Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

2.4 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften 23
Bei anziehenden Wechselwirkungen oder hohen Dichten in der Atomwolke können Viel-
Körper-Stöße oder Rekombinationsprozesse unter Umständen nicht mehr vernachlässigt
werden. Es existieren verschiedene Ideen, dieses Problem in die Gross-Pitaevskii-Theorie
zu integrieren, wobei eine Möglichkeit darin besteht, eine modifizierte Gleichung, die zusätzliche
Wechselwirkungsterme enthält, einzuführen [3].
2.4.2 Auswirkungen auf thermodynamische Eigenschaften
Mit der großkanonischen Näherung erhält man für die Übergangstemperatur eines idealen
Bose-Gases in einer harmonischen Falle die Gleichung (in Einheiten von k B )
( ) N 1/3
T c = ~ω ho . (2.76)
ζ(3)
Dabei stellt ζ(3) = 1, 202 die Riemansche Zetafunktion dar. Die Anwesenheit abstoßender
Kräfte bewirkt eine Vergrößerung der Wolke und damit eine geringere Dichte, wodurch die
Übergangstemperatur nach unten verschoben wird.
Mit Hilfe der Hartree-Fock Näherung ist es möglich, die Verschiebung der kritischen Temperatur
abzuschätzen. Dazu nimmt man an, daß die Atome sich wie nicht wechselwirkende
Teilchen in einem effektiven Potential V eff (r) verhalten. Dieses Potential setzt sich aus dem
externen Potential V ext (r) und einem Wechselwirkungsterm zusammen, der die Dichte ρ(r)
und die Kopplungskonstante g enthält. Für den effektiven Hamilton-Operator ergibt sich also
Ĥ HF = − ~2
2m ∆+V ext(r)+2gρ(r). (2.77)
Diese Methode wurde erstmals 1981 von Goldman, Silvera und Leggett angewandt [49]
und später auf die aktuellen Experimente erweitert [48, 113].
Nach [48] verschiebt sich die kritische Temperatur linear mit der s-Wellen-Streulänge
δT c
T c
= −1.3 a
a ho
N 1/6 , (2.78)
und für eine typische Konfiguration liegt diese Verschiebung bei etwa vier Prozent.
Für die Grundzustandsbesetzungszahl gilt in einem idealen Gas nach [69]
( ) 3
〈η 0 〉 T
N =1− , (2.79)
T c
und führt man auch hier die Wechselwirkung ein, ergibt sich nach [30] mit dem chemischen
Potential µ
〈η 0 〉
N
( ) 3 T =1− − µ ζ(2)
T c ζ(3)
T 2
Tc
3
( ( ) ) 3 2/5
T
1 − . (2.80)
T c
Die Herleitung dieser Formel soll an dieser Stelle nicht angegeben werden, allerdings ist
der zu Gleichung (2.79) zusätzliche Term von großer Bedeutung, denn für abstoßende Teilchen
kann er dazu führen, daß sich die Anzahl der Atome im Grundzustand um ein fünftel
verringert.