Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

2.3 3 He 17
und die innere Energie im Volumen V wird
U = E 0 + ∑ k
~ω k 〈n k 〉 = E 0 + V ∫ ∞
dk
k2 ~ω k
. (2.56)
2π 2 e β~ω k − 1
0
Dann ist die spezifische Wärme für N Teilchen
C V = ∂ T U. (2.57)
Da bei niedrigen Temperaturen nur der Photonen- und Rotonenanteil zum Integral in der
Gleichung für die innere Energie beitragen, kann die spezifische Wärme näherungsweise
aus diesen beiden Anteilen zusammengesetzt werden, indem man für ~ω den entsprechenden
Teil aus (2.54) in (2.56) einsetzt und jeweils partiell nach der Temperatur T differenziert.
Während Landau das Problem auf phänomenologische Weise löst, indem er sein Energiespektrum
über experimentell zu bestimmende Konstanten anpaßt, bedient Feynman
[41–44, 88] sich der Quantenmechanik.
Er beschreibt die Wellenfunktion des Zustandes, in dem eine Elementaranregung vorhanden
ist, näherungsweise durch
ψ k ∼
N∑
e ikr j
ψ 0 , (2.58)
j=1
wobei ~k der Impuls der Elementaranregung und ψ 0 die Grundzustandswellenfunktion
sind [70]. Laut Feynman beschreibt ψ k für k → 0 eine Dichteschwankung in der Flüssigkeit,
also eine Schallwelle. Das bedeutet, daß es sich bei den Phononen um quantisierte
Schallwellen handelt. Ist k endlich, sind die durch ψ k beschriebenen Bewegungen komplizierter
und wenn k ungefähr k 0 entspricht, ist ψ k näherungsweise noch im Roton-Gebiet
gültig.
Die Beschreibung durch ψ k funktioniert bei sehr niedrigen Energien gut, andere Anregungstypen
müssen jedoch vom Grundzustand durch eine endliche Energielücke getrennt
sein.
2.3.2 3 He
Wie bereits erwähnt, tritt 3 He in der Natur extrem seltener auf als 4 He und wird auch für
die Betrachtungen in späteren Kapiteln dieser Arbeit nicht benutzt. Allerdings sorgte dieses
Isotop in den letzten Jahren für große Aufmerksamkeit und soll daher an dieser Stelle kurz
behandelt werden.
Aufgrund seines halbzahligen Spins folgen 3 He Atome der Fermi-Dirac-Statistik und sollten
daher nicht im Grundzustand kondensieren.
1971 gelang es den Amerikanern David M. Lee, Douglas D. Osheroff und Robert C. Richardson
von der Cornell-Universität zwei suprafluide Phasen von 3 He zu finden [97]. Zur