Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

2.1 Großkanonische Gesamtheit 7
dessen Proportionalitätskonstante durch die Normierungsbedingung Sp ˆρ =1festgelegt
wird. Man erhält also mit dem Hamiltonoperator Ĥ des Systems S 1 den Quotienten
e−βĤ
ˆρ = . (2.8)
Sp e−βĤ Der Nenner dieses Bruches wird als die kanonische Zustandssumme definiert:
Z N (β,V )=Spe −βĤ = ∑ n
e −βEn (2.9)
Damit erhält man als thermodynamisches Potential die Helmholtz freie Energie
F (β,V,N)=− 1 β ln Z N(β,V )=U − S β
(2.10)
und wiederum lassen sich die innere Energie und die Entropie angeben:
U = −∂ N,V
β
S = −β 2 ∂ N,V
β
1
ln Z N (β,V )=−
Z N (β,V ) ∂N,V β
Z N (β,V ) (2.11)
( 1
β ln Z N(β,V ))
. (2.12)
Eine weitere wichtige Größe, die in späteren Kapiteln von Bedeutung sein wird, ist die
spezifische Wärmekapazität:
(
C V = −β 2 ∂ N,V
β
U = β 2 ∂ N,V
β
∂ N,V
β
)
ln Z N (β,V ) . (2.13)
2.1.3 Großkanonische Gesamtheit
Um Systeme zu beschreiben, die sich sowohl in einem Wärmebad befinden als auch Teilchen
mit der Umgebung austauschen können, bedient man sich der großkanonischen Gesamtheit.
Die Temperatur T ist daher wie das Volumen V eine gegebene makroskopische
Randbedingung, die Energie fluktuiert dabei um einen Mittelwert, und der Austausch von
Teilchen mit einem externen Reservoir bewirkt eine fluktuierende Teilchenzahl N. Ein
definiertes chemisches Potential µ beschreibt den Energiebeitrag, der nötig ist, um ein
weiteres Teilchen in das System zu bringen.
Analog zu Abschnitt 2.1.2 kann der statistische Operator der großkanonischen Gesamtheit,
ˆρ =
ˆN)
e−β(Ĥ−µ
, (2.14)
Sp e−β(Ĥ−µ ˆN)
aufgestellt werden ( ˆN ist der Teilchenzahloperator). Die großkanonische Zustandssumme
ist damit
Ξ µ (β,V )=Spe −β(Ĥ−µ ˆN)
(2.15)
∞∑ ∑
= e −β(En(N)−µN) . (2.16)
N=0
n