine thermische Verteilung. Anzumerken 

ist, daß der berechnete Raumbereich um den Faktor zwanzig kleiner ist als der auf den Absorptionsbildern 

erkennbare. Es ist aber nicht zu erwarten, daß die Dichte bei Betrachtung 

eines größeren Bereichs eine wesentliche Änderung aufweist, denn die erzeugten Daten 

enthalten nach dieser Zeit nur noch numerisches Rauschen. Der Grund hierfür ist sicherlich 

zu einem geringen Teil in der nicht ausreichend genau durchgeführten Fouriertransformation 

zu finden. Die Störungen sind aber nicht so groß, daß eventuell noch vorhandene 

Schwankungen nicht mehr qualitativ zugeordnet werden könnten. Vielmehr entsprechen 

die errechneten Größen den Dichten, die zum Zeitpunkt t = 0 bei Temperaturen oberhalb 

von T c vorliegen. 

Der wichtigste Grund für diesen Effekt ist die Nichtbeachtung der Wechselwirkungen, denn 

für den Fall eines Bose-Einstein-Kondensats aus Alkali-Atomen darf nicht die Zeitentwicklung 

der Ein-Teilchen-Wellenfunktionen durchgeführt werden. Vielmehr muß die symmetrisierte 

Gesamtwellenfunktion des Kondensats propagiert werden, die durch die benannten 

Wechselwirkungen nicht separiert. 

Abschließend soll noch bemerkt werden, daß eine einfache Abschätzung der Stoßwahrscheinlichkeit 

über die durchschnittliche Dichte ρ avg und der Näherung eines Atoms als 

Kugel mit einem Durchmesser, der der s-Wellen-Streulänge a entspricht 4 , nicht ausreicht, 

um die Approximation eines realen Bose-Gases als ideales Gas zu überprüfen. Vielmehr 

müssen die kinetische- und die Wechselwirkungsenergie der Teilchen, die stark von den expliziten 

Eigenschaften des Experiments abhängen, betrachtet werden [30]. Da dafür die in 

Abschnitt 2.4 vorgestellten Verfahren angewendet werden müssen, soll diese Betrachtung 

in dieser Arbeit nicht stattfinden. 

4 Für 87 Rb wurde experimentell a = 5,77nm gefunden.

6 Zusammenfassung und Ausblick 

In dieser Arbeit wurde versucht, einen Einblick in das zur Zeit hochaktuelle Forschungsgebiet 

der Bose-Einstein-Kondensation in sehr dünnen Gasen aus Alkali-Atomen zu geben. 

Dazu wurden einige verbreitete theoretische Verfahren zur Beschreibung eines Systems aus 

nicht wechselwirkenden Bosonen erklärt und darauf aufbauend eine Einführung in die Besonderheiten 

realer Bose-Einstein-Kondensate gegeben. Für jedes dieser Kondensate muß 

überprüft werden, ob die interatomaren Wechselwirkungen tatsächlich vernachlässigt werden 

können oder einen entscheidenden Einfluß auf die thermodynamischen Eigenschaften 

ausüben. 

Im Anschluß erfolgte eine Erklärung einer neuen Formel zur rekursiven Berechnung der 

kanonischen Besetzungszahlen. Mit Hilfe dieser Formel können sämtliche thermodynamischen 

Größen idealer Bose-Gase innerhalb des kanonischen Ensembles bestimmt werden. 

Am Beispiel von flüssigem Helium in verschiedenen harten Potentialen wurde die Gültigkeit 

der Rekursion verdeutlicht, und die Ergebnisse ermöglichen es, Rückschlüsse auf für 

Atomfallen besonders gut geeignete Formen zu ziehen. 

Eine ausführliche Darstellung der aktuellen experimentellen Situation dieses Themas hat 

es schwer, mit der Geschwindigkeit der Weiterentwicklungen und ständig steigenden Zahl 

der Veröffentlichungen Schritt zu halten. 1 Aus diesem Grund beschränkte sich Kapitel 4 

hauptsächlich auf die ersten drei erfolgreichen Experimente zur Erzeugung eines Bose- 

Einstein-Kondensats und die dazu notwendigen experimentellen Grundlagen. Da sich bei 

den neuesten Erfolgen an den grundsätzlichen Techniken nichts geändert hat, sondern nur 

Verbesserungen im Detail stattfanden, um die Anzahl der Teilchen in einem Kondensat und 

seine Lebensdauer zu erhöhen, können die hier vorgestellten Grundlagen leicht übertragen 

werden. 

Da es sich bei der TOP-Falle um die bekannteste und am meisten studierte Atomfalle handelt, 

bietet sie sich für eine Simulation an, denn aufgrund der genauen Daten ist es am 

besten möglich, die Ergebnisse mit dem Experiment zu vergleichen. Daher wurden ihre 

Eigenschaften genutzt, um die Gültigkeit und Anwendbarkeit der Rekursionsformel für ein 

reales System aus wechselwirkenden 87 Rb-Atomen zu überprüfen. 

Das Ergebnis dieser Simulation ist, daß die Dichte im Zentrum der Falle zur Zeit der vollständigen 

Kondensation sehr gut ermittelt werden kann. Aufgrund indirekter Meßmethoden 

zur Bestimmung der Dichte einer experimentell hergestellten Wolke, konnten diese 

Betrachtungen ebenfalls nur indirekt angestellt werden. Trotzdem ist eine gute Übereinstimmung 

festzustellen gewesen. 

1 Die aktuellste Artikel-Sammlung findet sich im World Wide Web unter 

http://amo.phy.gasou.edu/bec.html/bibliography.html. 

81

82 Kapitel 6. Zusammenfassung und Ausblick 

Die ermittelte kritische Temperatur lag unterhalb des experimentellen Wertes. Allerdings 

verwundert dieses Ergebnis nicht, da eine kanonische Beschreibung die Eigenschaften der 

Atome in der TOP-Falle zwar besser trifft als eine großkanonische, bisher aber keine Theorie 

existiert, die den Übergangspunkt genau vorhersagt. 

Die Zeitentwicklung eines freien Bose-Einstein-Kondensats mit Hilfe einer Beschreibung 

als quantenmechanisch auseinanderfließendes Wellenpaket verdeutlichte die Wichtigkeit 

der vorhandenen Wechselwirkungen, denn die Näherung als ideales Gas ermöglichte die 

Separation der Gesamtwellenfunktion in Ein-Teilchen-Wellenfunktionen. Diese Vereinfachung 

verursachte ein weitaus schnelleres Auseinanderdriften einer kondensierten Atomwolke 

als es der Realität entspricht. 

Zusammengefaßt läßt sich aus den hier vorgestellten Ergebnissen der Schluß ziehen, daß 

die Rekursionsformel gut geeignet ist, um ideale Gase in unterschiedlichen Potentialen 

zu beschreiben, um hieraus beispielsweise Optimierungen zukünftiger Fallentypen zu entwickeln, 

da das grundsätzliche Verhalten von Atomen in einer Falle gut beschrieben werden 

kann. 

Die nicht in die Betrachtungen mit einbezogenen Wechselwirkungen verursachten jedoch 

eine Verschiebung der explizit berechneten Größen, also beispielsweise der kritischen Temperatur 

T c , der spezifischen Wärme C V oder der ortsabhängigen Teilchendichte ρ(r). 

Zur genaueren Bestimmung dieser Werte sollte dementsprechend ein zusätzlicher Wechselwirkungsterm 

in die Rekursionsformel eingefügt werden, der abhängig von der Temperatur, 

der Energie eines Zustands und den Eigenschaften der betrachteten Atome ist. Es muß 

also ein Faktor eingeführt werden, der beschreibt, ob es sich um anziehende oder abstoßende 

Teilchen handelt. Weiterhin sollte der Einfluß dieser Korrekturfunktion davon abhängig 

sein, ob sich bereits Teilchen in dem jeweiligen Zustand befinden. 

Für eine weitere Verbesserung des Verfahrens wäre es vorteilhaft, daß die Rekursion die 

Besetzungszahlen für eine feste Temperatur β liefert. Dadurch ist es möglich durch den 

Kühlprozeß verursachte Veränderungen der Teilchenzahl N mit experimentellen Daten anzupassen, 

also eine Funktion N(β) anzusetzen. 

Eine mögliche neue Rekursionsformel würde also mit einem Wechselwirkungsterm f und 

der Kopplungskonstante g wie folgt aussehen: 

η i (N(β)+1,β)= 

Z N(β)(β) 

Z N(β)+1 (β) e−βɛ i 

(η i (N(β),β)+1)f (η i (N(β),β),ɛ i ,g) (6.1) 

Die Wechselwirkungsterme sollten auch in die Berechnung der Wellenfunktionen eingebunden 

werden. Das heißt, daß nicht mehr die Schrödinger-, sondern die in Abschnitt 2.4 

vorgestellte Gross-Pitaevskii-Gleichung (2.75) gelöst werden muß. Hierzu existieren bereits 

erfolgreich umgesetzte numerische Lösungsverfahren [35]. Da der nötige numerische 

Aufwand jedoch bereits relativ groß ist, könnte als erster Schritt auch überprüft werden, 

wie gut sich die tatsächlichen Eigenschaften eines kondensierenden Gases mit einer modifizierten 

Rekursionsformel nähern lassen. 

Die Simulation der Wolke nach dem Abschalten des Fallenpotentials ist aufwendiger, 

da hier sicherlich die Viel-Teilchen-Wellenfunktion als Lösung der Gross-Pitaevskii- 

Gleichung verwendet werden muß. Allerdings ist die Berechnung der Zeitentwicklung

83 

nach dem Abschalten der Falle sehr wichtig für einen direkten Vergleich mit den experimentellen 

Daten. 

Sollte es möglich sein, die angegebenen Vorschläge umzusetzen, wäre das Ergebnis ein 

Verfahren, mit dem neue Experimente bereits vor dem Aufbau überprüft und somit optimiert 

werden könnten. Durch Variation der Form des als Grundlage der Simulation dienenden 

angesetzten Potentials könnte dann eine Falle entwickelt werden, die genau spezifizierte 

Eigenschaften besäße. Dadurch könnten Zeit und Kosten bei der bisher größtenteils 

empirisch durchgeführten Weiterentwicklung der Atomfallen eingespart werden.

Anhang

A 

Lösung 

der Schrödinger-Gleichung 

für verschiedene Potentiale 

Im folgenden wird die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung für verschiedene Potentiale 

in jeweils angepaßten Koordinaten gelöst. Die hier erhaltenen Energieeigenwerte wurden 

für die Berechnungen in Abschnitt 3.2 benutzt. Es werden jeweils die Wellenfunktion 

ψ und die Energieeigenwerte E für ein Teilchen mit der Masse m angegeben. Soll tiefer 

in die Details eingestiegen werden, so sei auf die Standardliteratur der Quantenmechanik 

verwiesen (z.B. [19, 89, 111]). 

Während der Ansatzpunkt dieser Arbeit das Verhalten eines Teilchengases in einer Falle, 

beziehungsweise einem dreidimensionalen Potential ist, wurden ähnliche Ansätze bereits 

in der Kernphysik gemacht, um beispielsweise die Form eines Atomkerns als hartes Kugelpotential 

zu nähern [63]. 

Im Anschluß an die analytische Berechnung der Eigenwerte sind die niedrigsten fünf Energien, 

sowie deren Entartung, für flüssiges Helium mit der Masse m = 4u und der Dichte 

ρ = 0, 0216Å −3 angegeben. 

Das Volumen V eines hier berechneten Körpers ist eindeutig durch die Dichte und die Teilchenzahl 

N bestimmt, so daß daraus in Abhängigkeit der Form der Potentiale Durchmesser, 

Höhen oder Kantenlängen bestimmt werden können. 

Für die Box und die Zylinder werden die Rechnungen jeweils für verschiedene geometrische 

Verhältnisse durchgeführt. Bei der Box wird grundsätzlich von einer quadratischen 

Grundfläche (L x = L y ) mit Kantenlänge a und Höhe L ausgegangen. Ähnliches gilt für 

den Zylinder, dem statt einer Kantenlänge ein Durchmesser d zugewiesen wird. Der Hohlzylinder 

und die Hohlkugel erhalten den zusätzlichen Parameter λ, der das Verhältnis aus 

Außen- und Innenradius angibt. 

Die Berechnungen wurden für verschiedene Teilchenzahlen und Größenverhältnisse durchgeführt 

und da die Entartung unabhängig von der Teilchenzahl ist, wird sie nur einmal pro 

Tabelle abgedruckt. 

Weiterhin entsprechen die Parameter für die in den Tabellen angegebenen Werte denen aus 

Kapitel 3.3. 

A.1 Harmonischer Oszillator 

Das Potential des dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist wohl das in der Praxis am 

häufigsten vorkommende, da es keine harten, sondern elastische Randbedingungen bietet. 

Die Lösung des Problems verläuft analog zum eindimensionalen Oszillator und soll hier 

nur kurz skizziert werden. 

87

88 Anhang A. Dreidimensionale Potentiale 

Wir betrachten die Bewegung eines Teilchens mit der Masse m in einem Potential, das in 

kartesischen Koordinaten die Form 

V (x, y, z) = 1 2 m ( ω 2 x x2 + ω 2 y y2 + ω 2 z z2) 

(A.1) 

hat. Der Hamilton-Operator setzt sich aus drei Teilen zusammen, die jeweils einen eindimensionalen 

Oszillator beschreiben: 

H = p2 x + p2 y + p2 z 

+ V (x, y, z) (A.2) 

2m 

Zur Lösung der Eigenwertgleichung 

Hψ(x, y, z) =Eψ(x, y, z) 

(A.3) 

wird ein Separationsansatz verwendet, so daß sich für die Wellenfunktion 

ψ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z) 

(A.4) 

ergibt. Durch Einsetzen in die Eigenwertgleichung und Division durch ψ(x, y, z) erhält 

man 

1 

X(x) H xX(x)+ 1 

Y (y) H yY (y)+ 1 

Z(z) H zZ(z) =E. 

(A.5) 

Diese Gleichung besteht aus drei Teilen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen. 

Daher kann sie nur erfüllt werden, wenn jeder Term für sich konstant ist. Es bleiben also 

drei unabhängige Teile der Eigenwertgleichung übrig, 

H x X(x) =ε x X(x) 

(A.6) 

H y Y (y) =ε y Y (y) 

(A.7) 

H z Z(z) =(E − ε x − ε y )Z(z), 

(A.8) 

deren Lösungen zu den gesuchten Eigenfunktionen führen. 

( mωx 

) 1/4 exp ( − mωx 

X nx (x) = 

x2) (√ ) 

2~ mωx 

√ H 

~π 2 

n nx xnx ! 

~ x (A.9) 

Bei H nx (γ) handelt es sich um die Hermite-Polynome, die folgendermaßen definiert sind: 

H nx (γ) =(−1) nx exp(γ 2 ) dnx 

dγ nx exp(−γ2 ) 

(A.10) 

Die Eigenfunktionen und Hermite-Polynome für den y- und z-Anteil folgen analog. Damit 

erhält man für die Gesamtwellenfunktion 

ψ nxn yn z 

(x, y, z) =X nx (x)Y ny (y)Z nz (z) 

(A.11) 

und die Energieeigenwerte ergeben sich zu 

( 

E nxn yn z 

= ~ 

(ω x n x + 1 ) ( 

+ ω y n y + 1 ) ( 

+ ω z n z + 1 )) 

. (A.12) 

2 

2 

2 

Von nur einer Quantenzahl N hängen dagegen die Eigenwerte des isotropen, dreidimensionalen 

Oszillators ab. Für diesen gilt ω = ω x = ω y = ω z und man erhält mit 

N = n x + n y + n z 

( 

E N = ~ω N + 3 ) 

. (A.13) 

2 

Die Entartung der Energieeigenwerte ist σ N =(N +1)(N +2)/2.

A.2 Box 89 

A.2 Box 

Das Potential hat die Form einer Box mit den Kantenlängen L x , L y , L z , verschwindet innerhalb 

dieses Bereichs und ist außerhalb unendlich. Der Ursprung des Koordinatensystems 

befindet sich in einer Ecke des Kastens. 

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in kartesischen Koordinaten lautet 

( ) 

− ~2 ∂ 

2 

2m ∂x + ∂2 

2 ∂y + ∂2 

ψ(x, y, z) =Eψ(x, y, z). (A.14) 

2 ∂z 2 

Die Wellenfunktion muß an den Wänden und dahinter verschwinden. 

ψ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z) 

(A.15) 

Für den Anteil in x-Richtung findet man für 0 ≤ x ≤ L x 

− ~ d 2 X(x) 

= E 

2m dx 2 x X(x). (A.16) 

Durch die Randbedingungen ist X(x) Null für x ≤ 0,x≥ L x . Aus dem eindimensionalen 

Problem ist bekannt, daß die erlaubten Werte der x-Komponente von E durch 

E nx = ~2 

2m 

π 2 n 2 x 

, n 

L 2 x =1, 2, 3,... (A.17) 

x 

gegeben sind. Die normalisierte Eigenfunktion wird durch stehende Wellen dargestellt: 

( ) 

2 nx π 

X nx (x) =√ 

sin x 

(A.18) 

L x L x 

Für den Y (y)- und den Z(z) - Anteil sind die Lösungen analog. Die Gesamtwellenfunktion 

ist also das Produkt der Einzellösungen und lautet mit V = L x L y L z 

√ ( ) ( ) ( ) 

8 

ψ nxn yn z 

(x, y, z) = 

V sin nx π ny π nz π 

x sin y sin z . (A.19) 

L x L y L z 

Für die Energieeigenwerte müssen die einzelnen Funktionen addiert werden, so daß 

gilt. 

E = E x + E y + E z 

( 

E nxn yn z 

= ~2 π 2 n 

2 

x 

+ n2 y 

2m L 2 x L 2 y 

) 

+ n2 z 

L 2 z 

a : L =1:4 

N=100 N=1000 N=10000 

E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] E [eV] ∆E [eV] σ n 

1,121243 1,121243 0,241564 0,241564 0,052043 0,052043 1 

1,223174 0,101931 0,263525 0,021961 0,056774 0,004731 1 

1,393060 0,169886 0,300125 0,036600 0,064660 0,007885 1 

1,630899 0,237839 0,351366 0,051241 0,075699 0,011039 1 

1,936693 0,305794 0,417247 0,065881 0,089893 0,014194 1 

(A.20)


a : L =4:1 

N=100 N=1000 N=10000 


1,541103 1,541103 0,332020 0,332020 0,071531 0,071531 1 

1,797954 0,256851 0,387357 0,055337 0,083453 0,011922 2 

2,054804 0,256850 0,442694 0,055337 0,095375 0,011922 1 

2,226038 0,171234 0,479585 0,036891 0,103323 0,007948 2 

2,482889 0,256851 0,534922 0,055337 0,115245 0,011922 2 

A.2.1 

Spezialfall Würfel 

Für den Spezialfall eines Kastens mit gleichen Kantenlängen lauten die Energieeigenwerte 

π 2 

E n = ~2 

2m L 2 n2 , n 2 = n 2 x + n2 y + n2 z . (A.21) 

Im Grundzustand gelten n x = n y = n z =1und n 2 =3.Darausergibtsichfürdenersten 

Eigenwert 

E 0 = 3~2 π 2 

2m L . 2 

(A.22) 

Für den ersten angeregten Zustand gilt bereits E =2E 0 .Esistn 2 =6und der Zustand 

ist bereits dreifach entartet. Es ist möglich, über drei verschiedene Kombinationen der 

n x ,n y ,n z zu diesem Wert zu gelangen. 

a : L =1:1 

N=100 N=1000 N=10000 


0,647222 0,647222 0,139439 0,139440 0,030041 0,030041 1 

1,294445 0,647223 0,278879 0,139440 0,060082 0,030041 3 

1,941668 0,647223 0,418319 0,139440 0,090124 0,030042 3 

2,373150 0,431482 0,511279 0,092960 0,110151 0,020027 3 

2,588891 0,215741 0,557759 0,046480 0,120165 0,010014 1 

A.3 Harte Kugel 

Das Potential soll innerhalb einer Kugel mit Radius a verschwinden und außerhalb unendlich 

groß sein. Für die Lösung des Problems ist es vorteilhaft, die Schrödinger-Gleichung

A.3 Harte Kugel 91 

in Kugelkoordinaten zu lösen. 

Hψ(r, ϑ, ϕ) = 

(− ~2 

2m ∆+V (r) ) 

ψ(r, ϑ, ϕ) =Eψ(r, ϑ, ϕ) 

(A.23) 

∆ψ(r, ϑ, ϕ) = 1 r ∂ r(r 2 ∂ 2 r ψ(r, ϑ, ϕ)) 

+ 1 

r 2 sin ϑ ∂ 1 

ϑ(sin ϑ∂ ϑ ψ(r, ϑ, ϕ)) + 

r 2 sin 2 ϑ ∂ ϑϑψ(r, ϑ, ϕ) (A.24) 

Die Separation der Differentialgleichung führt zu einem Radial- und einem Winkelanteil. 

ψ(r, ϑ, ϕ) =R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ) =R(r)Y m 

l (ϑ, ϕ) (A.25) 

Daher ergibt sich mit ε =2mE/~ 2 und u(r) =rR für den Radialanteil 

( 

− ε − 1 ( ( ))) 

1 1 

r 2 sin ϑ Θ(ϑ) ∂ 1 

ϑ(sin ϑ∂ ϑ Θ(ϑ)) + 

Φ(ϕ)sinϑ ∂ ϑϑΦ(ϕ) u(r) =∂ rr u(r) 

(A.26) 

Mit l(l +1)für den von r unabhängigen Teil ergibt sich 

( ) 

l(l +1) 

− ε − u(r) =∂ 

r 2 rr u(r). 

(A.27) 

Die Lösung des Radialanteils lautet dann nach [50] 

√ 

u(r) =c 1 rJl+ 1 (r √ √ 

ε)+c 2 rNl+ 1 (r √ ε), (A.28) 

2 

2 

wobei J l+ 

1 und N 

2 l+ 

1 die halbzahligen Besselfunktionen der ersten und zweiten Art sind. 

2 

Einsetzen der Nebenbedingung u(0) = 0 erzwingt, daß c 2 verschwinden muß, da N l+ 

1 (0) 

2 

gegen unendlich strebt, und wir erhalten 

Die Normierung für den Radialanteil lautet 

√ 

u(r) =c 1 rJl+ 1 (r √ ε). (A.29) 

2 

∫ a 

0 

dr r 2 |R| 2 =1 

(A.30) 

und wird mit der obigen Definition von u(r) zu 

∫ a 

0 

dr |u(r)| 2 =1. 

(A.31) 

Auflösen nach c 1 , 

∫ a 

dr rJ 2 (r √ ε)= 1 (A.32) 

l+ 1 2 

0 

c 2 1 

√ 

2 

c 1 = 

(a √ ε) , (A.33) 

aJ l+ 

3 

2


liefert die Lösung für den Radialanteil: 

√ 

2r 

u(r) = 

aJ l+ 

3 (a √ ε) J l+ 1 (r √ ε) (A.34) 

2 

2 

Damit die Randbedingung u(a) =0erfüllt ist, muß also der Faktor a √ ε den Nullstellen der 

Besselfunktionen Z (l+ 

1 

)n entsprechen. Die Energieeigenwerte berechnen sich daher nach 

2 

Z (l+ 

1 

2 )n = a√ ε 

( 

Z(l+ 1 

2 

ε = 

)n 

a 

E nl = ~2 

2ma 2 Z2 (l+ 1 )n. 

(A.35) 

2 

Die Entartung ist σ nl =2n +1. Der Winkelanteil (nach [111]) ergibt sich zu 

( 1 

− 

sinϑ ∂ ϑ(sin ϑ∂ ϑ )+ 1 ) 

sin 2 ϑ ∂ ϕϕ Yl 

m = l(l +1)Yl m , (A.36) 

mit l =0, 1,..., m = −l,... ,lund −i∂ ϕ Y m 

l 

) 2 

= mYl 

m . Man erhält damit 

√ 

Yl 

m (ϑ, ϕ) =(−1) n 2l +1(l − m)! 

4 (l + m)! P l m (cos ϑ)e imϕ , (A.37) 

wobei es sich bei Pl 

m um die Legendre-Polynome handelt. Die Wellenfunktion wird durch 

Einsetzen der einzelnen Anteile 

√ 

ψ nlm (r, ϑ, ϕ) =r 

2r 

aJ l+ 

3 (a √ ε) J l+ 1 2 

2 

(r √ ε)(−1) n √ 

N=100 N=1000 N=10000 

2l +1(l − m)! 

4 (l + m)! P l m (cos ϑ)e imϕ . 

(A.38) 


0,560606 0,560606 0,120779 0,120779 0,026021 0,026021 1 

1,146860 0,586253 0,247083 0,126305 0,053232 0,027211 3 

1,886796 0,739936 0,406498 0,159415 0,087577 0,034345 5 

2,242427 0,355631 0,483116 0,076618 0,104084 0,016507 1 

2,773677 0,531250 0,597570 0,114454 0,128742 0,024658 7 

A.4 Harte Hohlkugel 

Das Potential einer Hohlkugel soll nur für Radien zwischen a 1 und a 2 , mit a 1

A.4 Harte Hohlkugel 93 

u(a 1 )=0und u(a 2 )=0gelten. Der Winkelanteil lautet wie im vorherigen Abschnitt und 

die Lösung des Radialanteils ist gegeben durch (A.28). Durch die veränderte erste Randbedingung 

muß der zweite Teil dieser Gleichung bei der Hohlkugel nicht verschwinden, 

sodaß sich durch Einsetzen von u(a 1 )=0 

ergibt. Für u(r) folgt damit 

u(r) =c 1 

√ r 

(J l+ 

1 

2 

√ 

J l+ 

1 (a 1 ε) 

2 

c 2 = −c 1 

N l+ 

1 

2 

(r √ ε) − J √ 

l+ 1 (a 1 ε) 

2 

(a 1 

√ ε) 

(A.39) 

N l+ 

1 

2 

(a 1 

√ ε) 

N l+ 

1 

2 

) 

(r √ ε) . (A.40) 

Die zweite Randbedingung u(a 2 )=0führt zu einer transzendenten Gleichung, die sich 

numerisch lösen läßt: 

J l+ 

1 

2 

(a 2 

√ ε)Nl+ 1 

2 

(a 1 

√ ε) − Jl+ 1 

2 

Eine Vereinfachung stellt die Substitution λ = a 1 /a 2 dar, wenn 

√ √ 

(a 1 ε)Nl+ 1 (a 2 ε)=0 (A.41) 

2 

X (l+ 

1 

2 )n = a √ 

2 ε 

die Lösungen der transzendenten Gleichung sind, die damit wie folgt aussieht: 

(A.42) 

J l+ 

1 (X 

2 (l+ 

1 

)n)N l+ 1 (λX 

2 2 (l+ 

1 

)n) − J l+ 1 (λX 

2 2 (l+ 

1 

)n)N l+ 1 (X 

2 2 (l+ 

1 

)n) =0 (A.43) 

2 

Die Energieeigenwerte ergeben sich analog zu (A.35) zu 

E nl = ~2 

X 2 

2ma 2 (l+ 1 )n. 2 

2 

(A.44) 

Für die Wellenfunktion ist es nötig, c 1 zu finden, indem u(r) normiert wird. Dazu ist die 

Gleichung 

c 2 2 

∫ a 2 

a 1 

dr r 

⎛ 

⎝J l+ 

1 

2 

( 

r X ) 

(l+ 1 2 )n 

− 

a 2 

J l+ 

1 

2 

N l+ 

1 

2 

( 

) 

λX (l+ 

1 

2 )n 

( )N l+ 

1 

2 

λX (l+ 

1 

2 )n 

( 

r X (l+ 1 2 )n 

a 2 

zu lösen. Dieses wird erschwert, da sie von der Variablen λ abhängt. 

) ⎞ ⎠ 

2 

=1 (A.45) 

λ = 0,75 

N=100 N=1000 N=10000 


8,969709 8,969709 1.932465 1,932465 0,416337 0,416337 1 

9,119279 0,149570 1.964689 0,032224 0,423279 0,006942 3 

9,418366 0,299087 2.029125 0,064436 0,437161 0,013882 5 

9,866863 0,448497 2.125751 0,096626 0,457979 0,020818 7 

10,464609 0,597746 2.254531 0,128780 0,485724 0,027745 9


λ = 0,9 

N=100 N=1000 N=10000 


56,060683 56,060683 12,077908 12,077908 2.602106 2,602106 1 

56,186696 0,126013 12,105056 0,027148 2.607955 0,005849 3 

56,438719 0,252023 12,159353 0,054296 2.619653 0,011698 5 

56,816753 0,378034 12,240798 0,081445 2.637200 0,017547 7 

57,320794 0,504041 12,349391 0.010859 2.660595 0,023395 9 

A.5 Zylinder 

Ein Zylinder mit der Länge L und dem Radius a soll in diesem Abschnitt betrachtet werden. 

Das Potential V (r, ϕ, z) soll Null sein für r

A.5 Zylinder 95 

Damit das Potential eindeutig wird (nach [72]), muß l =0, 1, 2,... ganzzahlig sein. 

Der Radialanteil sieht folgendermaßen aus: 

1 

r ∂ rr∂ r u(r)+u(r) 

Nach [50] wird diese Differentialgleichung gelöst durch 

(c 1 − l2 

r 2 ) 

=0 (A.57) 

u(r) =C 1 J l ( √ c 1 r)+C 2 N l ( √ c 1 r). 

(A.58) 

Bei J l und N l handelt es sich wie bei der Kugel um die Besselfunktionen erster Art und die 

von-Neumann Funktionen. Da die von-Neumann Funktionen an der Stelle Null divergieren, 

muß C 2 =0sein, wenn u(r) endlich sein soll. Weiterhin muß u(a) =0als Randbedingung 

gelten. Also ist 

J l ( √ c 1 a)=0 

(A.59) 

und die n Nullstellen der Besselfunktionen sind gegeben durch 

Die Konstante C 1 wird durch die Normierung bestimmt: 

Z ln = √ c 1 a n =1, 2, 3,... . (A.60) 

C 1 = 

C 2 1 

∫ a 

0 

dr rJ 2 l ( √ c 1 r)=1 

√ 

2 

aJ l+1 (a √ c 1 ) = √ 

2 

aJ l+1 (Z ln ) 

(A.61) 

(A.62) 

Damit ergibt sich die Lösung für u(r) zu 

Wir wissen, daß 

u(r) = 

√ 

2 

( 

aJ l+1 (Z ln ) J l 

Z ln 

r 

a 

) 

. (A.63) 

kπ 

L = √ 

2mE 

~ 2 − c 1 (A.64) 

ist und erhalten durch Auflösen nach der Energie und Einsetzen der Beziehung (A.60) die 

gesuchten Eigenwerte 

( ( ) ) 

E nlk = ~2 Zln 

2 2 kπ 

2m a + , (A.65) 

2 L 

mit n =1, 2, 3, ..., l =1, 2, 3, ..., k = ..., −1, 0, 1, .... Die Wellenfunktion ψ(r, ϑ, z) setzt 

sich aus den einzelnen berechneten Anteilen zusammen zu 

2 

( 

ψ nlk (r, ϑ, z) = 

a √ LJ l+1 (Z ln ) J r 

) 

l Z ln e ±ilϕ sin kπ a 

L z. (A.66)


d : L =1:1 

N=100 N=1000 N=10000 


0,614097 0,614097 0,132303 0,132303 0,028503 0,028503 1 

1,165050 0,550953 0,251002 0,118699 0,054076 0,025573 1 

1,276441 0,111391 0,275001 0,023999 0,059247 0,005171 2 

1,827393 0,550952 0,393700 0,118699 0,084820 0,025573 2 

2,083303 0,255909 0,448834 0,055134 0,096698 0,011878 1 

d : L =1:4 

N=100 N=1000 N=10000 


1,113582 1,113582 0,239914 0,239914 0,051687 0,051687 1 

1,200351 0,086769 0,258607 0,018693 0,055715 0,004028 1 

1,344967 0,144616 0,289764 0,031157 0,062427 0,006712 1 

1,547429 0,202462 0,333383 0,043619 0,071825 0,009398 1 

1,807738 0,260309 0,389465 0,056082 0,083907 0,012082 1 

d : L =4:1 

N=100 N=1000 N=10000 


1,336932 1,336932 0,288033 0,288033 0,062054 0,062054 1 

1,599783 0,262851 0,344662 0,056629 0,074255 0,012201 2 

1,945159 0,345376 0,419071 0,074409 0,090286 0,016030 2 

2,066166 0,121007 0,445141 0,026070 0,095902 0,005616 1 

2,368492 0,302326 0,510276 0,065135 0,109935 0,014033 2 

A.6 Zylinder mit periodischen Randbedingungen 

Bei diesem Zylinder strebt das Potential für zLnicht gegen unendlich, sondern 

geht ineinander über, das heißt die z-Komponente der Wellenfunktion ist bei w(z) =0 

identisch mit w(z) =L. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung erfolgt analog zu Abschnitt 

A.5 und ändert sich nur für den z-Anteil. Gesucht ist also eine Lösung für (A.48) 

mit den neuen Randbedingungen. Da nur noch eine Randbedingung zur Verfügung steht, 

lautet eine mögliche Lösung 

w(z) =Ae ±√ ε−c 1 z . 

(A.67)

A.6 Zylinder mit periodischen Randbedingungen 97 

Einsetzen von z =0und z = L ergibt 

w(0) = A 

w(L) =Ae ±√ ε−c 1 L 

(A.68) 

(A.69) 

Die Ergebnisse für w(0) und w(L) können nur gleich sein, wenn die Exponentialfunktion 

in Gleichung (A.69) eins wird. Dies ist der Fall, wenn der Exponent ein ganzzahliges 

Vielfaches von 2πi ist. Das bedeutet, daß die Wurzel mit k =0, 1, 2,... durch 2πk/L 

ausgedrückt werden kann. Man erhält also 

und aus der Normierungsbedingung folgt 

2πk 

±i 

w(z) =Ae L z (A.70) 

w(z) = √ 1 2πk 

±i 

e L z (A.71) 

L 

Analog zu den Rechnungen zum einfachen Zylinder wissen wir, daß 

2πk 

L 

= √ 

2mE 

~ 2 − c 1 (A.72) 

ist. Durch Auflösen nach der Energie und einsetzen der Beziehung (A.60) ergeben sich die 

Energieeigenwerte des Zylinders mit periodischen Randbedingungen zu 

und man erhält für die Wellenfunktion 

ψ nlk (r, ϑ, z) = 

( ( ) ) 

E nlk = ~2 Zln 

2 2 2πk 

2m a + 2 L 

1 

( 

a √ LJ l+1 (Z ln ) J r 

) 

l Z ln 

a 

(A.73) 

e ±ilϕ e ± i2πk 

L z . (A.74) 

d : L =1:1 

N=100 N=1000 N=10000 


0,797748 0,797748 0,171869 0,171869 0,037028 0,037028 1 

1,460092 0,662344 0,314567 0,142698 0,067771 0,030743 2 

1,899652 0,439560 0,409267 0,094700 0,088174 0,020403 1 

2,330385 0,430733 0,502066 0,092799 0,108166 0,019992 2 

2,561996 0,231611 0,551965 0,049899 0,118917 0,010751 2


d : L =1:4 

N=100 N=1000 N=10000 


1,142505 1,142505 0,246145 0,246145 0,053030 0,053030 1 

1,316044 0,173539 0,283533 0,037388 0,061085 0,008055 1 

1,605276 0,289232 0,345846 0,062313 0,074510 0,013425 1 

2,010200 0,404924 0,433084 0,087238 0,093305 0,018795 1 

2,530817 0,520617 0,545248 0,112163 0,117470 0,024165 1 

d : L =4:1 

N=100 N=1000 N=10000 


2,503041 2,503041 0,539263 0,539263 0,116180 0,116180 1 

2,765892 0,262851 0,595893 0,056630 0,128381 0,012201 2 

3,111268 0,345376 0,670302 0,074409 0,144412 0,016031 2 

3,232275 0,121007 0,696372 0,026070 0,150028 0,005616 1 

3,534601 0,302326 0,761506 0,065134 0,164061 0,014033 2 

A.7 Hohlzylinder 

Der Hohlzylinder stellt ein Potential dar, das sich von dem des einfachen Zylinders nur 

dadurch unterscheidet, daß es nur für Radien, die nicht kleiner als der innere Radius a 1 

oder größer als der äußere Radius a 2 sind, nicht unendlich ist. Die z− und ϕ−Anteile 

der Wellenfunktion können aus dem vorherigen Abschnitt übernommen werden, sodaß nur 

noch der Radialanteil betrachtet werden muß, dessen Lösung in (A.58) gegeben ist. Wie 

bei der Hohlkugel darf auch hier der zweite Teil der Gleichung nicht verschwinden, sodaß 

sich 

u(r) =C 1 J l (r √ c 1 )+C 2 N l (r √ c 1 ) 

(A.75) 

ergibt. Einsetzen der Randbedingung u(a 1 )=0liefert 

C 2 = −C 1 

J l (a 1 

√ 

c1 ) 

N l (a 1 

√ 

c1 ) 

(A.76) 

und es gilt für den Radialanteil 

( 

u(r) =C 1 J l (r √ c 1 ) − J √ ) 

l(a 1 c1 ) 

√ 

N l (a 1 c1 ) N √ 

l(a 2 c1 ) . (A.77) 

Mit der zweiten Randbedingung u(a 2 )=0folgt die transzendente Gleichung 

J l (a 2 

√ 

c1 )N l (a 1 

√ 

c1 ) − J l (a 1 

√ 

c1 )N l (a 2 

√ 

c1 )=0. 

(A.78)

A.7 Hohlzylinder 99 

Es sei X ln = a 2 

√ 

c1 und λ = a 1 /a 2 , sodaß die zu lösende Gleichung 

J l (X ln )N l (λX ln ) − J l (λX ln )N l (X ln )=0 

(A.79) 

wird. Die Energieeigenwerte ergeben sich dann analog zu (A.65) zu 

E nlk = ~2 

2m 

( ( ) ) 

Xln 

2 2 kπ 

+ . (A.80) 

a 2 2 L 

Die Normierung des Radialanteils der Wellenfunktion gestaltet sich ähnlich aufwendig wie 

für die Hohlkugel 

C 2 2 

∫ a 2 

a 1 

dr 

( ( ) 

Xln 

J l r − J ( )) 2 

l(λX ln ) 

a 2 N l (λX ln ) N Xln 

l r =1 (A.81) 

a 2 

und ist ebenfalls nur numerisch mit vorheriger Festlegung des Verhältnisses λ = a 1 /a 2 

lösbar. 

d : L =1:1,λ=0,75 

N=100 N=1000 N=10000 


11,912794 11,912794 2,566533 2,566533 0,552942 0,552942 1 

12,010794 0,098000 2,587647 0,021114 0,557491 0,004549 2 

12,304761 0,293967 2,650980 0,063333 0,571136 0,013645 2 

12,463746 0,158985 2,685232 0,034252 0,578515 0,007379 1 

12,561747 0,098001 2,706346 0,021114 0,583064 0,004549 2 

d : L =1:4,λ=0,75 

N=100 N=1000 N=10000 


29,584513 29,584513 6,373790 6,373790 1,373191 1,373191 1 

29,671282 0,086769 6,392484 0,018693 1,377218 0,004027 1 

29,815898 0,144615 6,423640 0,031156 1,383931 0,006713 3 

29,918228 0,102330 6,445686 0,022046 1,388681 0,004750 2 

30,018360 0,100132 6,467259 0,021572 1,393328 0,004647 1 

d : L =4:1,λ = 0,75 

N=100 N=1000 N=10000 


5,820822 5,820822 1,254058 1,254058 0,270178 0,270178 1 

5,859714 0,038892 1,262437 0,008379 0,271983 0,001805 2 

5,976375 0,116661 1,287571 0,025134 0,277398 0,005415 2 

6,170763 0,194388 1,329450 0,041879 0,286421 0,009023 2 

6,442809 0,272046 1,388061 0,058611 0,299048 0,012627 2


d : L =1:1,λ = 0,9 

N=100 N=1000 N=10000 


73,623287 73,623287 15,861656 15,861656 3,417290 3,417290 1 

73.705849 0,082562 15,879443 0,017787 3,421122 0,003832 2 

73.953533 0,247684 15,932805 0,053362 3,432618 0,011496 2 

74.174239 0,220706 15,980355 0,047550 3,442863 0,010245 1 

74.256801 0,082562 15,998142 0,017787 3,446695 0,003832 2 

d : L =1:4,λ = 0,9 

N=100 N=1000 N=10000 


185,085211 185,085211 39,875400 39,875400 8,590894 8.590894 2 

185,293253 0,208042 39,920221 0,044821 8,600550 0,009656 5 

185,519059 0,225806 39,968869 0,048648 8,611031 0,010481 3 

185,727101 0,208042 40,013691 0,044822 8,620688 0,009657 3 

185,917378 0,190277 40,054684 0,040993 8,629520 0,008832 7 

d : L =4:1,λ = 0,9 

N=100 N=1000 N=10000 


30,310648 30,310648 6,530231 6,530231 1,406895 1,406895 1 

30,343412 0,032764 6,537290 0,007059 1,408416 0,001521 2 

30,441706 0,098294 6,558466 0,021176 1,412978 0,004562 2 

30,605528 0,163822 6,593761 0,035295 1,420582 0,007604 2 

30,834877 0,229349 6,643172 0,049411 1,431228 0,010646 2

B 

Beschreibung 

der verwendeten 

Programme 

Es wurden verschiedene Fortran-Programme und Shell-Skripte erstellt, um die in dieser 

Arbeit dargestellten Rechnungen durchzuführen. Die Quelltexte befinden sich auf der beiliegenden 

CD-Rom. 

Die Erklärungen in diesem Kapitel sind unterteilt in Beschreibungen der Programme für 

die eigentliche Rechenarbeit und Hilfsskripte, die dazu dienen, sowohl den Rechenprozeß, 

als auch die anschließende Visualisierung der Daten zu automatisieren. 

B.1 Hauptprogramme 

B.1.1 

recur98occup.f 

Dieses Fortran-Programm baut auf einer Version des von Peter Borrmann entwickelten 

recur98.f auf, welches für die Berechnungen in Abschnitt 3.2 und [15] benutzt wurde. 

Aus einem Eingabefile werden die Energieeigenwerte in einem bestimmten Potential eingelesen 

und dann mit Hilfe von dem in Abschnitt 3.2 vorgestellten Verfahren der Erwartungswert 

der Energie, die Besetzungszahl bei einer festen Temperatur sowie die Grundzustandsfluktuationen 

berechnet. Diese Rechnungen können für einen anzugebenden Temperaturbereich 

durchgeführt werden. Die Eigenwerte für in Anhang A gerechnete dreidimensionale 

Potentiale können mit den entsprechenden Programmen aus dem nächsten 

Abschnitt ermittelt werden. 

Im Gegensatz zur ursprünglichen Version unterstützt dieses Programm anisotrope Potentiale. 

Daher reicht es nicht aus, daß nur die Energieeigenwerte und ihre Entartungen in 

einer Datei, wie sie beispielsweise von den im folgenden Abschnitt beschriebenen Programm 

ho_levels_3d.bin.f erstellt werden kann, vorliegen. Es ist zusätzlich eine sogenannte 

Index-Datei nötig, die die Nummer des Energiebereichs und die dazugehörigen tatsächlichen 

Quantenzahlen enthält. Mit diesen Daten werden die durch die Rekursion erhaltenen 

Besetzungszahlen η i (N,β) ihren Entartungen entsprechend auf die ursprünglichen Quantenzahlen 

verteilt und in eine Datei geschrieben. Anschließend können die so ermittelten 

η nxn yn z 

(N,β) mit den Programmen howave.f und howavet.f weiterverarbeitet werden. 

B.1.2 

Potentiale und Energieeigenwerte 

Für das im vorigen Abschnitt beschriebene recur98occup.f,bzw.recur98.f liefern folgende 

Programme die nötigen Energieeigenwerte: 

101

102 Anhang B. Beschreibung der verwendeten Programme 

box_levels.f erstellt eine Datei mit den Eigenwerten im Kastenpotential. 

kugel_levels.f ist für das Kugelpotential geschrieben worden. Die Nullstellen der benötigten 

halbzahligen Besselfunktionen wurden vorher mit Mathematica berechnet und 

in eine Datei bessel_half gespeichert. 

hohlkugel_levels.f berechnet die Eigenwerte im Potential der Hohlkugel. 

zylinder_levels.f benötigt die Nullstellen der ganzzahligen Besselfunktionen, die sich in 

der Datei bessel_full befinden. 

zylinder_levels_period.f berechnet die Energieeigenwerte, wenn der Zylinder periodische 

Randbedingungen besitzt. 

hohlzylinder_levels.f ermittelt die Werte für den Hohlzylinder. 

ho_levels_3d.bin.f ist entscheidend für die Simulation der TOP-Falle, da es hier möglich 

ist ein anisotropes harmonisches Oszillatorpotential anzugeben. 

Die Sortierung der Ergebnisse erfolgt mit sort_zeros.f, in dem die Funktion dsortx der 

ESSL Bibliothek von IBM entstammt. Siehe dazu [71]. 

B.1.3 

howave.f und howavet.f 

Sowohl die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators, als auch die Teilchendichte in 

der TOP-Falle berechnet das Programm howave.f. Erzeugt wird eine Ausgabedatei, die 

die Dichte und die zugehörigen Raumkoordinaten enthält. Es unterscheidet sich von howavet.f 

nur dadurch, daß dieses zusätzlich eine Zeitentwicklung wie sie in Abschnitt 5.4 

benötigt wird, erlaubt. Die hierzu notwendige Fouriertransformation entstammt der ESSL- 

Bibliothek von IBM [71]. 

B.2 Hilfsskripte und -programme 

B.2.1 

Sortierprogramme 

Die Ausgabe von howave.f und howavet.f wurde mit der Visualisierungssoftware Gsharp 

in anschauliche Bilder umgewandelt. Da dieses Softwarepaket ein ganz bestimmtes Format 

der Datenfiles voraussetzt, existieren einige Shellskripte und Fortran-Programme, um 

die Daten zu sortieren und zu konvertieren. denssort.f liest eine Datei mit Daten für einen 

Raumquadranten und kopiert die entsprechenden Einträge in die anderen Quadranten. Dieses 

ist möglich, da die betrachteten Potentiale symmetrisch sind. Anschließend werden 

die ausgegebenen Daten mit dem UNIX sort Kommando aufsteigend sortiert. denszaxis.f 

extrahiert die letzte Spalte der nun vorhandenen Ausgabedatei, deren Werte der Teilchendichte 

an einem Ort entsprechen.

B.2 Shell-Skripte 103 

B.2.2 

Shell-Skripte 

Die Rechnungen für die Dichteverteilung in der JILA-Falle können mit dem Korn-Shell- 

Skript ho.bat automatisiert werden. Das Skript berechnet, wenn sie nicht bereits vorliegen, 

die Besetzungszahlen mit Hilfe von recur98occup, startet anschließend howave und dann 

das Skript sortit. Dieses erstellt die Eingabefiles für Gsharp mit Hilfe der oben beschriebenen 

Programme denssort und denszaxis. Weiterhin werden automatisch Batchdateien 

für Gsharp produziert und das Visualisierungsprogramm auf Wunsch mit diesen gestartet. 

Eine Batchdatei ist für die lineare Darstellung der Dichte und eine für die logarithmischen 

Version der Grafiken. Die produzierten TIFF-Dateien werden mit picconv in verschieden 

große GIF-Bilder umgewandelt, aus denen später Animationen erstellt werden können. Die 

Shell-Skripte sorgen außerdem für eine Komprimierung der teilweise relativ großen Dateien. 

Die Skripte hot.bat und sortitt entsprechen von der Funktionalität her ihren im vorigen 

Absatz beschriebenen Pendants, bieten allerdings zusätzlich die Möglichkeit einen Zeitwert 

als Parameter anzugeben, der dann an howavet.f und Gsharp übergeben wird. 

Alle Skripte sind auf die Rechner- und dortige Verzeichnisstruktur der Arbeitsgruppe Theorie 

3 an der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg zugeschnitten, sollten sich aber leicht 

auf andere Workstation-Cluster anpassen lassen. 

Zur Erklärung sei weiterhin angeführt, daß die Verteilung der Aufgaben auf die verschiedenen 

Rechner der Arbeitsgruppe davon abhängig gemacht wird, welches Betriebssystem 

installiert ist, wo die größte Rechenleistung zur Verfügung steht und wie die geringste Belastung 

des Netzwerks möglich ist.

C Artikel 

Die von Peter Borrmann entwickelte und in Kapitel 3 vorgestellte Rekursionsformel für die 

Besetzungszahl η i (N,β) wurde in dem Artikel “Effective calculation of thermodynamic 

properties of finite Bose-Einstein systems” in der Zeitschrift Physical Review A veröffentlicht. 

Weiterhin befinden sich in diesem Text Teile der Ergebnisse aus Abschnitt 3.3. 

105

106 Anhang C. Artikel

107

108 Anhang C. Artikel

109

D 

Erklärung 

des Inhalts der 

CD-Rom 

Auf der zu dieser Arbeit gehörenden CD-Rom befinden sich folgende Dateien: 

• Sämtliche für die Berechnungen nötigen Fortran-Programme als Source- und Binärversionen 

für IBM AIX 4.2 (siehe Anhang B), 

• Korn-Shell-Skripte zur vollständigen Automatisierung der Simulationen der JILA- 

Falle auf einem Workstation-Cluster, 

• der komplette Text als 

– L A TEX, 

– Portable Document Format (PDF) und 

– PostScript - Version, 

• alle für die Simulationen in Kapitel 5 erstellten Grafiken im GIF-Format, 

• Animationen für temperaturabhängige Dichteverteilungen, 

• Animationen für zeitabhängige Dichteverteilungen, sowie 

• eine Auswahl von Artikeln zur Bose-Einstein Kondensation (soweit als Datei vorhanden). 

Zusätzlich befindet sich auf der CD-Rom ein Java-Programm, das nach Eingabe von Energieeigenwerten 

mit Hilfe der Rekursion aus Abschnitt 3.1 die spezifische Wärme und die 

innere Energie berechnet. Dieses Programm wurde freundlicherweise von Peter Borrmann 

zur Verfügung gestellt. 

Die Verzeichnisstruktur auf der CD ist weitgehend selbsterklärend, es sei hier nur vermerkt, 

daß sowohl die Grafiken als auch die Animationen auf komfortable Weise mit einem 

WWW-Browser angeschaut werden können, da sie mit in HTML-Seiten integrierten 

Index-Dateien versehen sind, durch die leicht auf jede Datei zugegriffen werden kann. 

Für die Artikelsammlung existiert ebenfalls eine HTML-Datei, in der nicht nur der Dateiname, 

sondern auch Autor und Titel angegeben sind. 

111

E 

Vollständige 

Serien der Bilder aus 

den Simulationen der JILA-Falle 

Auf den folgenden Seiten ist ein großer Teil der Bilder, die sich auf der beiliegenden CD- 

Rom befinden, abgedruckt, da es gerade durch die Schnellebigkeit der technischen Standards 

möglich ist, daß eventuelle Leser in einigen Jahren weder auf die CD-Rom, noch auf 

die erstellten Seiten im World Wide Web zugreifen können. 

Aufgrund der großen Anzahl Bilder (beinahe 1000), die für die Erstellung der Animationen 

nötig war, findet zum einen die Darstellung in starker Verkleinerung statt und zum anderen 

sind bei der Zeitentwicklung nur stellvertretend die Serien für 2000 Teilchen bei 1,0·10 −9 

und 1,0·10 −9 Kelvin abgedruckt. 

Auf der CD-Rom befinden sich jeweils zwei Dateien unterschiedlicher Größe im GIF- 

Format. Eine mit geringer Auflösung (604x483 Pixel) und eine mit höherer Auflösung 

(2524x2017 Pixel). Das GIF-Format der Firma Compuserve wurde verwendet, da es im 

Gegensatz zu verschiedenen anderen Formaten kleine Dateien mit hoher Qualität bietet 

und sich leicht in Animationen, die auch mit WWW-Browsern betrachtet werden können, 

konvertieren läßt (sogenannte “Animated GIFs”). 

113

114 Anhang E. Vollständige Serien der Bilder aus den Simulationen der JILA-Falle 

E.1 Temperaturabhängige Sequenzen 

Abbildung E.1: Lineare Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen.

E.1 Temperaturabhängige Sequenzen 115 

Abbildung E.2: Logarithmische Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen.














E.2 Zeitabhängige Sequenzen 

Abbildung E.9: Lineare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen bei 1.0e- 

8 Kelvin.

E.2 Zeitabhängige Sequenzen 123 

Abbildung E.10: Lineare zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen bei 

1.0e-8 Kelvin.


Abbildung E.11: Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen 

bei 1.0e-8 Kelvin.

E.2 Zeitabhängige Sequenzen 125 

Abbildung E.12: Logarithmische zeitabhängige Darstellung der Dichteverteilung für 2000 Teilchen 

bei 1.0e-8 Kelvin.

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Danksagung 

Ich möchte mich bei Peter Borrmann und Eberhard Hilf für ihre Unterstützung, ihre ermutigenden 

Kommentare und so manche Stunde, die sie mir im Laufe des letzten Jahres für 

Diskussionen und Erläuterungen zur Verfügung gestellt haben, bedanken. 

Weiterhin danke ich allen Mitgliedern der Arbeitsgruppe für die allzeit vorhanden gewesene 

Hilfsbereitschaft, insbesondere Oliver Mülken, der mir durch Tips und Anregungen 

oftmals weitergeholfen hat. 

Ein weiterer Dank gilt Birke Sbresny, die mir durch ihre Ratschläge geholfen hat, sprachliche 

Wogen in dieser Arbeit zu glätten und Tippfehler zu beseitigen. 

Ohne die Unterstützung meiner Eltern wäre mir dieses Studium nicht möglich gewesen. 

Dafür danke ich ihnen herzlich.

Hiermit versichere ich, daß ich diese Arbeit selbständig verfaßt und keine anderen als die 

angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. 

Oldenburg, 10. Februar 1999

Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

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