Bose-Einstein-Kondensation in magnetischen und optischen Fallen

2.2 Die Bose-Einstein-Kondensation im großkanonischen Ensemble 11
Vom übrigen Teil des (P ,V ,β)-Raumes ist das Kondensationsgebiet durch die zweidimensionale
Fläche
λ 3
v = g 3/2(1) (2.41)
getrennt. Legt man also das spezifische Volumen v fest und löst diese Gleichung nach λ 3
auf, ergibt sich eine kritische Temperatur
T c = 1 β c
=
2π~ 2
m ( vg 3/2 (1) ) 2/3 . (2.42)
Diese Temperatur entspricht dem Punkt, an dem die thermische De-Broglie-Wellenlänge λ
von der gleichen Größenordnung wie der mittlere Teilchenabstand ist. Ist die Temperatur
fest und gegeben, so erhält man ein kritisches Volumen
v c =
λ3
g 3/2 (1) . (2.43)
Vollzieht man den Grenzübergang zu einem unendlichen Volumen, ergibt sich nach [69]
für die Fugazität
⎧
Lösung von g ⎪⎨
3/2 (z) = λ3 λ 3
falls
v v ≤ g 3/2(1),
z =
(2.44)
⎪⎩
λ 3
1 falls
v ≥ g 3/2(1)
und mit (2.37) folgt für die Grundzustandsbesetzungszahl
⎧⎪
0 falls
〈η 0 〉 ⎨
N = ( ) 3/2
⎪ T ⎩ 1 − = 1 − v falls
T c
Der Verlauf dieser Funktion ist in Abbildung 2.2 wiedergegeben.
v c
λ 3
v ≤ g 3/2(1),
λ 3
v ≥ g 3/2(1).
(2.45)
Man sieht, daß oberhalb der kritischen Temperatur kein einziger Zustand von einer endlichen
Anzahl Teilchen besetzt ist. Unterhalb von T c findet sich jedoch ein makroskopischer
Anteil der Teilchen im Grundzustand, während die übrigen Bosonen ebenfalls über alle
weiteren Zustände verteilt sind. Bei T =0befinden sich alle Teilchen im untersten Niveau.
Oftmals wird die Bose-Einstein-Kondensation als Kondensation im Impulsraum beschrieben.
Betrachtet man allerdings die Zustandsgleichung, so erkennt man nach Huang keinen
Unterschied zwischen diesem Effekt und der Kondensation eines Gases zu einer Flüssigkeit,
also eines Phasenübergangs erster Ordnung. Befindet sich das Gas in einem externen
Potential, so findet nach Huangs Definition ein Phasenübergang zweiter Ordnung statt [69].